Os primeiros anos que impartín clase entregaba boletíns con listas enormes de exercios. O normal era entregar un folio ateigado de exercicios ata as marxes. Podía ser, por exemplo un boletín de operacións con quebrados, todos moi semellantes, e con cálculos cada vez máis monstruosos, cargados de parénteses, corchetes e signos operacionais nos lugares máis insospeitados. Co tempo, e batendo no lombo de moitos sufridos alumnos, aprendín que esa metodoloxía non era, digámolo finamente, moi acaída. Máis alumnos podían aprender máis se os exercicios eran máis moderados tanto en cantidade como en dimensións. Ademais, é preferible facelos na aula porque a interacción cos compañeiros acaba sendo beneficiosa e ,se o número de alumnos non é excesivo (cousa cada vez máis infrecuente), podes axudalos moito máis efectivamente e en moitos máis aspectos. Durante eses primeiros anos tamén explicaba o algoritmo do cálculo das raíces cadradas. Non é que sexa moi complicado, pero se atendemos á confusa redación que nos ofrece a Galipedia, acabaremos tendo gañas de defenestrarnos antes de continuar sofrindo con ese desenvolvemento.
 |
| Fragmento do escuro e basto algortimo do cálculo da raíz cadrada, da Galipedia |
Con verificable ánimo masoquista vou debullar deseguido este algoritmo. Con todo pode haber unha xustificación saudable para facelo. Resulta que hai uns días volvín a ler La cresta del pavo real de George Gheverghese Joseph (Pirámide 1991) e alí asaltoume unha agradable sorpresa que, evidentemente, en lecturas anteriores non me chamara o sufiente a atención. A cuestión é que o algoritmo do cálculo das raíces cadradas que eu explicaba na aula nos meus anos mozos é o mesmo que o que aparece no cuarto capítulo do texto máis importante da matemática china, Os nove capítulos das artes matemáticas. Trátase dun libro elaborado por escribas dos séculos I e II a.d.C que atraería a varios comentaristas, entre os que destacan Liu Hui (III d.C) e Yan Hui (XIII d.C).
O método chino facía uso de 4 filas. A primeira está reservada ao resultado. A segunda ben ao radicando ou ben ao número que utilizaremos como base dos cálculos en cada paso. Na terceira fila escribiremos un número auxiliar. Finalmente a cuarta fila utilizábase para marcar cunha variña a posición (unidades, decenas, centenas, millares, ...) que debía operarse en cada paso. Aínda que aparece consignada nas seguinte táboas, esta última fila para nós sería completamente precindible polo que non faremos referencia á mesma en todo o procedemento.
Trátase de calcular $\sqrt{N}=r$. Supoñamos que $r$ é un número de 3 cifras, $a, b$ e $c$. Daquela escribiremos $r=\alpha+\beta+\gamma$ con $\alpha=100a$, $\beta=10b$ e $\gamma=c$. $$N=r^{2}=\left( \alpha+\beta+\gamma \right)^{2}=\alpha^{2}+\beta\left( 2\alpha+\beta \right)+\gamma\left[ 2\left( \alpha+\beta \right)+\gamma \right]$$
Para facer a explicación máis clara, daremos axudarémonos un cálculo concreto. Anunciamos que buscamos a raíz cadrada de $N=71824$
| $raíz$ | $\alpha$ | | | | | |
| $número$ | $N$ | $7$ | $1$ | $8$ | $2$ | $4$ |
| $cálculos$ | | | | | | |
| $posición$ | $1$ | | | | | |
Separamos, de dereita a esquerda, as cifras de dúas en dúas. Daquela podemos determinar por tanteo o valor de $\alpha=200$. Calculamos $N-\alpha^{2}$ e $2\alpha$
| $raíz$ | $\alpha$ | | | $2$ | | |
| $número$ | $N-\alpha^{2}$ | $3$ | $1$ | $8$ | $2$ | $4$ |
| $cálculos$ | $\alpha^{2}$ | 4 | | | | |
| $posición$ | $100$ | $1$ | | | | |
Agora calculamos $2\alpha=400$
| $raíz$ | $\alpha$ | | | $2$ | | |
| $número$ | $N-\alpha^{2}$ | $3$ | $1$ | $8$ | $2$ | $4$ |
| $cálculos$ | $2\alpha$ | | $4$ | | | |
| $posición$ | $100$ | | | $1$ | | |
Dividindo $N-\alpha^{2}$ entre $2\alpha$ poderemos determinar $\beta$ por tanteo: divido $31$ entre $4$ e, como o $7$ non serve, comprobo que $6$ será a cifra das decenas. Calculamos $2\alpha + \beta$ e $(2\alpha+\beta)\beta$. De $N-\alpha^{2}$ restamos $(2\alpha+\beta)\beta$
| $raíz$ | $\alpha + \beta$ | | | $2$ | $6$ | |
| $número$ | $N-\alpha^{2}-\left( 2\alpha+\beta \right)\beta$ | | $4$ | $2$ | $2$ | $4$ |
| $cálculos$ | $2\alpha+\beta$ | | | $4$ | $6$ | |
| $posición$ | $10$ | | | | 1 | |
Convén decatarse de que $N-\alpha^{2}-\left( 2\alpha+\beta \right)\beta=N-\left( \alpha+\beta \right)^{2}$
Calculamos agora $2\left( \alpha+\beta \right)=520$
| $raíz$ | $\alpha + \beta$ | | | $2$ | $6$ | |
| $número$ | $N-\alpha^{2}-\left( 2\alpha+\beta \right)\beta$ | | $4$ | $2$ | $2$ | $4$ |
| $cálculos$ | $2\left( \alpha+\beta \right)$ | | | $5$ | $2$ | |
| $posición$ | $10$ | | | | $1$ | |
E repetimos o proceso: tanteamos o valor de $\gamma$ para que $2\left( \alpha+\beta \right)+\gamma$ multiplicado por $\gamma$ sexa o máis aproximado posible ao número da segunda fila. Neste caso $\gamma=8$
| $raíz$ | $\alpha + \beta+ \gamma$ | | | $2$ | $6$ | $8$ |
| $número$ | $N-\left( \alpha+\beta \right)^{2}-\left[ 2\left( \alpha+\beta \right) +\gamma\right]\gamma$ | | | | | |
| $cálculos$ | $2\left( \alpha+\beta \right)+\gamma$ | | | $5$ | $2$ | $8$ |
| $posición$ | $1$ | | | | | $1$ |
Teñamos presente que $N-\left( \alpha+\beta \right)^{2}-\left[ 2\left( \alpha+\beta \right)\gamma \right]\gamma=N-\left( \alpha+\beta+\gamma \right)^{2}$. Neste caso a raíz é exacta, polo que na segunda fila anúlanse todos os valores.
Intentouse dar unha explicación asentándonos na linguaxe alxébrica. Quizais, con todo, o procedemento se nos presente demasiado forzado. Quizais o vexamos demasiado lioso. As fórmulas precisan de transformacións que escurecen un pouco os pasos que fomos dando. Pode que por isto o algoritmo fose expulsado do Olimpo das matemáticas básicas, aquelas que debe coñecer todo cidadán. Velaquí que a interpretación xeométrica pode acabar redimíndoo por claridade e elegancia:
 |
| O claro e elegante algoritmo do cálculo da raíz cadrada |
