Un cadrado sen adubos

Con esta entrada remato unha pequena serie de tres que adiquei aos problemas de Dudeney. As outras dúas foron "O enigma do mercader" e "Tres enigmas de Dudeney". Nesta ocasión  recollo un problema do capítulo "Aventuras do Club dos Enigmas" titulado "O tesouro enterrado" no que se relata a historia de Dawkins, un mozo que buscaba facer fortuna en Australia e que tivo a sorte de escoitar unha conversa na que se describía onde estaba enterrado un tesouro. O lugar estaba nun terreo cadrado, e o que se precisaba era obter as dimensións do mesmo, pois esta foi a clave para atopalo. Vou prescindir dos detalles do relato pois o problema pareceume o suficientemente interesante como para poder prentalo nunha versión limpa,  sen ningún adubo. 

Acha as dimensións dun cadrado sabendo que un punto do seu interior está a 2, 3 e 4 unidades de tres vértices consecutivos.

Antes de seguir conviña facer un intento de resolución, así que, estimado lector,  non sigas lendo ata despois de traballar co problema por un pouco.

ç

É certo que despois de velo resolto, non parece gran cousa, pero a min levoume ben de tempo dar coa resposta a pesar de que a súa abordaxe é bastante obvia. 

Sexa x o valor do lado que temos que determinar. Despois de colocar os datos sobre o cadrado trazamos un par de segmentos a e b, perpendiculares aos lados.

Xa que logo, temos tres incógnitas (x, a e b) e tamén tres triángulos rectángulos, os de hipotenusas 2, 3 e 4. De aí obtemos as ecuacións:

$\begin{array}{c}4={(x-b)}^2+a^2\\ 16={(x-a)}^2+b^2\\ 9=a^2+b^2\end{array}\}$

Desenvolvendo as dúas primeiras e facendo uso da terceira obtemos:

$\begin{array}{c}4=x^2-2bx+b^2+a^2\\ 16=x^2-2ax+a^2+b^2\end{array}\}\begin{array}{c}4=x^2-2bx+9\\ 16=x^2-2ax+a^2+9\end{array}\}\begin{array}{c}2bx=x^2+5\\ 2ax=x^2-7\end{array}\}$

Despexando a e b e substituíndo eses valores na terceira ecuación:

$$\begin{array}{c}b=\frac{x^2+5}{2x}\\ a=\frac{x^2-7}{2x}\end{array}\}{\left(\frac{x^2+5}{2x}\right)}^{{}^2}+{\left(\frac{x^2-7}{2x}\right)}^2=9$$

Obtemos finalmente unha ecuación bicadrada: $$\begin{gathered} x^4+10x^2+25+x^4-14x^2+49=36x^2 \\ 2x^4-40x^2+74=0 \\ {x}^4-20x^2+37=0 \end{gathered}$$

$$x=\sqrt{\frac{20\pm \sqrt{262}}{2}}=\{\begin{array}{cc}4,2536& \\ 1,3809\end{array}$$

Desbotamos a segunda das solucións porque nun cadrado desas dimensións non poderiamos situar un punto interior a distancia de 2 unidades de ningún vértice e, con máis razón, tampouco podería estar a 3 ou 4 unidades dos vértices. Entón a solución é 4,2536