Números metálicos para un problema. 1

Como nas mellores ocasións, esta historia comenza cun problema.
O pasado nadal JJ tivo a feliz iniciativa de propoñer unha serie de cuestións no seu blogue. Unha delas foi a seguinte:

Problema. Demostra que a seguinte sucesión ten todos os seus termos enteiros:  x₀=1$$x_{n+1}=\frac{3x_n+\sqrt{5x_n^2-4}}{2}$$ 

Un primeiro achegamento a calquera problema consiste na experimentación. Cales son os primeiros valores que obtemos? $$\begin{array}{ccccccc}{x}_0& x_1& x_2& x_3& x_4& x_5& ...\\ 1& 2& 5& 13& 34& 89& ...\end{array}$$
Efectivamente, estes son números enteiros. Hai algunha relación entre eles? Coñecémolos de algo?
Parece que se obteñen mediante a seguinte recurrencia: $$x_{n+1}=3x_n-x_{n-1}(1)$$
Isto recorda a formación da sucesión de Fibonacci. Hai un tipo de sucesións, as chamadas de Fibonacci xeneralizadas que teñen este patrón de construción. Dados dous números p e q, formaremos os elementos da sucesión mediante a seguinte fórmula recursiva:

 $$x_{n+1}=p{x}_n+q{x}_{n-1}(2)$$

Se dividimos por x_n: $$\frac{x_{n+1}}{x_n}=p+\frac{q}{\frac{x_n}{x_{n-1}}}(3)$$

Tomando límites cando n⇾∞ e supoñendo que existe o $$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{x_{n+1}}{x_n}=\lambda$$ $$\lambda =p+\frac{q}{\lambda }$$
$${\lambda }^2-p\lambda -q=0$$ Resolvo:
$${\lambda }_1=\frac{p+\sqrt{p^2+4q}}{2}{\lambda }_2=\frac{p-\sqrt{p^2+4q}}{2}$$
Os números λ₁ tamén son coñecidos como números metálicos, segundo a denominación da matemática arxentina Vera de Spinadel (1929-2017). Para (p,q)=(1,1) temos o famoso número áureo, para (p,q)=(2,1) o chamado número de prata, para (p,q)=(3,1) o de bronce ou para (p,q)=(1,2) o número de cobre,...Tendo en conta que
$${\lambda }^2=p\lambda +q\to x=p+\frac{q}{\lambda }$$
Estes números poden representarse como fraccións continuas da seguinte maneira:$$\lambda =p+\frac{q}{p+\frac{q}{p+\frac{q}{p+...}}}$$
E tendo en conta que:
$${\lambda }^2=p\lambda +q⟹\lambda =\sqrt{q+p\lambda }$$
Obtemos tamén a segunte forma de representación para os números metálicos:
$$\lambda =\sqrt{q+p\sqrt{q+p\sqrt{q+p\sqrt{...}}}}$$
Agora é onde comenza o divertido. Consideremos a seguinte matriz Q, que nos permite redefinir a relación (2) doutro xeito:
$$Q=\left(\begin{array}{cc}p& q\\ 1& 0\end{array}\right);Q\left(\begin{array}{c}{x}_n\\ x_{n-1}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}p& q\\ 1& 0\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}{x}_n\\ x_{n-1}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}p{x}_n+q{x}_{n-1}\\ x_n\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}{x}_{n+1}\\ x_n\end{array}\right)$$
Isto permitiríanos obter os sucesivos termos da sucesión mediante o seguinte proceso:
$$\left(\begin{array}{c}{x}_{n+1}\\ x_n\end{array}\right){=Q}^n\left(\begin{array}{c}{x}_1\\ x_0\end{array}\right)={\left(\begin{array}{cc}p& q\\ 1& 0\end{array}\right)}^n\left(\begin{array}{c}{x}_1\\ x_0\end{array}\right)(4)$$

Agora ben, aparécenos un produto de matrices, o cal parece complicar as cousas... ou quizais non. Hai unha forma de calcular a n-ésima potencia dunha matriz Q sempre e cando ésta sexa diagonalizable, isto é, cando exista unha matriz diagonal D e outra S tal que Q=S^-1D S. Estas matrices calcúlanse a partir dos autovalores, que serán as raíces do polinomio característico de Q: $$P(\lambda )=det(Q-\lambda I)=\left|\begin{array}{cc}p-\lambda & q\\ 1& -\lambda \end{array}\right|={\lambda }^2-p\lambda -q$$
Resulta que as raíces deste polinomio xa as calculamos antes: λ₁ e λ₂. Isto permítenos calcular os autovectores, que verificarán igualdades do tipo:
$$\left(\begin{array}{cc}p& q\\ 1& 0\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right)={\lambda }_i\left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right),i=1,2$$

