A curiosa xeometría euclidiana de Márta Svéd. Introdución (1)

Comeza aquí unha serie de tres entradas sobre unha curiosa xeometría. Ben, en realidade non é este o principio. Este xa foi publicado neste mesmo blogue noutras tres entradas:

• A proxección estereográfica reencontrada. Aquí explícase en que consiste a proxección estereográfica e danse algunhas propiedades da mesma, como a de que leva circunferencias en circunferencias ou que conserva os ángulos.
• A inversión proxectada. Nesta entrada relátase en que consiste a inversión respecto dunha circunferncia e como se pode obter a inversión a partir da proxección estereográfica. Isto último permite revisar cal é a inversión de circunferencias, tanto das que pasan polo centro da circunferencia inversiva como as que non; tamén explica por que a inversión conserva ángulos.
• Un regalo da xeometría inversiva. Esta ligazón lévanos a unha fórmula que relaciona a lonxitude dun segmento $AB$ coa do seu inverso $A^{\prime }{B}^{\prime }$. Como regalo obtemos unha fermosa demostración do teorema de Ptolomeo.

A curiosa xeometría de Márta Svéd

No verán pasado fun ao curso da USC "Matemáticas húngaras", organizado polo profesor Jorge Losada Rodríguez. Unha das conferencias correu a cargo da coñecida divulgadora Marta Macho, da Universidade do País Vasco, trataba sobre as mulleres matemáticas de Budapest. Falou da vida, obra e aventuras de moitas mulleres húngaras. Unha delas foi a Marta Wachsberger (1910-2005) , coñecida como Marta Svéd despois do seu matrimonio, fuxiría a Australia no 1935, escapando do horror nazi. Con 75 anos defendería a súa tese doctoral na Universidade de Adelaida. 

Marta Macho deunos a coñecer un curioso libro escrito por Marta Svéd, Journey into geometries (AMS/MAA, 1991). Trátase dun orixinal diálogo entre un tal Dr. Whatif, Lewis Carroll, autor de Alicia no país das marabillas, a propia Alicia e moitos outros dos personaxes do famoso libro de Carroll (Humpty Dumpty, Tweedledee e Tweedledum, a Raíña Vermella, a Lebre de Marzo,...). Alicia xoga o papel de alumna avantaxada; Lewis Carroll representa as matemáticas decimonónicas. O significativo antropónimo, Dr. Whatiff,  desvela o carácter principal dun individuo sempre disposto a innovar e a xogar con novas hipóteses. Para rebaixar as expectativas de quen estivera pensando en ler este libro, cómpre que saiba que nel hai moitas matemáticas ata o punto de que cada capítulo remata cun boletín de exercicios. O libro conta cun pequeno prefacio do xeómetra H.S.M. Coxeter (1907-2003) e cunha boa colección de ilustracións que axudan moito á lectura. Estas son obra do tamén matemático John Stilwell (1942-)

En Journey into geometries os personaxes viaxan por distintas ideas xeométricas. No primeiro capítulo trabállase a potencia dun punto respecto dunha circunferencia; o segundo trata sobre a inversión; o cuarto ocúpase da xeometría hiperbólica, o quinto da xeometría do disco de Poincairé e o sexto e último capítulo está dedicado á xeometría proxectiva. 

E o terceiro? O terceiro, desde o meu punto de vista, é o máis interesante de todos. Nel Marta Svéd presenta unha xeometría euclidiana dunha fasquía extravagante. No libro esa xeometría recibe o nome de "xeometría do Dr. Whatif". Por simplicidade referireime a ela como xeometría W (en referencia ao Dr., ou quizais, aínda mellor, en referencia a Wɐɹʇɐ). Co fin de  distinguilos dos conceptos da xeometría euclidiana usual aos da W-xeometría denominareinos usando ese símbolo: W-puntos, W-rectas, W-rectas, W-distancias...

