"O universo matemático", apuntes para o bacharelato

Sacado de Xerais

O universo matemático. Das ideas e das técnicas é o segundo libro da colección de Xerais,  Básicos Ciencia. O propio autor, Antóm Labranha, explica moi claramente os parámetros baixo os que se move o texto:

Este libro trata os contidos matemáticos propios do bacharelato, intentando poñer de manifesto reflexións, habitualmente implícitas, acerca do sentido dos conceptos, das propiedades e das fórumas que utilizamos...

Como un anxo da garda, un espírito da xustificación percorre todo o libro. Para ilustralo vou centrarme nun aspecto concreto: nalgún punto do currículo aparece a distribución normal. Cuestión chea de espiñas é a de como presentar nunha aula a función de densidade desta ditribución: $$f\left(x\right)=\frac{1}{\sqrt{2\pi }}{e}^{\frac{-1}{2}{x}^2}$$ Pódese dicir que caeu do ceo, e a enorme extensión do currículo do bacharelato parece indicar que isto é o que se lle pide ao profesorado neste, e en moitos outros aspectos. Labranha presenta unha alternativa baixo o estudo natural da función exponencial y=e^x. Ampliando, y=e^-x2, un bo exemplo de función par, xenaralizando y=e^-ax2, con a un número positivo calquera. A segunda derivada desta última función: $$y^{″}=-2a{e}^{-a{x}^2}(1-2a{x}^2)$$ lévanos a determinar que terá puntos de inflexión cando $$a=\frac{1}{2x^2}$$ Polo tanto, se os puntos de inflexión se deran cando x=+1 e x=-1 (lembremos que é par), teremos que forzar a que a=½, neste caso a función será y=e^-½x2.. Cal será a área que garda esta función? Neste punto teremos que recorrer á análise multidemensional. O cálculo de $${\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{e}^{\frac{-1}{2}{x}^2}=\sqrt{2\pi }$$ pode consultarse aquí. Finalmente, cando estamos á procura dunha función de densidade, bastará dividir a nosa última función por √2𝛑: $$f\left(x\right)=\frac{1}{\sqrt{2\pi }}{e}^{\frac{-1}{2}{x}^2}$$
Propostas para a aula
Estou afeito a explicar a regra de l' Hopital como unha consecuencia do teorema de Cauchy (teorema do valor medio xeneralizado). Labranha ofrece unha alternativa interesante, fundamentada na idea da recta tanxente a unha función nun punto como aproximación da función na veciñanza dese punto. Se partimos de dúas funcións f(x) e g(x), as respectivas rectas tanxentes nun punto x₀, no que ambas as dúas función toman o valor cero:

f(x)≃ y=f''x₀)(x-x₀)

g(x)≃ y=g'(x₀)(x-x₀)

Polo tanto $$\underset{x\to x_0}{lim}\frac{f\left(x\right)}{g\left(x\right)}\simeq \underset{x\to x_0}{lim}\frac{f^{\prime }(x_0)(x-x_0)}{g^{\prime }(x_0)(x-x_0)}=\underset{x\to x_0}{lim}\frac{f^{\prime }(x_0)}{g^{\prime }{(x}_0)}=\underset{x\to x_0}{lim}\frac{f^{\prime }\left(x\right)}{g^{\prime }\left(x\right)}$$ En varias ocasións Labranha aproveita para ofrecer unha presentación das ideas mediante valores heurísticos.Todo isto lévanos a unha aposta por alternativas ás clases autoritarias. En definitiva, estamos ante un libro pensado como complemento para afrontar o bacharelato que ben pode ser un punto de referencia para o profesorado da materia, un lugar do que partir para levar a cabo o traballo na aula.