O oficio de ser profesor de matemáticas. O vértice da parábola.

Como exemplo de en que consiste o oficio de ser profesor de matemáticas vou relatar algunha das consideracións que fixen ao dar unha clase en 3º da ESO ao abordar o estudo das funcións cuadráticas, en concreto, a representación gráfica das parábolas.

Antes de nada comento algunha das cousas que aparecen nos libros de texto de Matemáticas Aplicadas actuais escollidos ao chou. En primeiro lugar o de 3º da ESO de Bruño. Antes do contido da fotografía só se daba a gráfica de y=x² destacando dela un feito ao que Galileo lle sacou moito partido pero que neste contexto non serve máis que para despistar: que a diferenza entre valores enteiros das ordenadas dá a sucesión de impares. Despois xa temos a seguinte receita.

O seguinte recorte é do libro de 4º da ESO de Santillana. As epígrafes anteriores estaban adicadas ás parábolas y=ax² , y=ax² +c e y=ax² +bx. Para cada un dos casos dase unha fórmula distinta para a obtención do vértice. En ningún deles se estuda como varía a forma da gráfica segundo varía a. Tampouco se indica en ningún sitio o papel que xoga o termo independente c. En resumo, as matemáticas son unha restra de receitas. No summum desta filosofía, explicítasenos ademais a ordenada do vértice. É necesaria esta fórmula cando basta con substituir o valor da abscisa na expresión alxébrica da parábola?

Temos que aceptar a fórmula para a abscisa do vértice ou, pola contra, podemos deducila? Está claro que me gusta facer preguntas retóricas. A resposta é afirmativa, pois de non selo, non a faría. Parto da base de que soltar unha fórmula tras outra non é dar clase de matemáticas pois non é facer matemáticas. As fórmulas non caen do ceo polo que, sempre que sexa posible, cómpre derivalas doutros coñecementos que teñamos adquiridos. Ademais isto permite a fixación a longo prazo e a aprendizaxe de estratexias de resolución de problemas.

Como todos estes materiais, alén das problemáticas comentadas, só os podemos encontrar en castelán, eu recomendo os recursos do Descartes ED@D, que podemos consultar en galego e permiten unha relación máis dinámica que un libro de texto ao conter escenas interactivas que guían a aprendizaxe. Con todo, se queremos só libro de texto, tamén o podemos descargar (aquí un exemplo do tema en cuestión), aínda que eu prefiro usar os cadernos de traballo editables (e editalos) que atopamos sempre na primeira páxina de cada tema. Pasemos a traballar coa unidade do Proxecto Descartes.

 

Despois de botarlle unha ollada ao texto, centrémonos na escena da dereita. Trátase de representar a parábola y=x²  cubrindo unha táboa de valores (hai que premer enter cada vez que introduzamos un valor) Os alumnos deben facelo tamén no seu caderno. Ao finalizar insistimos nas características máis importantes da representación: o eixe de simetría e o vértice da parábola.

Aparécenos unha frecha para continuar traballando coa escena. Agora trátase de ver a representación das funcións da forma y=ax² para distintos valores de a. Xogamos con eses valores e vemos na escena como varían os valores de y, pero sobre todo observamos os cambios da gráfica segundo variamos o parámetro a. Despois de varias preguntas e respostas na clase acordamos que:

• Canto maiores (en valor absoluto) son os valores de a, máis pechada é a parábola e canto menores (en valor absoluto), máis aberta.
• Para valores positivos de a a parábola ábrese por arriba e o vértice é un mínimo. 
• Para valores positivos de a a parábola ábrese por abaixo e o vértice é un máximo

Se nos fixamos na seguinte escena interactiva, agora podemos ver como varía a gráfica da parábola ao introducir o termo independente c. A función  y=ax² trasládanse c unidades sobre o eixo de ordenadas para darnos a gráfica de  y=ax² +c

 

Os problemas comezan coa lectura do texto destacado á esquerda que nos remiten ás mesmas cuestións que as apuntadas cando revisamos os libros de texto. Aquí vólvenos a aparecer a eiva anteriormente comentada. Recóllese sen xutificación ningunha a fórmula para a abscisa do vértice. Vexamos como podemos introducila a este nivel de ensino. Para iso, antes de nada, vou repasar os coñecementos previos que son necesarios para esa dedución.