A W-xeometría é unha xeometría do plano na que eliminamos un punto ao que chamaremos punto O. En compesación engadimos un novo punto, o do infinito, $P_{\mathrm{\infty }}$ . As W-rectas serán as circunferencias e as rectas que pasen por O. Estas últimas serán as W-rectas que conteñan o punto do infinito. Tendo en conta que podemos considerar as rectas como circunferencias de raio infinito estariamos en disposición de resumir dicindo que as W-rectas son as circunferencias que conteñen a O (pero sen o punto O, por suposto). Así, os W-segmentos serán ben arcos de circunferencia, ben segmentos usuais nas rectas que pasan polo punto do infinito, ben segmentos que conteñan ou teñan como extremo ao punto do infinito. Os W-ángulos coincidirán cos ángulos da xeometría euclidiana usual. 

Pasemos a comprobar que a W-xeometría é euclidiana, isto é, que verifica os cinco postulados propostos por Euclides nos Elementos.

I postulado

Un dos resultados da xeometría plana máis coñecidos é o que nos di que por tres puntos sempre podemos trazar unha circunferencia.  Aplicando este resultado á W-xeometría teriamos que dados dous W-puntos $A$ e $B$, e dado $O$, poderemos trazar a W-recta que pasa por eles. Se están aliñados volveremos a recordar que podemos considerar a recta como unha circunferencia de raio infinito.l Dado un punto calquera $A$ e o punto do infinito $P_{\mathrm{\infty }}$ sempre podemos trazar a recta que pasa por eles pois é a recta euclidiana que pasa por $A$ e por $O$ Así que a W-xeometría verifica o I postulado euclidiano.

Postulado II

 Consideremos unha circunferencia que pase por O (da que eliminamos precisamente o punto O). Dado nela un arco de circunferencia $AB$ sempre o poderemos ampliar a outro arco maior $A^{\prime }{B}^{\prime }$ en calquera dos dous sentidos.

Traduzamos isto en termos da W-xeometría. Teremos que dado un W-segmento $AB$ poderemos prolongalo a outro $A^{\prime }{B}^{\prime }$. Este é o II postulado da xeometría euclidiana. Se partimos dunha recta que pasa por O, pode suceder que o segmento $AB$ sexa finito, nese caso basta con remitirnos á xeometría euclidiana clásica 

Algúns casos do Postulado II

No caso de que o segmento conteña a $P_{\mathrm{\infty }}$, tampouco teremos dificultades tanto para ampliar o segmento $AB$ a $A^{\prime }{B}^{\prime }$ como o segmento $A{P}_{\mathrm{\infty }}$ a outro $A{P}_{\mathrm{\infty }}^{\prime }$

Postulado II con punto do infitnito

Postulado III

O III postulado di que debemos ser quen de "debuxar unha circunferencia con calquera centro e distancia". Velaquí que debemos explicar como medir distancias nesta peculiar xeometría. Marta Svéd ofrécenos unha analoxía para achegarnos a este tópico.

Supoñamos que, sen usar o compás,  queremos trazar unha circunferencia de centro $C$ e pasando por un punto $P$ na "anticuada" xeometría euclidiana. Poderiamos facelo da seguinte maneira. Consideremos unha recta $r$ pasando por $C$ para obter $P^{\prime }$, a reflexión de $P$ respecto de $r$. $P^{\prime }$ será outro punto da circunferencia. Xa que logo, a circunferencia estará formada por todas as reflexións de $P$ respecto de todas as rectas pasando polo centro $C$. Pois ben, a W-reflexión non será outra cousa que a inversión. Unha W-circunferencia poderá obterse invertendo un punto $P$ polas circunferencias que pasan por $O$ e por $C$. 

Unha circunferencia que pase por $O$ e $C$ terá o seu centro na mediatriz $m$ do segmento $OP$. Cada unha delas invertirá un punto $P$ noutro $P^{\prime }$ e irá xenerando a W-circunferencia de centro $C$. Ao conxunto de todas estas circunferencias coñéceselle como feixe elíptico de circunferencias. Para trazar a W-circunferencia de centro $C$ pasando por $P$ podes mover o punto $X$ ou premer no play.

