A derivada e a inversa. Unha conexión dourada

Entre os meus terrores didácticos está esa famosa táboa de derivadas. Nunca entreguei aos meus alumnos un espanto dese tipo. Seguramente non o fixen porque tiven a sorte de que a min, como alumno, tampouco ma entregaran. Unha das aberracións que son consecuencia desta práctica consiste en expulsar a regra da cadea do ensino. Así convertemos o cálculo de derivadas nun algoritmo sen sentido, cunhas regras tan arbritarias que se pode calcular a derivada dunha composición de funcións sen ter nin a máis mínima idea do que é a composición de funcións. Elimínase así a dedución das propiedades e das fórmulas de derivación. Algúns pensarán que é un alivio pois así non perderemos un tempo que sempre anda escaso pola sobredimensión dos currículos. Daquela, para que estudar os límites? Quizais para outro cálculo absurdo con outras regras absurdas. 

Xa que a mencionamos anteriormente, enunciarémola:

A regra da cadea. Dadas dúas funcións $f$ e $g$ a derivada da composición $g_{\circ }f$ será 

$${\left(g_{\circ }f\right)}^{\prime }(x)=g^{\prime }\left[f\left(x\right)\right]\cdot f^{\prime }(x)$$

Unha consecuencia inmediata deste mesmo resultado é a derivación da inversa dunha función. 

Teorema da derivada da función inversa. $${\left(f^{-1}\right)}^{\prime }(x)=\frac{1}{f^{\prime }\left[f^{-1}\left(x\right)\right]}$$

Noutra ocasión, abordando o tema dos erros achegáramonos a este teorema pois dá lugar a que a súa compresión sexa dificultosa por usarmos o termo inversa, un termo que pode ter outras acepcións. A isto engádeselle que a notación de derivada dunha función $f^{\prime }$ e o de inversa dunha función $f^{-1}$ son tipograficamente moi semellantes. 

A demostración deste ultimo resultado aséntase, necesariamente, no concepto de función inversa. Lembremos que a inversa dunha función $f$, que denotaremos por $f^{-1}$ é aquela función que composta con $f$ nos dá a función identidade $I(x)=x$. Poderemos escribir, xa que logo, $f_{\circ }^{-1}f=f_{\circ }{f}^{-1}=I$. Non teño claro que procedo ben, pero atendendo ás anteriores consideracións, para demostrar na clase este resultado, renomeo a función inversa coa letra grega $\phi =f^{-1}$. Así a propiedade definitoria da función inversa transcribiriamola agora $\phi \circ f=f_{\circ }\phi =I$. Aplicándolle a regra da cadea á igualdade $({\phi }_{\circ }f)(x)=I(x)$ teremos:

$$({\phi }_{\circ }f{)}^{\prime }(x)=f^{\prime }\left[\phi \left(x\right)\right]\cdot {\phi }^{\prime }\left(x\right)=1$$

$${\phi }^{\prime }\left(x\right)=\frac{1}{f^{\prime }\left[\phi \left(x\right)\right]}$$

Volvendo á notación orixinal para a inversa temos o resultado buscado:

$${\left(f^{-1}\right)}^{\prime }(x)=\frac{1}{f^{\prime }\left[f^{-1}\left(x\right)\right]}$$

Quixo a azarosa casualidade da navegación pola arañeira de internet que todas estas consideracións ás que me achegara en moitas ocasións, se conectaran dunha forma realmente brillante mediante a seguinte cuestión:

Problema. Achar a función $f$ tal que $f^{\prime }$=$f^{-1}$

A azarosa casualidade foi este vídeo de Michael Penn que vou seguir de aquí en diante para dar a solución. 

Algo de traballo sumado a un todo e nada de intuición pode levarnos polo bo camiño se conxecturamos que a solución ten a forma $f\left(x\right)=a{x}^n$.

Escribamos a función da forma $y=a{x}^n$ e intercambiemos $x$ con $y$ para calcular a inversa. Obtemos $x=a{y}^n$. Despexando $y$: $f^{-1}(x)=y=\sqrt[n]{\frac{x}{a}}$

Por outra banda, calculemos a derivada: $f^{\prime }\left(x\right)=a\cdot n{x}^{n-1}$

Igualamos $f^{\prime }$ a $f^{-1}$: 

$$a\cdot n{x}^{n-1}=\sqrt[n]{\frac{x}{a}}$$

Elevando a $n$ os dous membros e operando:

$$a^n{n}^n{x}^{n^2-n}=\frac{x}{a}$$

$$a^{n+1}{n}^n{x}^{n^2-n-1}=1[1]$$

$$x^{n^2-n-1}=\frac{1}{n^n{a}^{n+1}}$$

O segundo membro é unha constante, de aí que o expoñente da variable $x$ teña que ser $0$, isto é $n^2-n-1=0$. Pero esta é unha ecuación moi famosa, que ten como solucións o número áureo e o seu inverso cambiado de signo:

$$n_1=\frac{1+\sqrt{5}}{2}=\varphi n_2=\frac{1-\sqrt{5}}{2}=-\frac{1}{\varphi }$$

Quizais, pecando de pesado, vou volver a lembrar algunhas das propiedades básicas do número $\varphi$ e que poderemos usar en calquera momento, sen outro aviso engadido.

$${\varphi }^2=\varphi +1\varphi =1+\frac{1}{\varphi }\varphi -1=\frac{1}{\varphi }$$

