Un pequeno problema de optimización

Nas clases de matemáticas sucede algo que case non pasa nas outras. É moi fácil reducilas a unha lista de receitas. Co avance do curso e dos anos vanse acumulando estas receitas ata a saturación. Finalmente non temos nada de matemáticas e só fica unha lista de algoritmos sen sentido. Moitas veces o paso dunhas matemáticas sustentadas na razón, a unhas matemáticas puramente algorítmicas é moi sutil. Non creo que haxa unha forma boa de explicar as matemáticas ben, pero si que a hai de facelo mal. A mellor forma de coller o mal camiño é non reflexionar e non ter unha idea bastante clara das mensaxes que hai que transmitir.

Xa teño contado nalgunha ocasión que tiven uns profesores de matemáticas moi bos. A isto engadíseselle a alegría de que me gustaba a materia. Por iso gozaba moito das clases; tanto que teño vívidos recordos de impresións e pensamentos que tiven daquela. Todo isto axudoume moito despois. Lembro, por exemplo o seguinte problema de optimización proposto nunha clase de 3º de BUP, ano 1984. Por contextualizar, antes xa estudáramos as derivadas das funcións elementais (con demostracións incluídas). Tamén fixéramos exercicios de representación gráfica.

No 1984 había clases de matemáticas en galego

Aínda que penso que se ve na imaxe, transcribo o enunciado:

Calculade dous números que sumen 10 e o producto sexa máximo

[Nota ortográfica: "producto" é da norma RAG anterior a 2003]. Para resolvelo basta con trasladar o enunciado a unha linguaxe matemática para permitir a súa manipulación dentro do contexto do traballo que estabamos a realizar: temos que achar dous valores $x_1$ e $x_2$ tales que o seu produto $P_2=x_1\cdot x_2$ sexa máximo baixo a condición de que a súa suma sexa 10. Recordo perfectamente que, a pesar de que xa fixéramos unha boa colección de exercios de optimización de carácter xeométrico, non sabía como abordar este problema. De todas formas tiña a solución porque fixera o seguinte razoamento: "1 e 9 suman 10, o seu produto é 9; 2 e 8 suman 10 e o seu produto é 16; 3 e 7 suman 10 e o seu produto é 21; 4 e 6 teñen de produto 24. Finalmente $5\cdot 5=25$ é a solución.[Nese momento asaltoume a dúbida] E os decimais?... 4,5 e 5,5 teñen de produto 24,75. Entón, parece que a solución é $5\cdot 5=25$."

Con todo, non estaba contento con ese método. Sabía que non verificara máis que uns poucos casos. Por outra banda a solución dada posteriormente polo profesor deixárame algo decepcionado. Parecíame demasiada parafernalia para unha conclusión tan obvia.

A cuestión é: por que non fun quen de resolver o problema coas ferramentas que tiña na miña man e que xa aparendera noutros problemas de optimización? Incluso máis, é evidente que, dentro dos problemas de optimización, este problema era máis sinxelo que outros xa traballados. 

A resposta está no tipo de problema. Os outros problemas de optimización que tratados eran de carácter xeométrico. O bloqueo viña simplemente do aspecto do problema. Aquí aprendín que é importante afrontar problemas de tipos moi distintos. Só un entrenamento de resolución de cuestións variadas vai poder levarnos a "facer nosas" as técnicas que se están a aprender. Co tempo tamén me decatei que o basto razoamento que fixera eu non era práctica común entre a xeneralidade do alumnado. Algúns só buscan o algoritmo que hai que aplicar neste caso e non fan tentativas de casos particulares. Aquí aprendín que, aínda que explique a técnica para resolver un problema, tamén debo relatar divagacións coma se non soubese resolvelo. Como exemplo, podo contar en alto o mesmo que escribín antes, aquilo que pensaba cando intentaba resolver o problema anterior. En xeral debo preguntarme en alto: coñezo algún problema semellante?, que pasa se aquí poño estes outros números?, e que pasa nos casos extremos?, convén facer esquemas, táboas,...?, que tipo de notación debo escribir?. E sempre: que é o que sei? que é o que quero conseguir? Podo relacionar unha cousa coa outra?

Unha ensinanza máis é que debo deixar tempo na aula ao alumnado para que intente resolver os problemas. Non ten sentido que o profesor ametralle aos pobres discentes nunha restra de demostracións de habilidade en problemas que sabe facer sobradamente. 

