En boa medida este blogue está dedicado ás matemáticas recreativas. Daquela, para darlle algo de prestancia, con certa recurrencia recóllense achegas de personaxes destacados neste ámbito. Mirando na columna da dereita, no gadget corespondente a Persoas, achamos a verdadeiros precursores das matemáticas recreativas: Alcuíno de York (c. 735-804), Lewis Carroll (1832, 1898), Samuel Loyd (1841-1911), Henry Dudeney (1857-1930) e Yakov Perelman (1882-1942), alén dos xa nacidos no século XX. Con todo, hai aínda outros que poden sumarse a esta lista, como é o caso de, por exemplo, Walter William Rouse Ball (1850-1965). Nesta ocasión intentaremos corrixir esta falta.
A pesar do comentado no parágrafo anterior, a verdadeira motivación para esta entrada foi outra non foi a de completar a nómina de divulgadores das matemáticas. En realidade o impulso veu dado pola entrada anterior. Alí presentábase unha falacia xeométrica ois demostrabamos que todos os triángulos son equiláteros. Comentabamos que o enganoso razoamento, recollido dun libro de matemáticas recreativas publicado no 1917, estaba acompañado doutros do mesmo estilo, en concreto dun que tamén aparecía nun texto de Lewis Carroll, onde se explicaba que
Teorema: a veces un ángulo obtuso pode ser igual a un recto
Resulta que este resultado tamén o podemos achar noutro libro, Mathematical Recreations and Essays (1892), de W. W. Rouse Ball (1850-1925). Como na entrada anterior, vou deixar de lado o anterior teorema e vou recoller outro que o acompaña.
Teorema: Dado un segmento $AB$ sempre podemos achar outro segmento menor $AZ$ tal que $AB=AZ$
Antes de nada construiremos un triángulo $ABC$ cun ángulo agudo $\widehat{A}$ e tal que $\widehat{C}\gt \widehat{B}$. Daquela poderemos trazar o ángulo $\angle AZC=\angle B$ determinando así o punto $Z$. Tracemos tamén $CD$ perpendicular sobre $AB$
Fixada a terminoloxía que observamos na imaxe, demostraremos que $c=z$
Resulta que os triángulos $AZC$ e $ABC$ teñen dous ángulos iguais, polo tanto son semellantes.
Usaremos a notación $[A,B,C]$ para indicar a área do triángulo $ABC$. Sabemos que a razón entre as áreas de dous triángulos semellantes é o cadrado da razón entre os lados correspondentes deses triángulos: $$\frac{\left[ A,B,C \right]}{\left[ A,Z,C \right]}=\frac{a^{2}}{w^{2}}$$
Pero podemos obter a área dos triángulos como a metade da base pola altura: $$\frac{\left[ A,B,C \right]}{\left[ A,Z,C \right]}=\frac{\frac{1}{2}c\cdot h}{\frac{1}{2}z\cdot h}=\frac{c}{z}$$
Igualando as expresións anteriores:$$\frac{a^{2}}{w^{2}}=\frac{c}{z}\Longrightarrow \frac{a^{2}}{c}=\frac{w^{2}}{z}$$
Fixémonos nos numeradores. Apliquémoslle aos dous triángulos o teorema do coseno: $$a^{2}=b^{2}+c^{2}-2bc\cdot cosA$$ $$w^{2}=b^{2}+z^{2}-2bz\cdot cosA$$
Entón obtemos: $$\frac{b^{2}+c^{2}-2bc\cdot cosA}{c}=\frac{b^{2}+z^{2}-2bz\cdot cosA}{z}$$ $$\frac{b^{2}}{c}+c-2bc\cdot cosA=\frac{b^{2}}{z}+z-2bz\cdot cosA$$ $$\frac{b^{2}}{c}+c=\frac{b^{2}}{z}+z$$ $$\frac{b^{2}}{c}-z=\frac{b^{2}}{z}-c$$ $$\frac{b^{2}-cz}{c}=\frac{b^{2}-cz}{z}$$
Como temos dúas fraccións iguais co mesmo numerador, tamén serán iguais os seus denominadores: $c=z$