Coñecementos previos

• No seu día traballamos a resolución de ecuacións de segundo grao. Fixémolo con certa profundidade pois ademais da dedución da fórmula que dá as solucións da ecuación, deducimos as fórmulas de Vieta que nos indican a relación da suma (e do produto) das raíces cos coeficientes da ecuación. En concreto, sexan x₁ e x₂ as solucións de ax²+bx+c=0$$x_{1}=\frac{-b+ \sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}\quad x_{2}=\frac{-b- \sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}\\S=x_{1}+x_{2}=\frac{-b+ \sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}+\frac{-b- \sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}=\frac{-2b}{2a}=\frac{-b}{a}$$
• Tamén se estudaron as ecuacións das rectas na súa forma explícita. En particular traballáronse as ecuacións das rectas horizontais y=k e as das rectas verticais x=k.
• Por suposto, tamén saben calcular unha media.
• Non nos esquezamos de que acabamos de ver que a gráfica de  y=ax² +c é a translación de c unidades sobre o eixo Y de  y=ax² 
• Nin de que as parábolas teñen un eixo de simetría vertical 
• E que isto significa que cortan as rectas horizontais "á mesma altura"
• E que o vértice está nese eixo

O vértice da parábola

Con todo isto na faltriqueira, podemos abordar a dedución da fórmula en cuestión. Decatémonos de que son unha gran cantidade de ítems e que isto pode producir en moitos alumnos unha saturación cognitiva. Por iso convén repasar e  clarificar todas estas ideas anteriores antes de continuar. Agora ben, o emprego de tantas ideas dadas durante o curso permiten o seu repaso e desvelan a súa utilidade noutras partes da materia. Especialmente destacable é a fórmula de Vieta para suma das solucións que no seu día parecía unha extravagancia, unha profundización sen moito sentido, e que agora se vai revelar como a porta á resolución dun novo problema.

Como o proceso é bastante complicado adiántase que únicamente traballaremos con parábolas co coeficiente a>0; isto é, parábolas abertas "por arriba". O profesor propón dous exercicios. No primeiro explica unha estratexia de resolución e as súas razóns.

Exercicio 1.Representación gráfica de  de  y=x² -4x+3 . 

Xa vimos nas escenas anteriores que as gráficas daquelas parábolas son simétricas. Adiántase que isto seguirá sendo así. Comenzarase con algo coñecido, a resolución da ecuación   x² -4x+3=0 . Reflexiónase que isto é equivalente a achar os puntos de corte da parábola co eixo dos X.  Obtemos  x₁ = 1 e x₂=3. Represéntase no plano cartesiano:

Ponse en evidencia que estes son dous puntos da parábola que están á mesma altura, ergo son simétricos. Polo tanto o eixo de simetría pasará polo punto medio x=2 e terá como ecuación x=2:

Tamén sabemos que o vértice estará nalgún lugar deste eixo, isto é, a primeira coordenada do vértice é v_x = 2 . Para calcular a segunda, basta con valorar a función y=x² -4x+3 neste punto e obtemos v_y = -1. Agora podemos facer uso da simetría e dar valores por parellas á mesma distancia do eixo porque sabemos que para cada parella o valor da función será o mesmo. Velaquí a táboa, os puntos representados e a gráfica.

Agora é o turno do alumnado, sen guía do profesor.

Exericio 2. Representación gráfica de  y=x² -2x-3 . 