Con todo o deducido nas últimas liñas e escollendo a primeira solución $n_1$ podemos volver a reescribir a expresión [1] con esta nova fasquía:

$${\varphi }^{\varphi }{a}^{\varphi +1}\cdot 1=1$$

$${\varphi }^{\varphi }{a}^{{\varphi }^2}=1$$

Tomando a raíz $\varphi$-ésima nos dous membros:

$$\varphi a^{\varphi }=1$$

$$a={\left(\frac{1}{\varphi }\right)}^{\frac{1}{\varphi }}$$

Velaí que a función buscada é $f\left(x\right)={\left(\frac{1}{\varphi }\right)}^{\frac{1}{\varphi }}{x}^{\varphi }={(\varphi -1)}^{\varphi -1}{x}^{\varphi }$

A expresión da función brilla con luz propia.

Outro método

Sempre resulta agradable resolver un problema seguindo camiños distintos. Xa que tratamos un pouco antes o teorema da función inversa, quizais non sería mala idea empregalo. De facérmolo así, escribindo na fórmula que no dá o teorema da función inversa $f‘$ no canto de $f^{-1}$ teremos:

$${\left(f^{\prime }\right)}^{\prime }(x)=\frac{1}{f^{\prime }\left[f^{\prime }\left(x\right)\right]}$$

Agora ben, se por unha banda o que nos aparece no primeiro membro é a segunda derivada, ${\left(f^{\prime }\right)}^{\prime }(x)=f^{″}(x)$, a expresión do segundo membro non o é. Aclarámolo todo nas seguintes liñas.

Como no caso anterior, partimos de que $f\left(x\right)=a{x}^n$ polo que $f^{\prime }(x)=na{x}^{n-1}$

$$f^{″}(x)=n(n-1)a{x}^{n-2}$$

$$f^{\prime }[f^{\prime }(x)]=na{(f^{\prime }(x))}^{n-1}=na{\left(na{x}^{n-1}\right)}^{n-1}=n^n{a}^n{x}^{(n-1{)}^2}$$

O produto das anteriores expresións ten que dar $1$

$$n^{n+1}{a}^{n+1}(n-1)x^{n^2-n+1}=1$$

As mesmas consideracións feitas na anterior dedución implican que o expoñente da variable debe ser $0$ e así obtemos a mesma ecuación cuadrática para $n$. Ademais así eliminamos a variabe na anterior expresión e quédannos unicamente as constantes. Tomando $n_1=\varphi$ teremos:

$${\varphi }^{\varphi +1}{a}^{\varphi +1}(\varphi -1)=1$$

$${\varphi }^{\varphi +1}{a}^{\varphi +1}\frac{1}{\varphi }=1$$

$${\varphi }^{\varphi }{a}^{\varphi +1}=1$$

$${\varphi }^{\varphi }{a}^{\varphi }a=1$$

Tomando a raíz $\varphi$-ésima e despexando:

$$\varphi a{a}^{\frac{1}{\varphi }}=1$$

$$\varphi a^{1+\frac{1}{\varphi }}=\varphi a^{\varphi }=1$$

E así, outra vez

$$a={\left(\frac{1}{\varphi }\right)}^{\frac{1}{\varphi }}$$

Un último apuntamento

Nos cálculos anteriores estivemos usando sempre o valor $n_1=\varphi$ pero resulta que a ecuación da que o obtivemos ese valor tiña outra solución: $n_2=-\frac{1}{\varphi }$. Neste caso chegaremos a outra función que tamén é solución do problema, $f\left(x\right)={(1-\varphi )}^{\varphi }{x}^{1-\varphi }$. Reto ao lector, se o houber, a que faga el mesmo a dedución.

A outra fórmula do outro Bhaskara

Cando escoito o nome de Bhaskara inmediatamente penso na súa filla, a súa curiosa lenda e o libro que Bhaskara lle adicou e co que comparte nome, Lilavati. O libro foi editado pola RSME-SM dentro da colección Biblioteca de Estímulos Matemáticos. De aí recollo o seguinte problema e a súa resolución.

LXXVIII. A raíz da metade dun enxamio de abellas liba néctar de xasmíns, outras oito novenas partes o mesmo van facer. Faltan dúas, das que unha é cautiva dos lotos, prendida polo seu recendo. Dime miña querida, cantas zoantes abellas conforman ese panal.

Se identificamos o total de abellas con $2x^2$ poderemos establecer a seguinte ecuación 

$x-\frac{8}{9}\left(2x^2\right)+2=2x^2$. Resolvéndoa veremos que $x=6$ e polo tanto o enxamio estará conformado por un total de $2x^2=72$ abellas.

Tanto no Lilavati  como noutra obra súa,  Bijaganita, Bhaskara estuda problemas cuadráticos. Quizais por esta razón André Pérez y Marín comentou nunha nota a pé de páxina no libro Lições de algebra publicado no 1909 que o método de resolución dunha ecuación cuadrática $a{x}^2+bx+c=0$ dado pola coñecida fórmula que vén a continuación debémosllo a Bhaskara.

$$x=\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$$

André Pérez y Marín

 André Pérez y Marín (1858-1928), nacido en Logroño (España), estuda en Madrid e comeza a impartir clase aos 18 anos. Aos 35 anos chega a Brasil onde durante un tempo  exerce de profesor particular. Co comezo do século XX accede a unha praza no Ginásio de Campinas, onde desenvolve o seu traballo docente ata o seu pasamento. Escribe dez libros de matemática escolar que tiveron moitas edicións. En varios deles repite a referida anotación de que a resolución das ecuacións cuadráticas se debe a Bhaskara. Este apuntamento sería reproducido por autores brasileiros posteriores e acabaría tendo certo éxito ata o punto de que hoxe en día a "fórmula de Bhaskara" non só se utiliza en Brasil, senón que ten certa sona internacional. Basta con facer unha búsqueda pola rede para comprobalo.