Finalmente, tamén prodemos aprender moito reflexionando sobre a solución dada. Case sempre está na nosa man abstraer algo máis, xeneralizar.... Por exemplo convén considerar o seguinte problema:

Calcula dous números que sumen S e que teñan produto máximo

Sexa $P=x_1\cdot x_2$ o valor a maximizar. Podemos aproveitar a condición $S=x_1+x_2$ facendo $x_2=S-x_1$. Así o produto só depende dunha variable: $P_2(x_1)=x_1\cdot (S-x_1)$ e podemos aplicar o procedemento habitual de derivación:

$$\begin{gathered} P_2^{\prime }(x_1)=(S-x_1)-x_1=S-2x_1 \\ {P}_2^{\prime }(x_1)=0S=2x_1\Rightarrow x_1=\frac{S}{2}\Rightarrow x_2=x_1=\frac{S}{2} \\ {P}_2=\frac{S}{2}(S-\frac{S}{2})=\frac{S}{2}\cdot \frac{S}{2}={\left(\frac{S}{2}\right)}^2 \end{gathered}$$

Neste punto estamos en boa disposición para abordar un problema máis xeral.

Determina n números que sumen S e teñan produto máximo

Pensemos primeiro no caso de 3 números: $x_1+x_2+x_3=S$. Por  un momento supoñamos que coñecemos o primeiro valor, $x_1$. Entón o problema reducirías e a determinar os outros dous valores baixo a condición de que a súa suma fose $x_2+x_3=S-x_1$. Entón o produto:

$$P_3(x_1)=x_1{x}_2{x}_3=x_1{P}_2\left(\frac{S-x_1}{2}\right)=x_1{\left(\frac{S-x_1}{2}\right)}^2$$

Derivando: $P_3^{\prime }(x_1)={\left(\frac{S-x_1}{2}\right)}^2-\left(\frac{S-x_1}{2}\right)x_1$

Se igualamos a derivada a 0 obtemos:

$${\left(\frac{S-x_1}{2}\right)}^2=\left(\frac{S-x_1}{2}\right)x_1$$

Dividindo pola expresión entre parénteses obteremos

$$\begin{gathered} \left(\frac{S-x_1}{2}\right)=x_1 \\ {x}_1=\frac{S}{3} \end{gathered}$$

Entón $x_2+x_3=\frac{2S}{3}$, e, polo visto no caso de dous números $x_2=x_3=\frac{S}{3}$

Velaí que o produto máximo no caso de n=3 será $P_3={\left(\frac{S}{3}\right)}^3$

Xa temos todo preparado para a indución. Supoñamos que temos n-1 números que teñen unha suma dada S: $x_1+x_2+...+x_{n-1}=S$ e que o seu produto máximo se dá cando $x_1=x_2=...=x_{n-1}=\frac{S}{n-1}$. Entón nese caso o valor dese produto máximo será $P_{n-1}={\left(\frac{S}{n-1}\right)}^{n-1}$. Vexamos que se verifica o caso n-ésimo.

Partamos de n números tales que $x_1+x_2+...+x_{n-1}+x_n=S$. Podemos aplicar a hipótese de indución aos n-1 últimos números que suman $x_2+...+x_{n-1}+x_n=S-x_1$. Neste caso o produto máximo será:

$$P_n(x_1)=x_1{P}_{n-1}(S-x_1)=x_1{\left(\frac{S-x_1}{n-1}\right)}^{n-1}$$

Derivando e igualando a derivada a cero:

$$\begin{gathered} P_n^{\prime }(x_1)={\left(\frac{S-x_1}{n-1}\right)}^{n-1}-{\left(\frac{S-x_1}{n-1}\right)}^{n-2}\cdot x_1 \\ {\left(\frac{S-x_1}{n-1}\right)}^{n-1}={\left(\frac{S-x_1}{n-1}\right)}^{n-2}\cdot x_1 \\ \frac{S-x_1}{n-1}=x_1 \\ S-x_1=n{x}_1-x_1 \\ {x}_1=\frac{S}{n} \end{gathered}$$

Entón:

$$P_n=\frac{S}{n}{\left(\frac{S-\frac{S}{n}}{n-1}\right)}^{n-1}=\frac{S}{n}{\left(\frac{S(n-1)}{n(n-1)}\right)}^{n-1}=\frac{S}{n}{\left(\frac{S}{n}\right)}^{n-1}={\left(\frac{S}{n}\right)}^n$$

Recollín esta derivación do libro de Paul J. Nahin, When Least Is Best, que me gustou polo enrevesada que é pois temos a alternativa de facer outro razoamento. Volvamos ao caso de cando tiñamos dous números $x_1$ e $x_2$ e reflexionemos por que teñen que ser iguais para poder obter un produto máximo. Se fosen distintos, consideremos a súa media $x_m$. Entón $x_1=x_m-d$ e $x_2=x_m+d$. Ademais $x_1+x_2=x_m+x_m$. Pola contra o seu produto 

$$x_1\cdot x_2=(x_m+d)(x_m-d)=x_m^2-d^2<x_m^2$$

Polo tanto, se queremos maximizar o produto, non podemos coller números distintos. Esta mesma razón serviría para cando teñamos n números. Se un par deles fosen distintos poderiamos substituílos pola súa media, obtendo un produto maior. 

