Entre as páxinas máis sobranceiras de toda a historia das matemáticas están as do pequeno opúsculo sobre a Medida do círculo de Arquímedes, datado arredor do 225 a. C. O tratado contén só tres proposicións. A Proposición I di que a área dun círculo é igual á dun triángulo rectángulo onde un dos catetos é o raio e o outro a lonxitude da circunferencia. Para entender mellor a importancia deste resultado cómpre poñelo en contexto.
Daquela sabíase que a razón entre a lonxitude dunha circunferencia, $C$, e o seu diámetro, $d$, é sempre a mesma. Esta razón é o que hoxe coñecemos como a definición do número $\pi$.
$$\frac{C}{d}=\pi\quad\quad;\quad\quad C=\pi d$$
Euclides tamén establecera nos seus Elementos, concretamente na proposición XII.2, que a razón entre a área, $A$, dun círculo calquera e o cadrado do seu diámetro, $d$ era constante:
$$\frac{A}{d^{2}}=k\quad \quad;\quad\quad A=kd^{2}$$
Daquela, a Proposición I arquimediana explícanos que a constante para a circunferencia, $\pi$, e a constante para o círculo, $k$, están relacionadas; resultado ao que hoxe estamos afeitos pero que daquela debeu ser toda unha revelación. Efectivamente, pola Proposición I a área do círculo pode calcularse como a área do triángulo anteriormente indicado:
$$A=\frac{1}{2}rC=\frac{1}{2}r\left( \pi d \right)=\frac{1}{2}r\left( \pi2r \right)=\pi r^{2}$$
Noutros termos: $A=\pi r^{2}=kd^{2}=k\left( 2r \right)^{2}=k\cdot4r^{2}\Longrightarrow k=\frac{\pi}{4}$
Seguramente o resultado máis coñecido do tratado Sobre o círculo sexa a Proposición III que nos dá aproximacións de $\pi$ tanto por exceso como por defecto. En concreto, establece que $3+\frac{10}{71}\lt \pi\lt 3+\frac{1}{7}$. Para establecelas Arquímedes fai uso do coñecido método exhaustivo ou método do agotamento. Faremos un comentario sobre cada unha destas dúas aproximacións.
Comezaremos pola primeira, $\pi\gt 3+\frac{10}{71}$. Para iso comézase por un hexágono inscrito na circunferencia. O cociente entre o perímetro do hexágono, $p_{6}$, e o diámetro pode ser unha primeira aproximación de $\pi$: $\pi\approx \frac{p_{6}}{d}$. Pero se temos un polígono con máis lados, a aproximación mellora. Arquímedes decidiu ir duplicando o número de lados: $6, 12, 24, 48$ ata $96$. El non desenvolve con detalle todos os pasos deste proceso. Iso será o que intentaremos nós nas seguintes liñas.
Un paso previo, as cordas.
Antes de entrar en materia debemos ter presente que nesa altura non existían senos, cosenos ou tanxentes. Os primordios desta etapa non chegarían ata o matemático indio Āryabhaṭa (V d.C.). Daquela, para mergullarnos na trigonometría arquimediana debemos falar de cordas dun ángulo central $\theta$
 |
| cordas |
A corda do ángulo $\angle{BOC}=\theta$ será o segmento $CB$. Escribirémolo así: $Crd(\theta)=BC$. Sexa $R=OB$ o raio da circunferencia. Mediante a seguinte fórmula podemos relacionar as cordas ptolemaicas cos senos: $Crd\left( 2\theta \right)=2Rsen\theta$
Polo teorema de Pitágoras $Crd^{2}\left( 180-\theta \right)+Crd^{2}\theta=\left( 2R \right)^{2}$
Daquela $Crd\left( 180-\theta \right)=\sqrt{4R^{2}-Crd^{2}\theta}$. Quedémonos con esta última relación que utilizaremos máis adiante.