O outro Bhaskara e a outra fórmula

Pero desta volta non me vou referir a este matemático do século XII, tamén identificado como Bhaskara II, senón que trataremos sobre unha contribución de Bhaskara I, que viviu uns 500 anos antes, no século VII. 

Antes de nada, incluso antes de introducila, enmarquemos historicamente a achega de Bhaskara I. Para iso temos que ir ao século anterior, o VI, onde encontramos os primeiros tratados astronómicos hindúes. Os seus autores, Ariabata e Varahamihira curiosamente xa usaban o seno, no canto da corda dun ángulo. Eles e outros moitos continuaron o proxecto heleno de elaborar táboas trigonométricas. Segundo o que acabamos de dicir, na época grega esta táboas eran táboas de cordas, a partir da revisión hindú, comezaron a ser táboas de senos. Para aclarar do que estamos a falar, consideremos unha circunferencia de raio 1. Con vértice o centro $O$ trazamos un ángulo $\widehat{AOB}=2\theta$  que determinará unha corda da circunferencia $\overline{AB}$. A este valor denominámolo corda de $2\theta$ que escribiremos $crd(2\theta )=\overline{AB}$. De todos é sabido que o seno de $\theta$ é $sen\theta =\overline{AM}$. Basta con observar a seguinte imaxe para decatarse de que $crd\left(2\theta \right)=2\cdot sen\theta$

A aportación de Bhaskara I foi realmente insólita. Hoxe diriamos que para ángulos de entre 0 e 180 graos ofreceu unha aproximación da función sinusoidal mediante unha función racional

$$sen\theta =R\cdot \frac{4\theta (180-\theta )}{40500-\theta (180-\theta )}$$

Velaquí as dúas funcións, a do seno e a súa aproximación, xunto co erro que cometemos. Tomamos, como é habitual hoxe en día $R=1$. O máis divertido é facer zoom ata poder ver ese erro.

De onde sacou Bhaskara I esa fórmula? Gen van Brummelen no seu libro The Mathematics of the Heavens and The Earth. The Early History of Trigonometry (Princenton University Press 2009) propón unha resposta con bastante cautela pois segue considerendo todavía un enigma a verdadeira liña de razoamento de Bhaskara. O argumento iníciase a partir da seguinte figura. Calculamos a área do triángulo $ABC$ de dúas formas distintas:

$áreaABC=\frac{1}{2}AB\cdot BC=\frac{1}{2}BD\cdot AC$ De aí que $AB\cdot BC=BD\cdot AC$

$$sen\theta =R\cdot BD=\frac{R\cdot AB\cdot BC}{AC}<\frac{R\cdot \stackrel{⌢}{AB}\cdot \stackrel{⌢}{BC}}{2R}=\frac{\theta (180-\theta )}{2}$$

Invertendo os termos teremos esta desigualdade:

$$\frac{1}{sen\theta }>\frac{2}{\theta (180-\theta )}$$

Agora usaremos un método habitual entre os matemáticos hindús insertando un par de parámetros $x$ e $y$ que nos permitirían establecer a igualdade: $$\frac{1}{sen\theta }=x\cdot \frac{2}{\theta (180-\theta )}+y[1]$$

Para os ángulos de $30$ e $90$ teremos que $sen30=\frac{R}{2}$ e $sen90=R$. Disto deducimos un sistema que resolvemos:

$$\begin{array}{c}\frac{2}{R}=\frac{2x}{30\cdot 150}+y\\ \frac{1}{R}=\frac{2x}{90\cdot 90}+y\end{array}\}\begin{array}{c}\frac{2}{R}=\frac{2x}{4500}+y\\ \frac{1}{R}=\frac{2x}{8100}+y\end{array}\}\begin{array}{c}9000=2Rx+4500Ry\\ 8100=2Rx+8100Ry\end{array}\}\begin{array}{c}2Rx=9000-4500Ry\\ 2Rx=8100-8100Ry\end{array}\}$$

$9000-4500Ry=8100-8100Ry$

$y=\frac{-900}{3600R}=\frac{-1}{4R}$

Substituíndo na primeira das ecuacións do sistema:

$2Rx=9000-4500R\cdot \frac{-1}{4R}=10125$

$2x=\frac{10125}{R}$

Finalmente substituímos os valores destes parámetros en [1]

$$\frac{1}{sen\theta }=\frac{10125}{R}\frac{1}{\theta (180-\theta )}-\frac{1}{4R}=\frac{1}{R}\frac{40500-\theta (180-\theta )}{4\theta (180-\theta )}$$

Volvendo a inverter os dous membros da igualdade chegamos ao resultado desexado:

$$sen\theta =R\cdot \frac{4\theta (180-\theta )}{40500-\theta (180-\theta )}$$

Por último unha aclaración e un dato curioso. Co fin de adptar as anteriores consideracións ao punto de vista actual, tomáronse sempre circunferencias de raio 1, porén en cada época, incluso en cada autor teremos distintos valores do raio. Por exemplo Ptolomeo fixo as súas táboas para $R=60$ e utilizou un sistema numérico sexaxesimal. Bhaskara I e os seus predecesores Ariabata e Varahamihira utilizaban un valor realmente chamativo: $R=3438$$. Que sentido tiña escoller ese número?