Se xogas un pouco coa aplicación verás que a W-circunferencia é unha circunferencia euclidiana pero o seu centro $C$ non coincide co centro na xeometría euclidiana. A razón é que as distancias na W-xeometría non coinciden coas euclidianas. A chave para a definición das W-distancias está na fórmula que vimos noutra ocasión que nos indica cal é a lonxitude dun segmento $A^{\prime }{B}^{\prime }$ que resulta da inversión doutro $AB$ por unha circunferencia de raio $R$:  $$A^{\prime }{B}^{\prime }=\frac{R^2\cdot AB}{OA\cdot OB}$$

Para simplificar tomaremos $R=1$ e definiremos a W-distancia entre dous puntos $A$ e $B$ como $$d_W\left(AB\right)=\frac{AB}{OA\cdot OB}$$

Desta definición é inmediato verificar tanto que esta nova definición de distancia é simétrica como que obteremos sempre números positivos (só será 0 se $A=B$). A desigualdade triangular da W-distancia é unha consecuencia da desigualdade de Ptolomeo. 

Quedan por comprobar os dous postulados máis polémicos de Euclides. Farémolo nas dúas seguintes entradas ([2] e [3])

Xosé Rodríguez González

Houbo un tempo, na historia deste blogue, no que adicaba entradas a recompilar información sobre personaxes destados das matemáticas. Foi a época en que se homenaxeaba a algún matemático galego naquelas Xornadas da Ciencia en Galego que xurdiran para poñer en evidencia a prohibición do uso desta lingua nas materias científicas derivada do funesto decreto 79/2010, o de restricción do uso do galego no ensino non universitario. Podemos lembrar os casos de María Wonenburger, Domingo Fontán e Ramón Verea ([1], [2], [3] e [4])

Nesta ocasión, aproveitando o nomeamento por parte da RACG do científico do ano,  achegamos unha entrada de recursos a Xosé Rodríguez González (1770-1820), quen desde o traballo de ingreso no Seminario de Estudos Galegos de D. Ramón María Aller, é coñecido como o matemático de Bermés.

Webs

• Xosé Rodríguez González, na Galipedia
• José Rodríguez González. O matemático do Bermés,  2012, por Margarita Barral Martínez no Álbum da Ciencia
• Xosé Rodríguez González, na páxina de Fillos Ilustres do Concello de Lalín
• Dous séculos sen o matemático Rodríguez, (22/03/2024) A.C. Alexandre Bóveda
• José Rodriguez González (Día da Ciencia en Galicia 2024) RAGC

Prensa

• José Rodríguez González. O matemático de Bermés, 27/05/12, por Benito García Carril no Faro de Vigo
• José Rodríguez, ´O matemático de Bermés´, 30/06/2013, por Antonio Vidal Neira no Faro de Vigo
• O Matemático de Bermés visto por Ramón Aller,05/10/14, por Celia Rodríguez no Faro de Vigo
• José Rodríguez, o matemático galego que definiu o metro, 10/10/17, por Eduardo Rolland en GCiencia
• Iván Fernández: “A figura do matemático Rodríguez debería estudarse nos colexios”,12/02/18, GCiencia
• El matemático de Bermés, por Manuel Molina Mera, 09/10/22, por Antonio Vidal Neira, no Faro de Vigo
• O matemático José Rodríguez, nomeado Científico galego do ano, GCiencia (12/02/24)
• Xosé Rodríguez, o matemático que situou o km 0 da Galiza en Lalín, nomeado Científico do Ano pola Academia 12/02/2024, Nós Diario
• José Rodríguez González, nomeado 'Científico galego do ano" pola Academia Galega de Ciencias, 13/02/24, Diario Luso-Galaico
• O matemático Rodríguez, Científico Galego do Ano, 13/02/2024, por Alfonso Loño no Faro de Vigo
• José Rodríguez, 'o matemático de Bermés', científico galego do ano, 20/02/2024, por Marcos Pérez Pena en Praza Pública
• O matemático José Rodríguez González, nomeado “Científico Galego do Ano” pola RAGC, RACG (12/02/24) 
• Catro razóns polas que o matemático Rodríguez (1770-1824), o "paseante da luz", merece recoñecemento,por Xosé A Fraga Vázquez en Praza Pública (05/06/2024)
• O metro chegounos de París da man do matemático Xosé Rodríguez, non por casualidade, e recibiuno Domingo Fontán, por Xosé A. Fraga Vázquen en Praza Pública (09/07/2024)
• Coñece a Matemático Rodríguez, o matemático que axudou a calcular con brillante precisión o metro  en Galicia Confidencial (29/09/24)

