Xa que a mencionamos anteriormente, enunciarémola:
A regra da cadea. Dadas dúas funcións $f$ e $g$ a derivada da composición $ g_{\circ } f$ será
$$\left ( g_{\circ }f \right )'(x)=g'\left [ f\left ( x \right ) \right ]\cdot f'(x)$$
Unha consecuencia inmediata deste mesmo resultado é a derivación da inversa dunha función.
Teorema da derivada da función inversa. $$\left (f^{-1} \right )'(x)=\frac{1}{f'\left [ f^{-1} \left ( x \right )\right ]}$$
Noutra ocasión, abordando o tema dos erros achegáramonos a este teorema pois dá lugar a que a súa compresión sexa dificultosa por usarmos o termo inversa, un termo que pode ter outras acepcións. A isto engádeselle que a notación de derivada dunha función $f'$ e o de inversa dunha función $f^{-1}$ son tipograficamente moi semellantes.
A demostración deste ultimo resultado aséntase, necesariamente, no concepto de función inversa. Lembremos que a inversa dunha función $f$, que denotaremos por $f^{-1}$ é aquela función que composta con $f$ nos dá a función identidade $I(x)=x$. Poderemos escribir, xa que logo, $f^{-1}_{\circ}f=f_{\circ}f^{-1}=I$. Non teño claro que procedo ben, pero atendendo ás anteriores consideracións, para demostrar na clase este resultado, renomeo a función inversa coa letra grega $\varphi=f^{-1} $. Así a propiedade definitoria da función inversa transcribiriamola agora $\varphi{\circ}f=f_{\circ}\varphi=I$. Aplicándolle a regra da cadea á igualdade $(\varphi_{\circ}f)(x)=I(x)$ teremos:
$$(\varphi_{\circ}f)'(x)=f'\left[ \varphi\left( x \right) \right]\cdot\varphi'\left( x \right)=1$$
$$\varphi'\left( x \right)=\frac{1}{f'\left[ \varphi\left( x \right) \right]}$$
Volvendo á notación orixinal para a inversa temos o resultado buscado:
$$\left (f^{-1} \right )'(x)=\frac{1}{f'\left [ f^{-1} \left ( x \right )\right ]}$$
Quixo a azarosa casualidade da navegación pola arañeira de internet que todas estas consideracións ás que me achegara en moitas ocasións, se conectaran dunha forma realmente brillante mediante a seguinte cuestión:
Problema. Achar a función $f$ tal que $f'$=$f^{-1} $
A azarosa casualidade foi este vídeo de Michael Penn que vou seguir de aquí en diante para dar a solución.
Algo de traballo sumado a un todo e nada de intuición pode levarnos polo bo camiño se conxecturamos que a solución ten a forma $f\left( x \right)=ax^{n}$.
Escribamos a función da forma $y=ax^{n}$ e intercambiemos $x$ con $y$ para calcular a inversa. Obtemos $x=ay^n$. Despexando $y$: $f^{-1}(x)=y=\sqrt[n]{\frac{x}{a}}$
Por outra banda, calculemos a derivada: $f'\left( x \right)=a\cdot nx^{n-1}$
Igualamos $f'$ a $f^{-1}$:
$$a\cdot nx^{n-1}=\sqrt[n]{\frac{x}{a}}$$
Elevando a $n$ os dous membros e operando:
$$a^{n} n^{n}x^{n^{2}-n}=\frac{x}{a}$$
$$a^{n+1} n^{n}x^{n^{2}-n-1}=1\quad\quad [1]$$
$$x^{n^{2}-n-1}=\frac{1}{n^{n}a^{n+1}}$$
O segundo membro é unha constante, de aí que o expoñente da variable $x$ teña que ser $0$, isto é $n^{2}-n-1=0$. Pero esta é unha ecuación moi famosa, que ten como solucións o número áureo e o seu inverso cambiado de signo:
$$n_{1}=\frac{1+\sqrt{5}}{2}=\phi\quad\quad\quad n_{2}=\frac{1-\sqrt{5}}{2}=-\frac{1}{\phi}$$
Quizais, pecando de pesado, vou volver a lembrar algunhas das propiedades básicas do número $\phi$ e que poderemos usar en calquera momento, sen outro aviso engadido.