Nunha circunferencia hai 360º, polo tanto $360\cdot 60={21600}^{\prime }$, Se igualamos esta cantidade á lonxitude dunha circunferencia $2\pi R=21600$ e despexamos: $R=\frac{21600}{2\pi }=3438$

Xogando co teorema central do límite

Eu saín da Facultade de Matemáticas no ano 1990. O plan de estudos vixente naquela altura consistía en cursar 4 materias anuais Das que 3 eran fixas: Álxebra, Análise e Topoloxía/Xeometría. A cuarta materia, que para min significou sempre un horror,  era Física (en 1º), Cálculo Numérico (en 2º) e Estatística (en 3º). A partir de aquí había dúas vías para os dous últimos cursos, unha delas era Estatística e a outra Matemáticas Xerais. Esta última consistía nunha longa lista de materias con distintos niveis de optatividade. 

Sendo así as cousas eu só tiven unha materia de Estatística en toda a carreira,..e non a aproveitei moito. Creo recordar que no departamento axustaban a nota en función dos resultados. Como normalmente as notas eran bastante malas, o aprobado acababa baixando a un valor arredor do 4. Eu agarrábame a iso para transitar pola materia co menor dano posible. O triste do conto foi cando me chegou o momento de ter que explicar o teorema central do límite... e claro, eu non tiña nin idea de que trataba o asunto. 

A cousa non acabou en desastre total grazas a un libro, Matemática moderna aplicada. Probabilidades, estadística e investigación operativa (Alianza Universidad 1993), de J. C. Turner. A partir de aquí vou seguir a Turner, case letra a letra. Nun dos capítulos explica o que son as distribucións mostrais. Comeza co seguinte exemplo:

Tíranse 50 veces catro dados equilibrados. Apúntanse de cada vez os números obtidos. Despois calcúlase a media de cada mostra deses catro números. Un exemplo dun deses resultados sería:

Mostra: 1, 5, 6, 4

Media: $\bar{X}=4$

Antes de comezar a estudar a proposta, lembremos en que consiste a distribución orixinal, a do lanzamento dun dado. É ben simple, hai 6 posibles resultados e cada un deles ten a mesma probabilidade $\frac{1}{6}$. A media desta variable aleatoria discreta é $\mu =3^{\prime }5$ e o seu desvío padrón é $\sigma =1^{\prime }7078$. Por suposto, este estudo xa o temos feito na clase desde hai tempo.

A función $\bar{X}=\frac{X_1+X_2+X_3+X_4}{4}$ é un estatístico mostral. Cada vez que tomamos unha mostra podemos calcular o seu valor. Pero $\bar{X}$ é tamén unha variable aleatoria. A cuestión consiste en deducir como é a distribución mostral das medias $\bar{X}$ a partir dos valores mostrais. Agora é cando cobra sentido realizar o experimento moitas veces (50 no noso exemplo). Que é o que observamos?

Como na entrada anterior, podemos xogar coa seguinte folla de cálculo que simula o proceso. Hai dúas alternativas para traballar coa seguinte ferramenta. Marcadas en amarelo aparecen as medias de cada lanzamento de catro dados.

• A mellor é descargar a folla de cálculo. Se queremos recalcular os datos basta premer F9
• Podemos facelo on-line. Nese caso debemos recargar de novo a páxina ou, o que é o mesmo premer Maíuscula+F5

A distribución mostral das medias, $\bar{X}$, é moi diferente á poboación orixinal (lanzamento dun dado). Pensemos que resultará moi improbable obter resultados extremos para $\bar{X}$. Para que $\bar{X}$ tome o valor $1$ só hai unha mostra posible: $(1,1,1,1)$. Porén para obter un resultado intermedio para $\bar{X}$ como $3$ temos moitas posibilidades: $(3,3,3,3)$, $(2,3,4,3)$, $(3,1,6,2)$, $(3,1,2,6)$,... (Unha boa cuestión sería averiguar cantas tiradas distintas terán $3$ de media). Por esta razón a distribución $\bar{X}$ tomará valores no centro da distribución orixinal con máis frecuencia. Ademáis é bastante plausible que o centro da distribución $\bar{X}$ coincida coa media da distribución base, $\mu =3^{\prime }5$, que é unha distribución discreta que xa estudamos máis arriba, na que a cada un dos posibles resultados lle asignamos unha probabilidade de $1/6$. Se pensamos o que sucedería se no canto de lanzar catro dados, lanzamos seis, pronto nos convenceriamos de que aumentaría a concentración de $\bar{X}$ arredor do centro. A dispersión de $\bar{X}$ diminuirá ao aumentar o tamaño da mostra $n$. 