Blogues:

• José Rodríguez González. O matemático de Bermés., 12/07/12, no blogue Fillos ilustres de Lalín
• D. José Rodríguez González (o matemático de Bermés), 09/08/2014, no blogue Os libros de Ánxel Casal
• Cartel de Xosé Rodríguez González. Día da Ciencia 2014,30/10/2014, no blogue As Ferreiras
• Xosé Rodríguez González (o matemático de Bermés), por Ramón M. Aller, 07/11/2014, no blogue As Ferreiras
• O escultor do matemático Rodríguez, 05/11/14, por Isidro Gil Pallares, no blogue As Ferreiras
• O matemático Rodríguez, manuscrito de Ramón Mª Aller, 06/11/14, no blogue As Ferreiras
• Presentación do matemático Rodríguez, 06/11/14, no blogue As Ferreiras
• O matemático de Bermés, 07/12/14, Biblioteca do Laxeiro

Documentos:

• Comuinicación á Royal Society, 04/06/1812, Royal Society

Audio

• As aventuras do gran triángulo, 28/06/23, programa Efervescencia 640
• Matemático Rodríguez, o primeiro gran científico de Galicia, 7/10/24,  Podcast GaliCiencia

Vídeos

• Proxector. Trigonometría: medindo o mundo con triángulos. (1/10/24) Escolma de vídeos de trigonometría como parte da celebración do nomeamento a Xosé Rodríguez como Científico galego do ano 2024
• A revolución do gran triángulo, (7/10/2024) RACG
• José Rodríguez González, "O matemático de Bermés", (8/10/2024) RACG

Publicacións

• Contribución dun sabio galego á determinación da forma e dimensións da terra. Xosé Rodríguez González, matemático, astrónomo e xeodesta.Carlos Brandido Gutiérrez, Revista Lvcensia N. 9 (1994) ; p. 10-30 
• "O matemático de Bermés". Memoria apasionada de un hombre sabio, Armando Vázquez, Descubrindo Deza nº 1 (1999)
• El matemático José Rodríguez y la Universidad, (1999) por María Ángela Varela Varela, consultar PDF
• José Rodríguez González: un Erasmus galego nos albores do século do progreso, 2007, por Mercedes Sampayo Yáñez, do IES Eusebio da Guarda, Revista Gamma nº 7
• Legado científico do matemático galego José Rodríguez González, Mercedes Sampayo Yáñez, Revista Lvcensia N. 35 (2007) ; p. 347-360. 
• A estadía de José Rodríguez González en Alemaña (1815-1817). Tradución dunha publicación súa,2011, por Iván Fernández Pérez en Minerva (USC)
• Novos apuntamentos para a biografía de José Rodríguez González, o matemático do Bermés, Iván Pérez Fernández, Minerva (USC) 2016
• Actividade científica do matemático José Rodríguez González durante a súa estadía en Madrid (1819-1823),Iván Fernández Pérez, Revista Lvcensia N. 57 (2018) ; p. 141-153.
• Dúas obras inéditas de José González, por Iván Fernández Pérez, Descubrindo Deza XI (2021)
• Unha carta do astrónomo húngaro Pál Titel a José Rodríguez González, o matemático do Bermés, por Carmen Villanueva e J. A. Docobo Durántez, Descubrindo Deza nº 14 (2022)
• José Rodríguez González (1770- 1824), matemático, geodesta, astrónomo, naturalista y viajero científico por Europa, tese de doutoramento por María Carmen Villanueva Pérez, Universidade de Vigo (2023)
• José Rodríguez Gonzáles (1770-1824) Un matemático sublime, editado por Juan Nieto Roig, Consello da Cultura galega (2024)
• O matemático Xosé Rodríguez González (1770-1824), o «paseante da luz», Xosé A. Fraga (editor), Instituto de Estudos Coruñeses José Cornide - CEIDA - Universidade da Coruña, 2025

Xornadas

• José Rodríguez González, o inicio da liña do tempo da ciencia en Galicia, (16/10/2024) CCG

Nota

É moi probable que despois da publicación desta entrada xurdan máis recursos sobre Xosé Rodríguez. Aínda que non é unha práctica habitual neste blogue, intentarei engadilos na medida do posible.