O problema bovino de Arquímedes. O problema histórico das vacas de Galicia

Hai uns días chegoume unha petición á que, como se verá, non me puiden resistir. Un enxeñeiro retirado, Andrés Ventas, solicitoume publicar neste blogue un artigo seu. Aproveito a ocasión para agradecerlle que arranxara algunhas cuestións técnicas deste blogue que desbaratara coa miña torpeza pero que el co seu bo facer foi quen de arranxar.

Velaquí tedes a súa colaboración. Agardo que só sexa a primeira dunha longa serie.

O problema bovino de Arquímedes. O problema histórico das vacas de Galicia

Andrés Ventas

Santiago de Compostela

O problema bovino de Arquímedes. Ecuación de Pell positiva

O Problema bovino debido a Arquimedes [Wiki] é un problema complicado cun enunciado moi simple.

Os problemas de sistemas de ecuacións con solucións enteiras son chamados diofantinos [Wiki] e usualmente teñen esa característica, un enunciado simple e unha solución complicada.

Para máis marabilla, o enunciado está escrito en forma de poesía e o texto foi descuberto en 1773 nunha biblioteca da Alemaña.

A cuestión trata de resolver cantas unidades de gando tiñan Faetusa e Lampetia, fillas do Deus Helios,na illa de Trinacia (actual Sicilia), relato que aparece na Odisea.

Para iso propón 7 ecuacións simples con 8 incógnitas. E dous enunciados con dúas relacións a maiores que debe satisfacer a nosa solución.

Isto levaranos a un conxunto infinito de solucións, pero a que nos interesa é a solución fundamental, a máis pequena. O resto de solucións saen mediante unha simple recorrencia.

E como aperitivo cómpre dicir que a solución fundamental, a pequeniña de todo, ten $206545$ díxitos, mais ou menos un número que ocupa $30$ follas.

O texto orixinal non contiña a solución, subpoño que Arquímedes era capaz de coñecela, aínda que fose en forma compacta.

Na era moderna, o primeiro en dar unha solución parcial foi A. Amthor en 1880 , sabendo o número de díxitos e os tres primeiros: $7.76\cdot {10}^{206544}$.

A primeira solución completa foi obtida por dous computadores en 1965 , porque como digo eu cando me consultan, que teño que verificar contas de díxitos unha chea de veces, quen se atreve a obter unha solución manual? e cando levas escritas 20 follas poñerte a repasar!!.

As ecuacións expresadas na poesía pódense resumir do seguinte xeito:

Os bois brancos (b) son ${\displaystyle \frac{1}{2}}$ máis ${\displaystyle \frac{1}{3}}$ dos negros (n) e a sumar cos amarelos (a).

Os bois negros son ${\displaystyle \frac{1}{4}}$ máis ${\displaystyle \frac{1}{5}}$ dos pintos (p) e a sumar cos amarelos.

Os bois pintos son ${\displaystyle \frac{1}{6}}$ máis ${\displaystyle \frac{1}{7}}$ parte dos brancos e a sumar os amarelos.

As vacas brancas (B) son ${\displaystyle \frac{1}{3}}$ máis ${\displaystyle \frac{1}{4}}$ da suma dos bois negros e as vacas negras (N).

As vacas negras son ${\displaystyle \frac{1}{4}}$máis ${\displaystyle \frac{1}{5}}$ da suma dos bois pintos máis as vacas pintas (P).

As vacas pintas son${\displaystyle \frac{1}{5}}$ máis ${\displaystyle \frac{1}{6}}$ da suma dos bois amarelos máis as vacas amarelas (A).

As vacas amarelas son ${\displaystyle \frac{1}{6}}$ parte máis ${\displaystyle \frac{1}{7}}$ da suma dos bois brancos máis as vacas brancas.

E para a segunda parte os enunciados son:

(1) Cando se xuntan no campo os bois brancos e os negros forman un cadrado.

(2) Ao choer os bois amarelos e os pintos, primeiro un, despois dous, despois tres e así sucesivamente de modo que no final forman un triangulo.