Que máis podemos dicir sobre a relación entre a distribución orixinal e a distribución mostral das medias? Se observamos o diagrama obtido nas mostras de catro datos (e podemos facelo repetidamente varias veces usando a folla de cálculo) veremos que as frecuencias relativas caen rapidamente a ambos lados da media $\mu$. Aínda que feblemente, a gráfica ten un aire coa curva normal teórica coa mesma media e cun desvío padron $\frac{\sigma }{\sqrt{n}}$. Se $n$ é o suficientemente grande a distribución $\bar{X}$ pódese axustar por esta curva normal. Convén fixarse en que a distribución orixinal é un rectángulo, moi distinta da forma da distribución $\bar{X}$. Isto que acabamos de explicar é o teorema central do límite. Podémolo enunciar, con algo máis de pompa, deste xeito:

Teorema Central do Límite. Dada unha variable aleatoria $X$ calquera, consideremos mostras de tamaño $n$ desta distribución $(X_1,X_2,...,X_n)$. A distribución mostral das medias $\bar{X}=\frac{\sum _{i=1}^n{X}_i}{n}$ aproxímase a unha variable aleatoria normal $N(\mu ,\frac{\sigma }{\sqrt{n}})$

É difícil determinar cal debe ser o valor de $n$ para ter un bo axuste. Con todo, para mostras ben pequenas, de tamaño 4, xa vimos que $\bar{X}$ vai collendo un aire. Para mostras de tamaño $n\ge 30$ poderemos aplicar o teorema sen medo.

Xogando coa lei dos grandes números

Lembro que desde bastante novo tiven a ilusión de ser profesor de matemáticas. Quizais por esa razón recordo moi vívidamente as clases de matemáticas que me impartiron, sobre todo durante a época do instituto. Daquela a probabilidade e a estatística apenas estaba presente no temario que se impartía. En consecuencia, nos meus tempos de estudante só recibín unha definición de probabilidade e precisamente por iso resultaba algo estraña. Era a chamada definición de probabilidade de Laplace: se A é un suceso a súa probabilidade $P(A)$ vén dada por $$P(A)=\frac{númerodecasosfavorablesaA}{númerodecasosposibles}$$

Evidentemente, se recibía esa denominación é que tiña que haber outras definicións. E se as había era por que a dada por Laplace tiña un problema: só tiña sentido cando se trataba de sucesos equiprobables. Esta definición non é aplicable ao caso dun dado trucado ou ao lanzamento dunha determinada clase de chinchetas (aquí os sucesos serían caer punta arriba ou coa punta apoiada na mesa). Hoxe en día, nas aulas de Secundaria, ofrécense normalmente dúas alternativas para definir a probabilidade. Unha delas é difícil de explicar. É a definición hilbertiana, a axiomática, atribuída a Kolmogorov. Para entendela en profundidade cómpre saber en que consiste un sistema axiomático e, nesa altura o alumnado non está afeito a ese tipo de referentes. Diremos que $P$ é unha medida de probabilidade se verifica os seguintes axiomas aplicados a un espazo mostral $E$ no que consideraremos sucesos $A$ e $B$:

1. $P\left(A\right)\ge 0$

2. $P\left(E\right)=1$

3. Se $A$ e $B$ son incompatibles ($A\cap B=\mathrm{\varnothing }$), entón $P(A\cup B)=p\left(A\right)+P\left(B\right)$

Aínda hai unha terceira alternativa para explicar en que consiste a probabilidade. Xurdida dos traballos de Jacob Bernouilli, é a coñecida como lei dos grandes números. Neste caso a idea é bastante intuitiva e non cómpre ningunha bagaxe cultural. Se realizamos un experimento moitas veces a probabilidade dun determinado suceso poderá aproximarse pola súa frecuencia relativa. Cantas máis veces fagamos o experimento mellor. De aí que se lle chamamos $n$ ao número de veces que realizamos o experimento, a probabilidade dun suceso $A$ virá dada por

$P(A)={\displaystyle \underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{nºdevecesquesucedeA}{n}}$

Con todo, esta explicación non está exenta de dificultades. Teño comprobado, unha e outra vez, que tan pronto se lle presenta ao alumnado esta última liña, toda a claridade expositiva anterior parece esvaerse. Por iso intentei buscar unha alternativa para que lles permitira practicar coa lei. Acheina en Teching Statistics (Cambridge Uneversity Press 2018) de Darren Macey e Will Hornby. O único que fixen foi seguir as súas indicacións, paso a paso. Trátase de elaborar unha folla de cálculo que simule o lanzamento dunha moeda. Para iso xeramos unha restra de números aleatorios, 0s ou 1s, onde identificaremos o 1 con "sacar cara". Na seguinte folla de cálculo fanse simulacións de 15, 150 e 1500 lanzamentos. O mellor é xogar con ela para observar o que pasa. Ao final de cada experimento obtemos un valor aproximado para a probabilidade. 

Hai dúas alternativas para traballar coa seguinte ferramenta.

• A mellor é descargar a folla de cálculo. Se queremos recalcular os datos basta premer F9
• Podemos facelo on-line. Nese caso debemos recargar de novo a páxina ou, o que é o mesmo premer Maíuscula+F5

O efecto paréceme hipnótico

Retallos do 2024

Durante o ano 2024 neste blogue publicáronse 23 entradas, unha mágoa non dar redondeado esta cifra ata as 24, o que nos daría un ritmo de dúas por mes (escribir esta frase, nun blogue de matemáticas avergoña un pouco). Houbo un total de 14.500 visitas.

