Dous listados de exercicios de ecuacións irracionais

Ecucións e sistemas no Descartes EDAD

O profesor debe encontrarse cómodo co material que utiliza. Por esta razón eu nunca cheguei a empregar ningún libro de texto, agás nun caso, que xa recomendei nalgunha ocasión. Trátase da ferramenta EDAD da plataforma Descartes, que ademais ten a ventaxa, para min imprescindible,  de podérmola utilizar en galego.
Con todo, que utilicemos un libro texto ou unha guía didáctica de calquera tipo, non significa que teñamos que empregala en todo momento e para todo. O recomendable é serlle infiel pois o seguemento sistemático dun libro de texto empobrece a aprendizaxe xa que nunca pode adaptarse ao cen por cen ao noso estilo nin ás necesidades dos nosos alumnos. Vou contar algunha das traizóns ao EDAD que apliquei as últimas veces que impartín clase ne 4º da ESO, en concreto na materia que agora se denomina Matemáticas Orientadas ás Ensinanzas Académicas, antes Matemáticas B.

No tema de 4º da ESO adicado ás ecuacións e sistemas, no seu apartado 2.3, que trata das ecuacións irracionais, pídese que se resolvan varias deste tipo. Pode aparecernos, por exemplo, a seguinte: $$\sqrt{-3-4x}+4x=-5$$ Se queremos seguir practicando o programa ofrécenos a posibilidade de xenerar moitas outras como as seguintes $$\begin{gathered} \sqrt{x-4}-8=-2x \\ -7-2\sqrt{7x+2}=2 \\ x-2\sqrt{-2-9x}=6 \end{gathered}$$ E así sucesivamente. Isto tamén é habitual nos libros de texto, unha restra de exercicios do mesmo tipo, que pode levar á tentación de propoñerllos todos aos alumnos. Hábito desafortunadamente nada infrecuente, polo que teño visto no transcurso de moitos anos de docencia. O alumnado debe enfrontarse a estes exercicios e ten que desenvolver e aprender as ferramentas para realizalos con fluidez. A cuestión é que facer unha lista de exercicios do mesmo tipo non serve para nada (bo). O único que podemos conseguir é que os rapaces se aburran e acaben tendo a idea falsa de que as matemáticas consiste nunha restra de algoritmos.
Ben certo é que este tipo de traballos non son moi agradecidos pois só se trata de aprender a traballar determinado tipo de habilidades coas expresións alxébricas. Pero non nos queda outra que entrenalos, o cal non significa que debamos mandar un boletín con 20 ecuacións deste tipo para que os fagan de deberes na fin de semana (ou aínda peor, para o día seguinte).
En primeiro lugar, facer os problemas na clase ten a ventaxa de poder discutilos cos compañeiros e de contar coas indicacións do profesor. Por outra banda o profesor non debe facer el os exercicios inmediatamente. Hai que deixar tempo a que os estudantes se enfronten a eles, permitir que cometan erros para facerllos ver, deixar que discutan os pasos a dar, que razoen e confronten se o fixeron ben ou non. Todo isto leva tempo, pero é tempo gañado para aprendizaxe.
Neste apartado, no das ecuacións irrracionais (e en moitos outros), eu taizoo á plataforma Descartes EDAD. No canto do anterior listado de exercicios preséntolle este outro: $$\begin{gathered} a)3x+\sqrt{x^2-5x+16}=19 \\ b)\sqrt{x-2}-\sqrt{x-5}=1 \\ c)\sqrt{x^2+1+2\sqrt{4x-3}}=x+1 \\ d)\frac{2\sqrt{x+5}}{4-\sqrt{x}}=\frac{4+\sqrt{x}}{\sqrt{x}} \\ e)\sqrt{x^3-x+3}-x=1 \\ f)\sqrt[3]{x+3}+3=x \\ g)\sqrt{x^4+144}=5x \end{gathered}$$ O apartado a) non presenta ningunha dificultade, pero polo menos ten a novidade, con respecto aos anteriormente presentados, de que aparece unha expresión cadrática. No apartrado b) o alumnado adoita protestar porque lles aparecen dous radicais e "iso non o vimos", cando precisamente aí está o interesante da cuestión. Por iso no c) volven a queixarse, "unha raíz dentro doutra! isto é pasarse!". Curiosamente o maior bloqueo téñeno co d), pois a maioría non saben como dar o primeiro paso. Por exemplo, case ninguén se decata de que poden multiplicar en cruz. Ademais a comprobación das solucións deste caso pode dar para reflexionar cando un valor é solución ou non.  Os apartados e) ou g) non lles presentan dificultades e ademais teñen a virtude de ofrecer retos que lles permiten utilizar e repasar temas xa aprendidos (resolución de ecuacións bicadráticas ou polinómicas). Con todo, teño visto intentos estrafalarios de sacar a incógnita fóra do radical, quizais pola tensión que a algún lle produce o feito de ver unha potencia de grao superior a 2. No f) sempre hai alguén que comenta en alto: "hai que aplicar o triángulo de Tartaglia" e outro que lle responde con enfado: "pero iso non é deste tema!". Neste caso a resolución pode levarnos a tratar o número áureo, o que nos permitiría dar un paseo por outros mundos das matemáticas e descansar dos procedementos da resolución de ecuacións. Como se ve, o proceso é moito máis entretido que a repetición machacona do mesmo exercicio con distintos valores numéricos coa ventaxa engadida de teren que enfrontarse a distintas problemáticas e de teren que facelo por si mesmos.
Non é esta a única infidelidade que cometo con este tema do Descartes EDAD.  Na proposta orixinal hai un apartado que se denomina "Ecuacións factorizadas". Trátase de ecuacións da forma P(x) = 0, onde P(x) é un polinomio. Eu sáltoo porque xa o traballamos no tema de polinomios. Pola contra hai unha cuestión que engado e que non aparece no Descartes EDAD, que son as fórmulas de Viète para as ecuacións de 2º grao.
Todas estas adaptacións como son a realización doutros exercicios, eliminación de apartados, introdución doutros novos, ou calquera outra que nos conveña, poden recollerse nos cadernos de traballo que se propoñen na primeira páxina de cada tema do Descartes EDAD. Velaquí outra razón para pensar en incorporar nalgunha ocasión este sistema ás nosas aulas. Xa non se trata do ríxido formato do libro de texto ao que nos debamos adaptar, agora é unha axuda chea de recursos que se pode adaptar ás nosas necesidades.
Agora ben, non sempre se pode facer o que describín nesta entrada. Pode ser que o perfil do alumnado que teñamos non sexa quen de abordar o segundo listado de problemas que propuxen aquí. Nese caso traballar na clase con estes exercicios pode xenerar frustracións máis que aprendizaxe polo que habería que recoller a tanza e insistir cun listado de problemas máis semellante ao primeiro. De aí a necesidade do profesor.