$$\phi^{2}=\phi+1\quad\quad \phi=1+\frac{1}{\phi}\quad\quad \phi-1=\frac{1}{\phi}$$
Con todo o deducido nas últimas liñas e escollendo a primeira solución $n_{1}$ podemos volver a reescribir a expresión [1] con esta nova fasquía:
$$\phi^{\phi}a^{\phi+1}\cdot1=1$$
$$\phi^{\phi}a^{\phi^{2}}=1$$
Tomando a raíz $\phi$-ésima nos dous membros:
$$\phi a^{\phi}=1$$
$$a=\left( \frac{1}{\phi} \right)^{\frac{1}{\phi}}$$
Velaí que a función buscada é $f\left( x \right)=\left( \frac{1}{\phi} \right)^{\frac{1}{\phi}}x^{\phi}=\left( \phi-1 \right)^{\phi-1}x^{\phi}$
A expresión da función brilla con luz propia.
Outro método
Sempre resulta agradable resolver un problema seguindo camiños distintos. Xa que tratamos un pouco antes o teorema da función inversa, quizais non sería mala idea empregalo. De facérmolo así, escribindo na fórmula que nos dá o teorema da función inversa $f'$ no canto de $f^{-1}$ teremos:
$$\left( f' \right)'(x)=\frac{1}{f'\left[ f'\left( x \right) \right]}$$
Agora ben, se por unha banda o que nos aparece no primeiro membro é a segunda derivada, $\left( f' \right)'(x)=f''(x)$, a expresión do segundo membro non o é. Aclarámolo todo nas seguintes liñas.
Como no caso anterior, partimos de que $f\left( x \right)=ax^{n}$ polo que $f'(x)=nax^{n-1}$
$$f''(x)=n\left( n-1 \right)ax^{n-2}$$
$$f'\left[ f'(x) \right]=na\left( f'(x) \right)^{n-1}=na\left( nax^{n-1} \right)^{n-1}=n^{n}a^{n}x^{(n-1)^{2}}$$
O produto das anteriores expresións ten que dar $1$
$$n^{n+1}a^{n+1}\left( n-1\right)x^{n^{2}-n+1}=1$$
As mesmas consideracións feitas na anterior dedución implican que o expoñente da variable debe ser $0$ e así obtemos a mesma ecuación cuadrática para $n$. Ademais así eliminamos a variabe na anterior expresión e quédannos unicamente as constantes. Tomando $n_{1}=\phi$ teremos:
$$\phi^{\phi+1}a^{\phi+1}\left( \phi-1 \right)=1$$
$$\phi^{\phi+1}a^{\phi+1}\frac{1}{\phi}=1$$
$$\phi^{\phi}a^{\phi+1}=1$$
$$\phi^{\phi}a^{\phi}a=1$$
Tomando a raíz $\phi$-ésima e despexando:
$$\phi aa^{\frac{1}{\phi}}=1$$
$$\phi a^{1+\frac{1}{\phi}}=\phi a^{\phi}=1$$
E así, outra vez
$$a=\left( \frac{1}{\phi} \right)^{\frac{1}{\phi}}$$
Un último apuntamento
Nos cálculos anteriores estivemos usando sempre o valor $n_{1}=\phi$ pero resulta que a ecuación da que o obtivemos ese valor tiña outra solución: $ n_{2}=-\frac{1}{\phi}$. Neste caso chegaremos a outra función que tamén é solución do problema, $f\left( x \right)=\left( 1-\phi \right)^{\phi}x^{1-\phi}$. Reto ao lector, se o houber, a que faga el mesmo a dedución.