Aínda que moitas veces escribo entradas soltas, que non teñen nada que ver coas anteriores ou coas posteriores, non é infrecuente que siga o fío dun tema nunha serie de publicacións. O ano pasado houbo unha restra de entradas que tiñan como obxectivo final dar conta dunha xeometría, que a pesar de ser euclidiana, ten unha fasquía non estándar. Desde o meu punto de vista esta xeometría debería ser máis coñecida. Considero que tería ser parte da formación de calquera estudante de Matemáticas. Velaquí o listado que remata cun bonus, a contextualización histórica da protagonista de moitas desas entradas, Marta Svéd, dentro do "Círculo Anónimo" de Budapest. Veredes que as primeiras son unha introdución á xeometría inversiva, necesarias para o seu uso nas últimas.

• A inversión proxectada
• A proxección estereográfica reencontrada
• Un regalo da xeometría inversiva
• A curiosa xeometría euclidiana de Marta Svéd. Introdución (1)
• A curiosa xeometría euclidiana de Marta Svéd. O desprazamento (2)
• A curiosa xeometría euclidiana de Marta Svéd. O V postulado e máis alá (e 3)
• O Círculo Anónimo

Coas liñas anteriores xa cubrimos case a terceira parte do publicado o ano pasado. 

En relación coa anterior lista está a última referencia da seguinte lista que está formada por aquelas entradas que non escribín eu, senón Andrés Ventas, e que, por certo, son das que máis visitas tiveron durante todo o ano. O comentario vén a conto de que tanto Svéd como Vázsonyi formaron parte do Círculo Anónimo.

• Son estraños os impares?
• Fraccións continuas teito e as montañas de Galicia
• Acurtar o cálculo do inverso multiplicativo modular
• O teorema de Svéd-Vázsonyi

O seguinte listado está adicado a Kordemsky, divulgador ruso do que ata este momento non tiña noticia (así compróbase a falta de cultura matemática do mantedor deste blogue)

• Paridade e equilibrio
• Problemas chegados desde Moscú.1
• Problemas chegados desde Moscú.2
• Problemas chegados desde Moscú.3

Remato os listados coas entradas adicadas a cuestións da aula. Por algún sitio se tería que ver que un ao que se adica é a impartir clase de matemáticas, non?

• Erros na aula de matemáticas
• O horror lingüístico nos exames da selectividade
• Unha querencia particular e unha querencia compartida
• Os conceptos na aula de matemáticas

Xa van  alá case todas as entradas do ano pasado e aínda non fixen referencia a un par delas que teñen o mérito der seren das máis visitadas. Unha delas é Explícoche matemáticas 2024, na que se dá conta dos vídeos premiados por ese magnífico concurso argallado desde a Facultade de Matemáticas da USC (nunca me cansarei de darlles os parabéns). A outra das entradas ás que facía referencia é a adicada á recompilación de información sobre Xosé Rodríguez González, o matemático de Bermés que foi o científico do ano 2024, nomeamento que lle outorgou a RACG.

Despois de toda esta panoplia, aínda hai un artigo sen citar. Non é, nin de lonxe dos máis visitados pero é un dos que máis me gustou escribir porque nel trátase un tópico desde un punto de vista que me sorprendeu. Constrúese unha colección de intervalos abertos que cabería esperar que recubirse sobradamente o intervalo $(0,1)$ pois todos e cada un dos números racionais é centro dun deses intervalos. Incluso se ve que a suma das lonxitudes dos intervalos é infinita. A pesar de todo hai un número $\frac{\sqrt{2}}{2}$ que fica fóra do recubrimento. Este fermoso exemplo dá conta da enrevesada forma en que están distribuídos racionais e irracionais dobre a recta, de aí o seu título, Asuntos irracionais.

O portal Retallos

Da páxina web Retallos non teño datos de tráfico. O que é certo é que fixen moitas actualizacións durante todo o ano. 

2025 e o número áureo

Cando hai cambio de ano, entre os interesados polas matemáticas, xurde toda unha panoplia de relacións numéricas que teñen como protagonista o número co que identificamos o novo ano. O usual é que a maior parte das veces sexan moi forzadas. Curiosamente nesta ocasión o 2025 é un número moi xeneroso. Resulta ser un cadrado perfecto: ${45}^2=2025$. Ademais 45 é a suma dos 9 primeiros números naturais. De aí que se verifique a seguinte relación:

$$2025={45}^2=(1+2+3+4+5+6+7+8+9{)}^2=1^3+2^3+3^3+4^3+5^3+6^3+7^3+8^3+9^3$$

Esta igualdade non é máis que un caso particular desta outra que me trae moi bos recordos porque a a vira por vez primeira no libro How to solve it do matemático de orixe húngara George Pólya (1887-1985). Estoume referindo á seguinte relación:

$$(1+2+3+...+n{)}^2=1^3+2^3+3^3+...+n^3$$

Hai moitas outras formas de escribir o número 2025, pero por norma xeral non teñen a prestancia desta que acabamos de comentar; ou iso era o que pensaba eu o ano pasado.

