2025 e o número áureo

Cando hai cambio de ano, entre os interesados polas matemáticas, xurde toda unha panoplia de relacións numéricas que teñen como protagonista o número co que identificamos o novo ano. O usual é que a maior parte das veces sexan moi forzadas. Curiosamente nesta ocasión o 2025 é un número moi xeneroso. Resulta ser un cadrado perfecto: $45^{2}=2025$. Ademais 45 é a suma dos 9 primeiros números naturais. De aí que se verifique a seguinte relación:

$$2025=45^{2}=(1+2+3+4+5+6+7+8+9)^{2}=1^{3}+2^{3}+3^{3}+4^{3}+5^{3}+6^{3}+7^{3}+8^{3}+9^{3}$$

Esta igualdade non é máis que un caso particular desta outra que me trae moi bos recordos porque a a vira por vez primeira no libro How to solve it do matemático de orixe húngara George Pólya (1887-1985). Estoume referindo á seguinte relación:

$$(1+2+3+...+n)^{2}=1^{3}+2^{3}+3^{3}+...+n^{3}$$

Hai moitas outras formas de escribir o número 2025, pero por norma xeral non teñen a prestancia desta que acabamos de comentar; ou iso era o que pensaba eu o ano pasado.

Os costumes sociais dictan que a noite vella un debe facer o sacrificio de non deitarse ata horas moi tardías. Ese era o caso, pasaran horas no ano novo, xa puxera o pixamam e estaba máis que disposto a, por fin, deitarme. Para fortuna miña, tiven a idea de botarlle un ollo a esa plataforma en devalo, agora chamada X e antes Twitter. Alí un astrofísico que se identifica como Andrezj Odrzywolek ofrecía esta fermosa fórmula

$$2025=\left ( \phi ^{4}-\frac{1}{\phi ^{4}} \right )^{4}$$

A pesar de estar moi avanzada a noite non puiden resistir a tentación de comprobar a igualdade. Para iso bastaría ver que $\phi^{4}-\frac{1}{\phi^{4}}=\sqrt[4]{2025}=\sqrt[4]{45^{2}}=\sqrt{45}=3\sqrt{5}$

Chegaranos con lembrar algunhas das igualdades máis básicas do número áureo que iremos utilizando no transcurso da verificación : $$\phi=\frac{1+\sqrt{5}}{2}  \quad ,\quad  \phi^{2}=\phi+1\quad e\quad \frac{1}{\phi}=\phi-1$$

Sen máis voltas, imos ao choio:

$$\phi^{4}-\frac{1}{\phi^{4}}=\left( \phi^{2}+\frac{1}{\phi^{2}} \right)\left(\phi^{2}-\frac{1}{\phi^{2}}  \right)=\left( \phi+1+\frac{1}{\phi+1} \right)\left( \frac{\phi^{4}-1}{\phi^{2}} \right)=$$ $$=\left[ \frac{\left( \phi+1 \right)^{2}+1}{\phi+1} \right]\frac{\left( \phi^{2} +1\right)\left( \phi^{2}-1 \right)}{\phi^{2}}=\frac{\phi^{2}+2\phi+2}{\phi+1}\cdot\frac{\left( \phi+1+1 \right)\left( \phi+1-1 \right)}{\phi^{2}}=$$ $$=\frac{\phi+1+2\phi+2}{\phi+1}\cdot\frac{\left( \phi +2\right)\phi}{\phi^{2}}==\frac{3\phi+3}{\phi+1}\cdot\frac{\phi+2}{\phi}=\frac{3\left( \phi+1 \right)}{\phi+1}\cdot\left( 1+\frac{2}{\phi} \right)=$$ $$=3\left[ 1+2\left( \phi-1 \right) \right]=3\left( 1+2\phi-2 \right)=3\left( 2\phi-1 \right)=3\left( 2\cdot\frac{\sqrt{5}+1}{2}-1 \right)=3\sqrt{5}$$