Escribamos as $7$ primeiras ecuacións:

$eq1:b=({\displaystyle \frac{1}{2}}+{\displaystyle \frac{1}{3}})n+a.$

$eq2:n=({\displaystyle \frac{1}{4}}+{\displaystyle \frac{1}{5}})p+a.$

$eq3:p=({\displaystyle \frac{1}{6}}+{\displaystyle \frac{1}{7}})b+a.$

$eq4:B=({\displaystyle \frac{1}{3}}+{\displaystyle \frac{1}{4}})(n+N).$

$eq5:N=({\displaystyle \frac{1}{4}}+{\displaystyle \frac{1}{5}})(p+P).$

$eq6:P=({\displaystyle \frac{1}{5}}+{\displaystyle \frac{1}{6}})(a+A).$

$eq7:A=({\displaystyle \frac{1}{6}}+{\displaystyle \frac{1}{7}})(b+B).$

Para o primeiro sistema de $7$ ecuacións, propoño usar Maxima [Maxima] , un sistema gratuíto de computación alxébrica moi cómodo, aquí vos poño o código

alias(k, \%r1);

declare( b, integer, n, integer, p, integer, a, integer, B, integer, N, integer, P, integer, A, integer);

define(solucion(k), linsolve ([ eq1, eq2, eq3, eq4, eq5, eq6, eq7], [ b, n, p, a, B, N, P, A]) );

solucion(k);

e con este código conseguimos,

$b=10366482k.$

$n=7460514k.$

$a=4149387k.$

$p=7358060k.$

$B=7206360k.$

$N=4893246k.$

$A=5439213k.$

$P=3515820k.$

Na segunda parte temos:

(1) $10366482k+7460514k=\text{un cadrado}$, que factorizado obtemos $2^2(3)(11)(29)(4657)k=\text{un cadrado}$, por tanto $k$ debe ser da forma $k=(3)(11)(29)(4657)y^2$(seguimos tendo unha variable $y$ enteira que dá infinitas solucións).

(2) $a+p=\text{número triangular}$. Os números triangulares son súper célebres, na enciclopedia das secuencias [A000217, Oeis] podedes consultar unha chea das súas propiedades e artigos sobre eles: $\{0,1,3,6,10,15,21,28,36,45,55,\dots \}$

Unha das súas propiedades é que verifican a fórmula ${\displaystyle \frac{t(t+1)}{2}}$ e por tanto a nosa ecuación convértese en $a+p=(3)(11)(29)(4657)y^2={\displaystyle \frac{t(t+1)}{2}}$.

Agora temos $t={\displaystyle \frac{-1\pm \sqrt{1+8ap}}{2}}$.

E para que esta ecuación sexa un número enteiro, que é o que son as vacas, números enteiros, temos que o discriminante da raíz debe ser un cadrado perfecto $x^2$ e por tanto temos $(3)(11)(29)(4657)y^2+1=x^2$.

As ecuacións de Pell son do tipo $x^2-D{y}^2=1$, e teñen solución para todo $D$. Por tanto ao final o noso problema redúcese a solucionar unha ecuación de Pell:

$x^2-(3)(11)(29)(4657)y^2=1$.

Ata mediados do século pasado estas ecuacións resolvíanse mediante os converxentes da fracción continua , ($\mathit{\text{fc}}$ para abreviar) de $\sqrt{D}$, (onde a solución fundamental, $(x_0,y_0)$, serían o numerador e denominador do converxente anterior ao período da $fc$) , mais resulta que para un número tan grande a $fc$ ten centos de miles de coeficientes.

Amthor descubriu un xeito de simplificar a $fc$ correspondente a este problema e deixou unha $fc$ de só $92$ termos. A simplificación do Amthor baséase na relación entre unha $fc$ de $D$ e a $fc$ reducindo os factores de $D$ maiores a $1$.

Hoxe en día hai máis técnicas para resolver a ecuación de Pell : infraestrutura, números suaves, cónicas e números p-adicos.

Co sistema de fraccións continuas de Amthor conseguimos unha solución fundamental desta ecuación de Pell con valor

$x_0=185892\dots 663490\text{ (con }103265\text{ díxitos)}$

Se imos para atrás e substituímos este valor de $y_0=y$ na ecuación de $a+p$ conseguimos o $k$ mínimo.