Os costumes sociais dictan que a noite vella un debe facer o sacrificio de non deitarse ata horas moi tardías. Ese era o caso, pasaran horas no ano novo, xa puxera o pixamam e estaba máis que disposto a, por fin, deitarme. Para fortuna miña, tiven a idea de botarlle un ollo a esa plataforma en devalo, agora chamada X e antes Twitter. Alí un astrofísico que se identifica como Andrezj Odrzywolek ofrecía esta fermosa fórmula

$$2025={({\varphi }^4-\frac{1}{{\varphi }^4})}^4$$

A pesar de estar moi avanzada a noite non puiden resistir a tentación de comprobar a igualdade. Para iso bastaría ver que ${\varphi }^4-\frac{1}{{\varphi }^4}=\sqrt[4]{2025}=\sqrt[4]{{45}^2}=\sqrt{45}=3\sqrt{5}$

Chegaranos con lembrar algunhas das igualdades máis básicas do número áureo que iremos utilizando no transcurso da verificación : $$\varphi =\frac{1+\sqrt{5}}{2},{\varphi }^2=\varphi +1e\frac{1}{\varphi }=\varphi -1$$

Sen máis voltas, imos ao choio:

$${\varphi }^4-\frac{1}{{\varphi }^4}=({\varphi }^2+\frac{1}{{\varphi }^2})({\varphi }^2-\frac{1}{{\varphi }^2})=(\varphi +1+\frac{1}{\varphi +1})\left(\frac{{\varphi }^4-1}{{\varphi }^2}\right)=$$ $$=\left[\frac{{(\varphi +1)}^2+1}{\varphi +1}\right]\frac{({\varphi }^2+1)({\varphi }^2-1)}{{\varphi }^2}=\frac{{\varphi }^2+2\varphi +2}{\varphi +1}\cdot \frac{(\varphi +1+1)(\varphi +1-1)}{{\varphi }^2}=$$ $$=\frac{\varphi +1+2\varphi +2}{\varphi +1}\cdot \frac{(\varphi +2)\varphi }{{\varphi }^2}==\frac{3\varphi +3}{\varphi +1}\cdot \frac{\varphi +2}{\varphi }=\frac{3(\varphi +1)}{\varphi +1}\cdot (1+\frac{2}{\varphi })=$$ $$=3[1+2(\varphi -1)]=3(1+2\varphi -2)=3(2\varphi -1)=3(2\cdot \frac{\sqrt{5}+1}{2}-1)=3\sqrt{5}$$

Chegados a este punto, fun deitarme. Non acho mellor forma de comezar o ano ${({\varphi }^4-\frac{1}{{\varphi }^4})}^4$

Post scriptum (10/10/2025)

Ao puco de escribir esta entrada decateime de que  podería simplificarse moito usando a supercoñecida (?) fórmula de Binet. A verdade é que fun bastante idiota por non terme decatado antes pois ese parece o camiño máis directo e natural. Tamén é certo que desde que saiu a publicación (o 1 de xaneiro) ata o día de hoxe, ninguén me fixo un comentario nese sentido, o que me fai sospeitar que ninguén le realmente este blogue. Con todo, lembremos a fórmula de Binet. 

A ecuación cuadrática $x^2-x-1=0$ ten dúas solucións. Unha delas é o número áureo $\varphi =\frac{1+\sqrt{5}}{2}$ e a outra é un número negativo $\tau =\frac{1-\sqrt{5}}{2}=-\frac{1}{\varphi }$. A diferenza destes dous valores é $\varphi -\tau =\sqrt{5}$

Relacionado co número áureo está a sucesión de Fibonacci, $\left\{F_n\right\}=\{0,1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,...\}$ na que cada termo é a suma dos dous anteriores: $F_n=F_{n-1}+F_{n-2}$ con $F_0=0$ e $F_1=1$. Así $F_2=1$, $F_3=1$, $F_4=3$... Así xa estamos en condicións de introducir a prometida fórmula de Binet que nos dá os valores dos termos da sucesión de Fibonacci en función do número áureo:

$$F_n=\frac{1}{\sqrt{5}}[{\left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)}^n-{\left(\frac{1-\sqrt{5}}{2}\right)}^n]=\frac{1}{\sqrt{5}}[{\varphi }^n-{(-\frac{1}{\varphi })}^n]=\frac{{\varphi }^n-{\tau }^n}{\varphi -\tau }$$

Está claro que tamén se pode escribir así, que é como nos convén a nós:$$F_n=\frac{1}{\sqrt{5}}[{\varphi }^n-\frac{{(-1)}^n}{{\varphi }^n}]$$

Para evitar a incomodidade dos signos negativos, consideremos só os elementos pares da sucesión de Fibonacci: fagamos $n=2k$

$$F_{2k}=\frac{1}{\sqrt{5}}[{\varphi }^{2k}-\frac{{(-1)}^{2k}}{{\varphi }^{2k}}]=\frac{1}{\sqrt{5}}({\varphi }^{2k}-\frac{1}{{\varphi }^{2k}})$$

Aínda podemos limpar máis a fórmula elevando os dous membros ao cadrado, así desfacémonos da raíz e quedamos con números enteiros:

$${({\varphi }^{2k}-\frac{1}{{\varphi }^{2k}})}^2=5F_{2k}^2$$

Para $k=2$ temos ${({\varphi }^4-\frac{1}{{\varphi }^4})}^2=5F_4^2=5\cdot 3^2=45$, que era o que queríamos comprobar.