Chegados a este punto, fun deitarme. Non acho mellor forma de comezar o ano $\left ( \phi ^{4}-\frac{1}{\phi ^{4}} \right )^{4}$

Post scriptum (10/10/2025)

Ao puco de escribir esta entrada decateime de que  podería simplificarse moito usando a supercoñecida (?) fórmula de Binet. A verdade é que fun bastante idiota por non terme decatado antes pois ese parece o camiño máis directo e natural. Tamén é certo que desde que saiu a publicación (o 1 de xaneiro) ata o día de hoxe, ninguén me fixo un comentario nese sentido, o que me fai sospeitar que ninguén le realmente este blogue. Con todo, lembremos a fórmula de Binet. 

A ecuación cuadrática $x^{2}-x-1=0$ ten dúas solucións. Unha delas é o número áureo $\phi=\frac{1+\sqrt{5}}{2}$ e a outra é un número negativo $\tau=\frac{1-\sqrt{5}}{2}=-\frac{1}{\phi}$. A diferenza destes dous valores é $\phi-\tau=\sqrt{5}$

Relacionado co número áureo está a sucesión de Fibonacci, $\left\{ F_{n} \right\}=\left\{ 0,1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,... \right\}$ na que cada termo é a suma dos dous anteriores: $F_{n}=F_{n-1}+F_{n-2}$ con $F_{0}=0$ e $F_{1}=1$. Así $F_{2}=1$, $F_{3}=1$, $F_{4}=3$... Así xa estamos en condicións de introducir a prometida fórmula de Binet que nos dá os valores dos termos da sucesión de Fibonacci en función do número áureo:

$$F_{n}=\frac{1}{\sqrt{5}}\left[ \left( \frac{1+\sqrt{5}}{2} \right)^{n}-\left(\frac{1-\sqrt{5}}{2}\right)^{n} \right]=\frac{1}{\sqrt{5}}\left[ \phi^{n}-\left( -\frac{1}{\phi} \right)^{n} \right]=\frac{\phi^{n}-\tau^{n}}{\phi-\tau}$$

Está claro que tamén se pode escribir así, que é como nos convén a nós:$$F_{n}=\frac{1}{\sqrt{5}}\left[ \phi^{n}-\frac{\left( -1 \right)^{n}}{\phi^{n}} \right]$$

Para evitar a incomodidade dos signos negativos, consideremos só os elementos pares da sucesión de Fibonacci: fagamos $n=2k$

$$F_{2k}=\frac{1}{\sqrt{5}}\left[ \phi^{2k}-\frac{\left( -1 \right)^{2k}}{\phi^{2k}} \right]=\frac{1}{\sqrt{5}}\left( \phi^{2k}-\frac{1}{\phi^{2k}} \right)$$

Aínda podemos limpar máis a fórmula elevando os dous membros ao cadrado, así desfacémonos da raíz e quedamos con números enteiros:

$$\left( \phi^{2k}-\frac{1}{\phi^{2k}} \right)^{2}=5F_{2k}^{2}$$

Para $k=2$ temos $\left( \phi^{4}-\frac{1}{\phi^{4}} \right)^{2}=5F_{4}^{2}=5\cdot 3^{2}=45$, que era o que queríamos comprobar.

Ademais obtivemos todos os valores que teñen a mesma forma que o enunciado inicial:

$$\phi^{2k}-\frac{1}{\phi^{2k}} =\sqrt{5}\cdot F_{n} $$

Como curiosidade, se $k=1$ escribiremos $\phi^{2}-\frac{1}{\phi^{2}} =\sqrt{5}=\phi-\tau=\phi-\frac{-1}{\phi}=\phi+\frac{1}{\phi}$. Non houbo alguén que falou algunha vez do "pracer estético das matemáticas"? (Pode ser que non, que todo fose unha ilusión, ou simplemente un título extravagante que se usou como técnica de mercadotecnia para vender un libro)