Xa sei por que me gustan as matemáticas. Porque cando me mergullo nelas síntome como un adolescente intentando resolver un pequeno problema de optimización.

Uns Bocados que abren o apetito

Foto da Libraría Paz

O pasado 23 de febreiro presentouse na Libraría Paz de Pontevedra o libro Bocados matemáticos (Xerais 2022), de Paulo González Ogando. Así foi como puiden desvirtualizar ao autor. Achei unha persoa que me dou a impresión de ser moi sistemática e ordenada e á que lle gustan os libros de divulgación das matemáticas. Todas estas cualidades son puntais fundamentais para un autor desa clase de libros.

O primeiro en intervir na presentación foi Fran Alonso, moi preocupado polos resultados dos informes da lectura, especialmente da lectura en galego. Só un 4% da poboación le na nosa lingua, todo un síntoma dun enorme problema que non recibe nin a atención nin as solucións que precisa. Fran Alonso enmarcou os Bocados matemáticos baixo dous parámetros. En primeiro lugar identificouno como pertencente á tradición anglosaxona da divulgación. En segundo lugar, é un volume máis da colección Básicos de ciencia, unha colección que todos aos que nos gusta a divulgación agradecemos infititamente e que certifica que a editorial é fiel á súas orixes. O director de Xerais lembrounos que o primeiro libro da editorial foi un libro de texto de matemáticas de 1º de BUP, o do colectivo Vacaloura. Un libro, que baixo a lexisación actual estaría prohibido publicar por ser un libro de texto de matemáticas en galego. Con esta intervención, Fran Alonso pisou o que tiña preparado eu, con todo, aproveitei para lembrar que o libro do colectivo Vacaloura publicouse a comezos do curso do ano 1979. Uns poucos meses antes publícase o "Decreto do bilingüismo", que segundo a propaganda oficial do momento era o da incorporación da lingua galega ao sistema educativo. Na realidade, se un profesor quería impartir aulas en galego, debía pedir permiso á dirección, ao claustro de profesores, aos pais do alumnado e, de ter o permiso de todos eles, podería elaborar un informe solicitando ao Ministerio de Educación a aprobación do uso da lingua galega na docencia. Para o castelán non había ningún requisito: iso era o bilingüismo. Co soporte dese decreto non se impartiu nin unha hora en galego; pola contra, serviu para fustigar a represión do uso da lingua no ensino. Basta lembrar os casos de Alfonso Castro no colexio do Foxo, na Estrada ou o de Pepa Bahamonde en Rois.

O decreto do bilingüismo do século XXI chámase "decreto de plurilingüismo". Era imprescindible falar del na presentación deste libro, aínda con máis razón se sabemos que nas primeiras páxinas faise referencia ao mesmo:

[este libro] Foi escrito nun tempo en que a materia de Matemáticas na Educación Secundaria Obrigatoria se debe impartir obrigatoriamente en castelán, o cal contribuiu notablemente a ocultarlle ao alumnado o vocabulario específico en galego e a minimizar nesta nosa lingua tanto a expresión oral das matemáticas como a produción escrita de material, tanto didáctico coma tamén divulgtivo. [o subliñado é meu]

Fálase de minimizar. Respecto aos libros de texto foise máis alá: aniquilación completa da lingua galega. Fálase de ocultar. Un verbo terrible cando estamos tratando de educación. A ocultación implica descoñecemento. O descoñecemento leva ao desleixo, ao desprezo e incluso ao dodio á lingua. Todo iso é o decreto 79/2010. 