Neste caso os puntos de corte co eixo dos X son  x₁ = -1 e x₂=3 polo que a primeira coordenada do vértice será media destas raíces que é v_x = 1. Este valor tamén nos indica o eixo de simetría. A solución neste novo caso é a seguinte:

Quedou ben claro que o eixo de simetría é o punto medio das raíces da ecuación de segundo grao. Lembrando as fórmulas de Vieta para este tipo de ecuacións podemos deducir a ansiada fórmula:

$$v_{x}=\frac{x_{1}+x_{2}}{2}=\frac{S}{2}=\frac{\frac{-b}{a}}{2}=\frac{-b}{2a}$$

Se aplicamos esta fórmula aos dous exercicios anteriores veremos que a fórmula nos dá os valores achados anteriormente:

$$\underline{Exercio 1.}\quad v_{x}=\frac{-b}{2a}=\frac{-\left ( -4 \right )}{2\cdot 1}=2\\\underline{Exercio 2.}\quad v_{x}=\frac{-b}{2a}=\frac{-\left ( -2 \right )}{2\cdot 1}=1$$

Ademais destacamos que aplicar esta nova fórmula afórranos o cálculo das solucións da ecuación de segundo grao. Pídeselles que o fagan nos seguintes exercicios.

Exercicio 3. Representación gráfica de  y=2x² -12x+10 

Exercicio 4. Representación gráfica de  y=x² +4x+6 

O máis interesante de todo este proceso é observar o que sucede na aula cando propoñemos comprobar neste último exercicio que o eixo de simetría coincide co punto medio das solucións da ecuación x² +4x+6=0. A cuestión é que non ten solucións reais. Entón, como é que puidemos achar o vértice da parábola? Non era que a fórmula se obtiña precisamente ao calcular a media das solucións da ecuación? Como é posible que a fórmula funcione máis alá de onde foi obtida? É practicamente seguro que ningún alumno deste nivel sexa quen de dar resposta satisfactoria a estas cuestións. Non se trata de crearlles inseguridade nas matemáticas. Polo contratrio, o obxectivo está en destacar o extraordinarias que son. Seguro que hai razóns inescrutables que fan que funcione a fórmula. No improbable caso de que haxa un ambiente de interese por buscalas, e se despois dalgún tempo de reflexión e traballo non xurde ningunha idea, pódeselles recordar que a variación do termo independente trasladaba a curva verticalmente ou, equivalentemente, quizais conveña cortar a parábola con rectas horizontais como y=3 ou y=4 que darán lugar a puntos equidistantes do eixo de simetría.

Seguindo no contexto do exercicio 4, que pasa coas parábolas da forma y=x² +4x+c ? E se c=0?Ou, fixándonos na fórmula da abscisa do vértice, decatamonos de que non depende de c para nada? Iso que significa? As fórmulas non só non son obra dun demiurgo, senón que ademais fálannos e dinnos cousas das que non nos decataremos nunha lectura superficial. Velaí que todos estes procesos significan unha maior profundización no tema a tratar. A desvantaxe consiste en que precisan de moito máis tempo. A vantaxe é que se tratan as matemáticas coma se fosen matemáticas. 

Finalmente unha aclaración. Non se trata de que aquel que non explique como calcular o vértice dunha parábola exactamente tal e como o fixen aquí esté poñendo en práctica unha docencia irreflexiva pois nin eu mesmo o fago exactamente así. O importante é que no modo de enfocar as clases haxa unha corrente subterránea que cuestione todo aquilo que se vai levar á aula baixo os parámetros da materia. Espero que quede establecido que unha cousa é ensinar a razoar, a xeneralizar, a reflexionar sobre casos extremos, a facerse preguntas e incluso a dar algunha resposta, en definitiva, dar clases de matemáticas. Outra cousa moi distinta é recitar libros de texto, revelar listados de leis e propiedades, adicar os días e as noites a listas de exercicios repetitivos. Isto outro é dar clase de relixión.