Substituímos ese $k$ nos oito tipos de gando e sumando temos un valor de

$77602714\dots 55081800,(\text{con }206545\text{ díxitos})$.

O problema histórico das vacas de Galicia. Ecuación de Pell negativa

Agora temos que no $2019$ a Xunta de Galicia fixo unha estimación estatística sobre o número de vacas nacidas en Galicia desde a época do reino suevo, pero resulta que o cálculo require a solución de unha ecuación de Pell negativa.

A ecuación de Pell negativa ten a forma $x^2-D{y}^2=-1$ tendo a propiedade de que que non calquera $D$ ten solución. E isto dificulta a súa resolución.

Segue a ser un problema aberto das matemáticas saber que $D$ teñen solución na Pell negativa, mais os achegamentos a esa solución ou son inefectivos ou son incompletos:

1. Condición necesaria e suficiente é que o período da $fc$ da raíz de D sexa impar (inefectiva porque ten a mesma dificultade que calcular a propia solución). (As $fc$ de raíces cadradas cuxo resultado non é un racional son infinitas mais periódicas).
2. A norma do converxente da posición central da $fc$ de Pell positiva é $\pm 2$ ou divide a $D$, pero estamos nas mesmas, hai que calcular a $fc$. De feito ese valor central da norma debe ser $-1$.
3. Condición necesaria que os factores de $D$ sexan primos de tipo $4k+1$ e ao máximo un único $2$. Non é condición suficiente porque hai factorizacións con factores $4k+1$ sen solución $-1$. Por exemplo $D=5\cdot 13$ ten solución negativa e $D=5\cdot 61$ non a ten.

Os resultados da estimación estatística eran os seguintes:

Estimación sobre explotacións na Fonsagrada (F), Lalín(L), Mazaricos(M), Arzúa(A), A Pastoriza(P), Negreira(N), A Veiga(V), Cospeito(C).

As vacas da Fonsagrada son ${\displaystyle \frac{24}{53}}$ veces as de Lalin e sumamos as de Arzúa.

As vacas de Lalín son ${\displaystyle \frac{16}{41}}$ veces as de Mazaricos e sumamos as de Arzúa.

As vacas de Mazaricos son ${\displaystyle \frac{4}{61}}$ veces as da Fonsagrada e sumamos as de Arzúa.

As vacas da Pastoriza son ${\displaystyle \frac{29}{154}}$ veces a suma das de Lalín e Negreira.

As vacas de Negreira son ${\displaystyle \frac{101}{154}}$ veces a suma das de Mazaricos e A Veiga.

As vacas da Veiga son ${\displaystyle \frac{113}{650}}$ veces a suma das de Arzúa e Cospeito.

As vacas de Cospeito son ${\displaystyle \frac{613}{90}}$ veces a suma das da Fonsagrada e A Pastoriza.

(1) As vacas de Negreira son un cadrado.

(2) As vacas da Fonsagrada son un cadrado máis 1.

As fraccións das $3$ primeiras ecuacións multiplican a un termo e despois suman outro, mentres que as $4$ últimas multiplican a suma dos dous termos.

E aquí vos deixamos para que o intentedes resolver con unha pista, a solución da Pell negativa (as vacas da Fonsagrada) $y_0=3051285636318642680675457304373$ con $31$ díxitos.

A suma total das vacas de Galicia son $985481295353643722960698590096411004549094540270653746267983358392$ con $67$ díxitos.

Tendo en conta que o número de átomos da Terra ven sendo un número de 50 díxitos, non temos tantas vacas coma Faetusa e Lampetia mais chégalle ben.

Bibliografia

1. Alpertron, Continued Fraction calculator
2. Amthor, A., Krumbiegel, B. Das Problema Bovinum des Archimedes, Historischliterarische Abteilung der Zeitschrift fur Mathematik und Physik 25 (1880), 121–136, 153–171.
3. Ecuación diofantina
4. Lenstra, H. W. Jr. (2002), "Solving the Pell Equation" Notices of the American Mathematical Society, 49 (2): 182–192, MR 1875156
5. A Computer Algebra System Maxima
6. Enciclopedia online dos números enteiros Oeis
7. Wiki Archimedes's cattle problem
8. Wiki Ecuação de Pell