Tamén se fala de divulgación científica. A este respecto, cal é o panorama? Cantos libros de divulgación das matemáticas en galego se publicaron no século XXI?. Como non son moitos, vou citalos todos:

• Bocados matemáticos, de Paulo González Ogando, Xerais 2022
• Apoloxía dun matemático, de G. H. Hardy, traducido por Xosé Díaz Díaz, Toxosoutos 2020
• Mate-glifos, de Nicanor Alonso e Miguel Mirás, Xerais 2019
• Un conto enleado, de Lewis Carrol, traducido por Xosé Díaz Díaz, Toxosoutos 2017
• As mulleres nas matemáticas, de Matilde Ríos Fachal, Bahía 2008
• A Estatística, ¡en caricaturas!, de Larry Gonick e Wollcott Smith, SGAPEIO 2001

Podémolo poñer nun gráfico:

Parece un número escrito en binario

Para entender mellor a situación, comparémolo co caso do castelán. Cantos libros divulgativos de matemáticas se publicaron neste século en castelán?. Isto non é fácil de responder. Por sorte hai un portal, Divulgamat,  que fai recensión de moitos deles. Se o consultamos veremos que no mesmo período teñen un rexistro dun 985 (coa data desta entrada). Isto significa que seguro que hai máis de 1000. A poboación española é unhas 17 veces a galega. 1000 dividido entre 17 dá aproximadamente 60. Para falarmos dunha situación parella (de bilingüismo?) terían que terse publicado 60 libros de divulgación das matemáticas durante este século. Publicáronse 6. Xa temos unha cifra redonda que nos aclara que vivimos 10 veces por debaixo das nosas necesidades. Esa é a a medida da exclusión do galego no ámbito da divulgación das matemáticas.

Centrémonos agora algo nos Bocados matemáticos. Non vou facer spoiler, pero si dar trazas dos sabores que nos deixan eses petiscos, pois tal e como explicou Paulo, trátase dunha colección de 36 relatos independentes sobre curiosidades matemáticas que lle interesaron. Ao seren independentes podémolas ler en calquera orde. 

Nun dos capítulos contrapóñense as matemáticas centradas nos algoritmos fronte a outras máis profundas, asentadas nos por que, nas ideas, as razóns. Por exemplo, todos sabemos que non se pode dividir por 0, pero por que? Se facemos memoria da época escolar recordaremos que $a^0=1$, pero cal é a razón? Velaquí onde residen as matemáticas fermosas, nesta indagación.

Outro lugar onde esperariamos achar beleza matemática sería na xeometría. No libro hai un capítulo adicado a ela, pero non se falará dunha xeometría con listados de fórmulas de áreas, perímetros ou volumes. Falarase, por exemplo da forma dos folios como os DIN A3 ou A4. Por que esa esa proporción entre os lados e non outra? A seguinte figura suxírenos algunha resposta

Un dos problemas a afrontar para achegar as matemáticas á xente é o da utilidade. Cando se presenta un tema de carácter matemático é habitual escoitar a acusación de que non serve para nada: "cando vou eu usar un espazo vectorial?, se vou á compra non necesito polinomios.... " Fronte a isto, podemos retrucar co xa tratado asunto do tamaño das follas de papel da norma DIN, ou incluso co contido dun capítulo completo dos Bocados adicado ás chamadas matemáticas do reloxo, a aritmética modular que trata os segredos do NIF, o IBAN, o ISBN ou os sistemas de encriptación.

O propio Paulo repasaría os aspectos máis importantes de moitos dos bocados do seu libro. Tamén comentaría que todo comezara da lectura doutros libros divulgativos, dos que foi tomando notas para uso persoal. Só cando tivo unha boa cantidade acumulada decidiu dar o paso de expurgar, organizar e reelaborar o que acabaría sendo o contido dos Bocados matemáticos.

Para finalizar non resisto comentar unha impresión persoal que me asaltou cando lin o libro. Un dos capítulos está adicado aos paradoxos. Alegroume moito esta escolla porque o primeiro libro de divulgación científica que lin foi precisamente ¡Ajá! Paradojas que hacen pensar, de Martin Gardner nesa marabillosa edición de Labor do ano 1983. E por que paradoxos? Unha das características máis ligadas á esencia das matemáticas é o ben construídas que están. Na matemática todo funciona de forma excepcionalmente coherente. É o que en lóxica se chama consistencia. Ata onde Gödel nos permite, as matemáticas conforman unha excepcional maquinaria perfectamente engraxada, sen contradicións. Por iso mostrar un paradoxo dentro do ámbito das matemáticas chama moito máis a atención que en calquera outro campo. Os paradoxos matemáticos enganchan porque sentimos unha necesidade perentoria de desfacernos deles. Aí reside o acerto de Paulo en escoller este tema como o fío condutor dun dos capítulos dos Bocados. 

Ademais das miñas teimas, comentei catro aspectos dun libro que agardo lle abran o apetito a quen pase os ollos por estas liñas. O bo é que quen lea o libro non vai empachar, quedará con gañas de máis bocados de matemáticas.