Os problemas de optimización trátanse no bacharelato. Este tipo de problemas teñen o seu aquel. Vexamos por que.
Moito do que se trata nas matemáticas non universitarias é de carácter algorítmico. Ben sei que tópicos, como por exemplo a resolución de ecuacións cadráticas, pode introducirse desde outros puntos de vista; mais, unha vez introducido vólvese unha cuestión puramente algorítmica e como tal hai que entrenala ata integrala dentro co coñecemento base para poder asaltar outras fronteiras. Porén os problemas de optimización parecen querer fuxir do corsé algorítmico. Dependendo das características particulares do que se queira resolver hai que pescudar as relacións que mellor nos permitan determinar unha función que modelice a cuestión para poder pasar ao estudo, agora si, algoritmico, da súa monotonía.
Un dos problemas que lle pedín resolver ao alumnado de Matemáticas II foi o seguinte:
Rectángulo inscrito triángulo. Nun triángulo isóscele de base 12 e altura 10 inscribimos un rectángulo de área máxima. Determina as dimensións do rectángulo. Acha o valor desa área máxima.
A solución comezaría facendo un esquema como o da imaxe. A partir de aquí obtemos unha fórmula para a área:
$A=2xy$
Como nesta fórmula temos dúas variables, non nos queda outra que intentar relacionalas entre si para, deste xeito, conseguir unha fórmula funcional dunha soa variable.
A lonxitude de calquera dos dous lados iguais do triángulo isóscele pode calcularse a partir do teorema de Pitágoras:
$\sqrt{6^{2}+10^{2}}=\sqrt{136}$
Esta valor tamén se pode obter como suma das hipotenusas dos dous triángulos rectángulos que vemos na dereita da imaxe:
$$\sqrt{\left( 10-y \right)^{2}+x^{2}}+\sqrt{y^{2}+\left( 6-x \right)^{2}}=\sqrt{136}$$
Este foi o camiño que seguiron algúns alumnos. Non tardaron en comprender que se estaban encerellando. Cómpre buscar unha alternativa.
Unha das forma de solventar a situación sería decatándose de que calquera destes triángulos rectángulos é semellante ao delimitado pola altura e a metade da base do triángulo isóscele. Daquela poderiamos obter as seguintes relacións $\frac{10}{6}=\frac{y}{6-x}\quad ;\quad \frac{10}{6}=\frac{10-y}{x}$
Unha nova opción consistiría en botar man dos coñecementos de xeometría analítica plana ou de reprentación gráfica de rectas para determinar a ecuación da recta pola que se move o punto $P$ ( ten pendente $m=-\frac{10}{6}$ e ordenada na orixe $n=10$)
Un recordo e un problema
Entre os meus recordos como estudante está o dun día concreto de cando cursaba COU. Tiñamos exame ao día seguinte. O profesor déranos un boletín de problemas e quedaban moitos por facer. Un deles era un problema de optimización clásico:
Cono inscrito nunha esfera. Dada unha esfera de raio $r$ determinar as dimensións do cono inscrito na esfera de volume máximo
A cuestión era fermosa, así que abandonei o estudo do exame e centreime no problema. Intenteino unha e outra vez e non o daba resolto. Pero o problema tiña o seu aquel, así que tachaba e volvía unha e outra vez sobre el. Finalmente, rematando a tarde, decateime de que bastaba con realizar un esquema que me permitise relacionar as variables entre si por medio do dato, o raio da esfera. Levaba todo o tempo debuxando mal o raio.
Efectivamente, ata que non se me ocorreu representar o raio que aparece en azul na imaxe, non fun quen de asaltar o problema. Por certo, foi unha das peguntas do exame. :)
Para darlle un bo remate a esta entrada, non hai nada mellor que un problema:
Triángulo circunscrito a unha semicircunferencia. Dada unha semicircunfencia de raio $1$ pídense as dimensións do triángulo isóscele de perímetro máximo circunscrito á circunferencia.
Non só vou pedir a solución ao problema (que darei na seguinte entrada), senón a súa razón. Esta petición non só é unha nova pregunta, senón que tamén dá unha pista de por onde van os tiros.
Ningún comentario:
Publicar un comentario