A corda do ángulo metade
Como xa se comentou, o obxectivo consiste en duplicar en cada paso o número de lados. Coñecida a lonxitude do lado dun polígono regular a cuestión consiste en obter a do lado dun polígono co dobre de lados. Se lle chamamos $\theta=2\alpha$ podemos reescribir o problema dicindo que, sabendo o valor da $Crd\left( 2\alpha \right)$, temos que determinar o valor da corda do ángulo metade, a $Crd\left( \alpha \right)$. Para iso axudarémonos da seguinte figura:
 |
| cordas e ángulo metade |
Como $AD\bot BD$ e $BC\bot AC$ temos que $\widehat{DAC}=\widehat{CBD}=\frac{\alpha}{2}$
Os triángulos $ABD$ e $ACF$ son rectángulos e teñen o mesmo ángulo agudo $\frac{\alpha}{2}$, daquela son semellantes, polo tanto verificarase a seguinte igualdade:
$$\frac{AC}{CF}=\frac{AD}{BD}\Rightarrow \frac{AC}{AD}=\frac{CF}{BD}$$
Os triángulos $ABD$ e $BDF$ tamén son rectángulos e comparten o mesmo ángulo agudo $\frac{\alpha}{2}$: velaí que tamén son semellantes polo que:
$$\frac{AB}{AD}=\frac{BF}{BD}$$
Sumando estas expresións obtemos:
$$\frac{AC+AB}{AD}=\frac{AC}{AD}+\frac{AB}{AD}=\frac{CF}{BD}+\frac{BF}{BD}=\frac{CF+BF}{BD}=\frac{BC}{BD}$$
Centrémonos na primeira e na última expresión. Temos que $AC=Crd(2\alpha)$, $AB=2R$, $AD=Crd(180-\alpha)$, $BC=Crd(2\alpha)$ e $BD=Crd(\alpha)$. Substituíndo estas expresións quédanos:
$$\frac{Crd\left( 180-2\alpha \right)+2R}{Crd\left( 180-\alpha \right)}=\frac{Crd\left( 2\alpha \right)}{Crd\left( \alpha \right)}$$
É o momento de lembrar a relación que obtivemos ao principio desta entrada, $Crd\left( 180-\theta \right)=\sqrt{4R^{2}-Crd^{2}\theta}$. Aplicámola á anterior igualdade.
$$\frac{Crd\left( 2\alpha \right)}{Crd\left( \alpha \right)}=\frac{\sqrt{4R^{2}-Crd^{2}\left( 2\alpha \right)}+2R}{\sqrt{4R^{2}-Crd^{2}\left( \alpha \right)}}$$
A expresión pide que a elevemos ao cadrado:
$$\frac{Crd^{2}\left( 2\alpha \right)}{Crd^{2}\left( \alpha \right)}=\frac{4R^{2}-Crd^{2}\left( 2\alpha \right)+4R\sqrt{4R^{2}-Crd^{2}\left( 2\alpha \right)}+4R^{2}}{4R^{2}-Crd^{2}\left( \alpha \right)}$$
E a botar contas:
$$\frac{4R^{2}-Crd^{2}\left( \alpha \right)}{Crd^{2}\left( \alpha \right)}=\frac{8R^{2}-Crd^{2}\left( 2\alpha \right)+4R\sqrt{4R^{2}-Crd^{2}\left( 2\alpha \right)}}{Crd^{2}\left( 2\alpha \right)}$$
$$\frac{4R^{2}}{Crd^{2}\left( \alpha \right)}-1=\frac{8R^{2}}{Crd^{2}\left( 2\alpha \right)}-1+\frac{4R\sqrt{4R^{2}-Crd^{2}\left( 2\alpha \right)}}{Crd^{2}\left( 2\alpha \right)}$$
Eliminamos os $1$ que están restando nos dous membros e dividimos por $4R^{2}$:
$$\frac{1}{Crd^{2}\left( \alpha \right)}=\frac{2}{Crd^{2}\left( 2\alpha \right)}+\frac{\sqrt{4R^{2}-Crd^{2}\left( 2\alpha \right)}}{RCrd^{2}\left( 2\alpha \right)}=\frac{2R+\sqrt{4R^{2}-Crd^{2}\left( 2\alpha \right)}}{RCrd^{2}\left( 2\alpha \right)}$$
Invertendo as fraccións e multiplicando posteriormente polo conxugado:
$$Crd^{2}\left( \alpha \right)=\frac{RCrd^{2}\left( 2\alpha \right)}{2R+\sqrt{4R^{2}-Crd^{2}\left( 2\alpha \right)}}=\frac{RCrd^{2}\left( 2\alpha \right)\left(2R- \sqrt{4R^{2}-Crd^{2}\left( 2\alpha \right)} \right)}{\left( 2R+\sqrt{4R^{2}-Crd^{2}\left( 2\alpha \right)}\right)\left( 2R-\sqrt{4R^{2}-Crd^{2}\left( 2\alpha \right)} \right)}=$$
$$=\frac{RCrd^{2}\left( 2\alpha \right)\left(2R- \sqrt{4R^{2}-Crd^{2}\left( 2\alpha \right)} \right)}{4R^{2}-4R^{2}+Crd^{2}\left( 2\alpha \right)}=\frac{RCrd^{2}\left( 2\alpha \right)\left( 2R-\sqrt{4R^{2}-Crd^{2}\left( 2\alpha \right)} \right)}{Crd^{2}\left( 2\alpha \right)}$$
$$Crd^{2}\left( \alpha \right)=R\left( 2R-\sqrt{4R^{2}-Crd^{2}\left( 2\alpha \right)} \right)$$
Convén decatármonos que se a $Crd\left( 2\alpha \right)$ é o lado dun polígono de $n$ lados, a $Crd\left( \alpha \right)$ será o lado dun polígono de $2n$ lados. Este era o obxectivo perseguido.
Seguro que Arquímedes non traballou con esta última fórmula pero posiblemente tivera que realizar uns cálculos moi semellantes e a nós esta relación funcional tranquilízanos moito.