Ademais obtivemos todos os valores que teñen a mesma forma que o enunciado inicial:

$${\varphi }^{2k}-\frac{1}{{\varphi }^{2k}}=\sqrt{5}\cdot F_n$$

Como curiosidade, se $k=1$ escribiremos ${\varphi }^2-\frac{1}{{\varphi }^2}=\sqrt{5}=\varphi -\tau =\varphi -\frac{-1}{\varphi }=\varphi +\frac{1}{\varphi }$. Non houbo alguén que falou algunha vez do "pracer estético das matemáticas"? (Pode ser que non, que todo fose unha ilusión, ou simplemente un título extravagante que se usou como técnica de mercadotecnia para vender un libro)

Problemas chegados desde Moscú. 3

Esta é a terceira e última entrada adicada a recoller problemas de Boris Kordemsky. As anteriores pódense consultar aquí e aquí.

Imos cun problema moi simple. Con todo moita xente dirá que lle faltan datos.

Un barco diésel e un hidroavión. Un barco diésel parte de viaxe. Cando está a 180 millas da costa envíase un hidroavión co correo que ten unha velocidade dez veces superior á do barco. A que distancia alcanza o barco?

O encantador do seguinte problema é que a pregunta é inesperada. 

En coche e a cabalo. Un mozo e un home maior saen da vila cara a cidade; un vai a cabalo e outro en coche. Pronto queda claro que se o home maior chegase tres veces máis lonxe de onde está, quedaríalle a metade para viaxar do que lle queda. E se o mozo viaxara a metade do que xa fixo, quedaríanlle tres veces máis para viaxar do que lle queda. Quen vai a cabalo?

Sei que non hai que recorrer á combinatoria para resolver a seguinte cuestión. Con todo, desde que o coñecín coloqueino entre os problemas a resolver cando trato na clase as técnicas de reconto combinatorio.

Novas estacións. Cada estación vende billetes a todas as outras estacións do percorrido. Cando se engaden algunhas estacións hai que imprimir 46 billetes adicionais. Cantas estacións se engadiron? Cantas había antes?

Teño preferencia polos problemas de matemáticas sen referencias externas. Matemáticas para estudar as propias matemáticas. Dentro deste ámbito está o estudo do propio sistema de numeración. Quizais o pouco traballo/reflexión sobre o sistema decimal, quizais a propia abstracción deste tipo de cuestións, o certo é que normalmente vólvenselle moi dificultosas ao alumnado.

Un número de cinco díxitos. Dime un número de cinco díxitos tal que se lle engades un 1 despois do mesmo é tres veces maior que se llo engades antes.

Cando un se enfronta ao seguinte enunciado cómprelle unha gran dose de imaxinación. Temos un avión, unha motocicleta e un cabalo andando dun lado para outro. O curioso é que non nos dan ningunha velocidade.

O motociclista e o xinete. Envían un motociclista desde a oficina de correos a tempo para a chegada dun avión ao aeroporto. O avión chega antes de tempo e o correo é transportado á oficina de correos a cabalo. Despois de media hora o xinete crúzase co motociclista e dálle o correo. A motocicleta volve á oficina de correos 20 minutos antes do esperado. Cantos minutos antes aterrizou o avión?

O tradutor do libro ao inglés, Albert Perry, especialista en ruso da Colgate University, fixo unha curiosa anotación ao seguinte problema:" Non hai árbores de nadal na URRS, oficialmente só os hai de aninovo". En canto ao contido, é un clásico.

Regalos de aninovo. O noso comité executivo do sindicato xestionou unha árbore de aninovo para os nenos. Despois de distribuir caramelos e galletas en paquetes de regalo, comezamos coas laranxas. Pero decatámonos de que se poñemos 10 laranxas por paquete, un paquete só terá 9, se colocamos 9, un paquete só derá 8; se poñemos 8, 7; e así sucesivamente ata dúas laranxas por paquete cun paquete con só 1. Cantas laranxas temos? 

Para entender os comentarios ao seguinte problema cómpre ler antes o enunciado.

Unha suma palindrómica. Este problema aínda non foi resolto. Suma a un enteiro o propio número invertido. Engade á suma o invertido da suma. Continúa ata que a suma sexa un palíndromo (que se le igual de esquerda a dereita que de dereita a esquerda) $$\begin{array}{ccccccc}38& & 139& & 48017& & \\ \underset{―}{83}& & \underset{―}{931}& & \underset{―}{71084}& & \\ 121& & 1170& & 119101& & \\ & & \underset{―}{0711}& & \underset{―}{101911}& & \\ & & 1881& & 221012& & \\ & & & & \underset{―}{210122}& & \\ & & & & 431134& & \end{array}$$

Pode que sexan necesarios moitos pasos. (de 89 a 8.813.200.023.188 precísanse 24 pasos). Unha hipótese é que calquera enteiro produce, antes ou despois, un palíndromo. Segundo Kordemsky, un traballador industrial de Riga chamado P. R. Mols, decatouse de que o número 196, despois de setenta e cinco pasos, non produce un palíndromo. Kordemsky pídenos que no canto de continuar a partir do número de 36 díxitos da septuaxésima quinta suma, intentemos refutar ou demostrar a conxectura mediante un razoamento.

Martin Gardner comenta que xa se realizaran daquela miles de sumas a partir do 196 e que non se achara ningún palíndromo. Tamén informa que a conxectura foi demostrada falsa para os números binarios. Sospéitase que hai números que non darán lugar a un palíndromo. A eses números chámaselles números de Lychrel. En concreto 196 é un candidato destacado para ser un número de Lychrel. É curioso que este tipo de números teñan nome, aínda que non se sabe se realmente existe algún.