Problemas de congruencia e semellanza

A congruencia e a semellanza de figuras planas, moi especialmente a de triángulos,  trátanse na ESO polo que poderíamos pesar (erróneamente) que son temas triviais e nos que non se pode profundizar gran cousa. Van de seguido seis problemas de enunciado ben simple:

1. Corta un cadrado en tres figuras congruentes
2. Corta un cadrado en tres figuras semellantes tales que dúas delas sexan congruentes.
3. Corta un cadrado en tres figuras semellantes tales que non haxa dúas congruentes.
4. Corta un triángulo equilátero en tres figuras congruentes.
5. Corta un triángulo equilátero en tres figuras semellantes tales que dúas delas sexan congruentes.
6. Corta un triángulo equilátero en tres figuras semellantes tales que non haxa dúas congruentes.

Estas cuestións teñen a característica de seren moi abertas e, aínda que teñen un enunciado moi semellante (que non congruente), son de dificultade moi diversa: unha desas particularidades marabillosas nada infrecuentes nas matemáticas. Tamén dan lugar a outras cuestións tales como a existencia, unicidade ou contabilización das solucións de cada un deles. Os enunciados incluso invitan a continuar a serie partindo dun polígono regular calquera ou facendo divisións cun maior número de pezas.

Portada de Quantum

Por último toca explicar de onde saquei os enunciados. Antes de nada aviso que o artigo ofrece solucións ás cuestións, polo que é recomendable darlle algunhas voltas antes de consultalo. Trátase dunha colaboración de Martin Gardner (1914-2010) publicada no número de maio/xuño de 1994 da revista Quantum.
Quantum, editada pola National Science Teachers Association entre os anos 1990 e 2001 foi unha revista de ciencia dirixida tanto ao alumnado de secundaria e universitario como ao profesorado. As súas orixes remóntanse a outra publicación, neste caso rusa, Kvant, que tivo entre os seus fundadores ao destacado matemático Adrei Nikolaevich Kolmogorov (1903-1987). Kvant aínda se publica na actualidade. Se a consultamos, de certo que nos dará mágoa non saber ler os caracteres cirílicos.