$$\{\begin{array}{l}px+q={\lambda }_{1}x\\ {x=\lambda }_{1}y\end{array};\{\begin{array}{l}px+q={\lambda }_{2}x\\ {x=\lambda }_{2}y\end{array}$$
Estes sistemas son indeterminados. Escollemos as solucións para y=1 e obtermos os dous autovectores, o que nos dará a matriz S. Temos pois:
$$D=\left(\begin{array}{cc}{\lambda }_1& 0\\ 0& {\lambda }_2\end{array}\right);S=\left(\begin{array}{cc}{\lambda }_1& {\lambda }_2\\ 1& 1\end{array}\right),\left|\begin{array}{cc}{\lambda }_1& {\lambda }_2\\ 1& 1\end{array}\right|={\lambda }_1-{\lambda }_2=\sqrt{p^2+4q}\ne 0$$
Para que S sexa regular precisamos que o discriminante sexa estritamente positivo. Con esta condición podemos calcular a súa inversa: $$S^{-1}=\frac{1}{{\lambda }_1-{\lambda }_2}\left(\begin{array}{cc}1& {-\lambda }_2\\ -1& {\lambda }_1\end{array}\right)$$
Agora calcular as potencias de Q simplifícase enormemente:
$$Q^n=SD{S}^{-1}\cdot SD{S}^{-1}\stackrel{n}{\cdot \cdot \cdot \cdot }\cdot SD{S}^{-1}=S{D}^n{S}^{-1}$$
$$Q^n=S{D}^n{S}^{-1}=\left(\begin{array}{cc}{\lambda }_1& {\lambda }_2\\ 1& 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}{\lambda }_1^2& 0\\ 0& {\lambda }_2^2\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}1& {-\lambda }_2\\ -1& {\lambda }_1\end{array}\right)\frac{1}{{\lambda }_1-{\lambda }_2}$$
$$Q^n=S{D}^n{S}^{-1}=\frac{1}{{\lambda }_1-{\lambda }_2}\left(\begin{array}{cc}{\lambda }_1^{n+1}& {\lambda }_2^{n+1}\\ {\lambda }_1^n& {\lambda }_2^n\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}1& {-\lambda }_2\\ -1& {\lambda }_1\end{array}\right)=\frac{1}{{\lambda }_1-{\lambda }_2}\left(\begin{array}{cc}{\lambda }_1^{n+1}-{\lambda }_2^{n+1}& {\lambda }_1{\lambda }_2({\lambda }_2^n-{\lambda }_1^n)\\ {\lambda }_1^n-{\lambda }_2^n& {\lambda }_1{\lambda }_2({\lambda }_2^{n-1}-{\lambda }_1^{n-1})\end{array}\right)$$
Tendo en conta este último resultado, e aplicando  (4) para(x₀, x₁)=(1,1) obteremos a fórmula de Binet:$$x_n=\frac{1}{{\lambda }_1-{\lambda }_2}[{\lambda }_1^n(1-{\lambda }_2)-{\lambda }_2^n(1-{\lambda }_1)]$$
Usando esta fórmula pódese determinar que: $$\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{x_{n+1}}{x_n}={\lambda }_1$$
Para obter unha fórmula de Binet algo máis recoñecible, basta ter presente que
$${\lambda }_1=\frac{1+\sqrt{5}}{2}=\varphi {\lambda }_2=\frac{1-\sqrt{5}}{2}=\phi ;{\lambda }_1-{\lambda }_2=\varphi -\phi =\sqrt{5};\varphi =1-\phi ;\varphi \phi =-1$$
$$F_n=\frac{1}{\sqrt{5}}[{\varphi }^n(1-\phi )-{\phi }^n(1-\varphi )]=\frac{1}{\sqrt{5}}({\varphi }^{n+1}-{\phi }^{n+1})(5)$$
(Nota: os expoñentes son n+1 no canto de n  xa que en lugar de obter a sucesión estándar: 0, 1, 1, 2, 3, 5,... comenzamos cun valor adiantado: 1, 1, 2, 3 , 5, 8, ....)
Chegados aquí xa podo comentar que o problema co que comenzaba esta entrada aínda está sen encarreirar pero é que había un tempo que quería publicala e o citado problema acabou sendo unha desculpa perfecta para facelo. Volvendo sobre el, vemos que os seus valores (p,q)=(3,-1) escápanse do contido dos números metálicos pois éstes obtémolos para valores positivos de p e q. Pola contra, que o valor de q sexa negativo, nun principio, non debería dar maiores problemas xa que o discriminante continúa a ser positivo: p²+4q=5. Agora os valores da ecuación de segundo grao asociada son: $${\lambda }_1=\frac{3+\sqrt{5}}{2}=1+\varphi {\lambda }_2=\frac{3-\sqrt{5}}{2}=1+\phi$$
E aínda que non vexa, por esta vía, como resolver o problema orixinal, polo menos obtemos unha bonita fórmula para a sucesión proposta: $$x_n=\frac{1}{\sqrt{5}}[{(1+\phi )}^n\varphi -{(1+\varphi )}^n\phi ](6)$$
Nunha entrada posterior intentarei contar como, por fin, se pode resolver o problema.