Unha anotación xeométrica sobre as progresións xeométricas

Non fixen un reconto exhaustivo, pero teño a certeza de que o nivel que máis horas estiven dando clase foi o que anteriormente se correspondía con 1º de BUP, e que agora, e xa hai moito, se denomina 3º da ESO. 

Lembro moi ben que, sendo eu alumno dese curso (do BUP, claro), o tema que máis traballo me custou entender foi o relativo ás progresións aritméticas e xeométricas. Quizais por iso cando volvo a dar o paso, agora como profesor, de mergurllarme outra vez na selva das progresións, fágoo con pausa e mirando de esguello para todas partes. Esta actitude deriva nun traballo un tanto pachorrento, con todo, só o é para min, non para a xeneralidade do meu alumnado. Nesa tensión normalmente acaban gañando eles: ao final do tema chega o momento de explicarlles a suma infinita dunha progresión xeométrica de razón menor que 1 e véxoos tan saturados que a maioría das veces obvio ese apartado. Con todo, non é o máis dificil dos contidos a tratar neste tema. Pola contra, desde certo punto de vista é o máis simple. En efecto, paradoxalmente é máis simple deducir a suma dos infinitos termos dunha progresión xeométrica que a suma dunha cantidade finita. Aquí estou obviando a posible saturación cognitiva que poida ter un alumno ao ter que enfrontrarse ao que parece unha tarefa se Sísifo: sumar unha cantidade infinita de números. 

A razón de traer este asunto por aquí foi pola lectura casual dun pequeno artigo de Elon Lages Lima na Revista do Professor de Matemática nº 14 no que fai unha achega xeométrica a un asunto puramente aritmético, o da suma dunha progresión xeométrica. A cuestión pode desenvolverse da segunte maneira. Consideremos unha progresión xeométrica de razón $r, 0< r< 1$:

$a, ar, ar^{2},ar^{3},..., ar^{n},...$

Formemos un ángulo agudo con dous segmentos de lonxitude $a$. No extremo do segmento horizontal trazamos outro segmento paralelo de lonxitude $ra$. Isto dá lugar a dous triángulos semellantes, un de lados $a$ e $S$ e outro de lados $ra$ e $rS$, Está claro que a razón entre estes dous triángulos é $r$. 

Como $S=a+rS$ temos que:

$S(1-r)=a$

$S=S=\frac{a}{1-r}$

Resulta que $S$ é o valor da suma dos infinitos termos da progresión:

$$S=a+ar+a^{2}+ar^{3}+...=a+r\left ( a++ar+ar^{2}+... \right )=a+rS\\S-rS=a\\S\left ( 1-r \right )=a\\S=\frac{a}{1-r}$$

Se agora pretendemos calcular só unha suma finita de, digamos, só os $n$ primeiros termos:

$S_{n}=a+ar+ar^{2}+ar^{3}+...+ar^{n-1}$, multiplicando por $r$:

$rS_{n}=ar+ar^{2}+ar^{3}+ar^{4}...+ar^{n}$

A esta segunda suma lle rest+amoslle a primeira e cancélanse case todos os termos:

$rS_{n}-S_{n}=ar^{n}-a$. Sacando factor común e despexando:

$$S_{n}\left ( r-1 \right )=a\left ( r^{n}-1 \right )\\S_{n}=\frac{a\left ( r^{n}-1 \right )}{r-1}$$

Como prometimos, este caso dá lugar a unha expresión máis complicada que a do caso infinito. Para mitigar o esforzo podemos botarlle un ollo ao seguinte esquema, que nos axuda a conciliarnos coa cuestión.

Retallos do 2022

A primeira entrada de toda a historia deste blogue, II Día da Ciencia en Galego: María Wonenburger, nin tan siquera é deste blogue. Efectivamente, é da Carta Xeométrica, o único que tiña ao principio pero que acabou sendo de normalización lingüística. Co tempo recollín as entradas relacionadas coas matemáticas para incluílas noutro blogue no que pretendía colocar anotacións de carácter matemático. Estou, agora si, falando deste blogue. 

Por estas circunstancias non sei cal é a data de apertura destes Retallos, asi que se quero repasar a súa traxectoria, quizais a mellor época sexa co cambio de ano. 

O meu propósito é publicar un par de entradas por mes. A razón é simple: non me vexo con capacidade para que o número sexa maior. Con todo, a distribución do 2022 foi irregular. Hai un mes, o de agosto, con só unha entrada, porén o de novembro tivo catro, aínda que, como veremos, con pouco éxito. Non hai ningunha razón para esta distribución, simplemente, saiume así. Nunca publico algo co que non me preste. Basta comentar que por cada publicación deste blogue teño un borrador con anotacións que nunca desenvolvín. De aí que, se ao final houbo durante todo o ano un total de 24 entradas é máis unha casualidade que un acto premeditado.

 A influencia de Vidal Abascal, foi a de máis éxito (172 visualizacións), mais tamén foi a que máis traballo ten detrás. Neste caso coincidiron varias circunstancias para que saíse á luz. Tiña recollidas algunhas notas sobre Vidal Abascal e había pouco que a USC tivera a feliz idea de publicar a lección inaugural do curso 1973-74 do matemático lalinense. Con todo, o desorde das notas era tal que se non chega a ser porque caín enfermo da COVID-19 e tiven unha semana de baixa, boa saúde, aillamento e unha perspectiva de moitas horas sen nada produtivo que facer,  todos eses retallos seguirían desordenados agardando unha oportunidade. Agora ben, o traballada que estea unha publicación non ten unha relación directa co número de visualizacións. Só uns riscos nunha pedra. é unha entrada na que poucos repararon pero con moito tempo gastado en lecturas, rascuños e revisións.

A segunda na lista é Uns Bocados que abren o apetito, estaba adicada á publicación do libro Bocados matemáticos (Xerais 2021), de Paulo González Ogando. Curiosamente estas dúas entradas que encabezan a lista das máis visitadas son as que menos escritura estritamente matemática teñen. Quizais isto faga máis plausible a idea de que as matemáticas son "iso que non se entende".

O problema que me ocupou máis folios de versións ata a súa fasquía final foi o denominado Tíralle da corda, que aparece en Intuición esganada cunha corda.

Esta revisión tráeme algúns recordos persoais. Por exemplo, lembro que escapei dun castigador sol de verán a refuxiarme na escasa sombra dun pino para ler Os enigmas de Canterbury, de Henry Dudeney. Esta fuxida estival daría lugar a tres entradas: O enigma do mercader, Tres enigmas de Dudeney e Un cadrado sen adubos. As entradas anteriores a estas son algo incompatible comigo xa que tratan de papiroflexia. Eu son un desastre coas manualidades e sempre fuxín de todas as comunicacións nos cursos e congresos que tiñan que ver coa arte de dobrar papeis. Con todo, un comentario sobre os números construíbles mediante as técnicas de origami despertoume a curiosidade, de aí Dobrando un papel. Os racionais e Dobrando papel. Dobrando o cubo. Iso si, xuro que non dobrei ningún papel para elaborar estas entradas.

Non é habitual que se repita unha imaxe, pero este foi o caso das publicacións do mes de novembro. A imaxe é a seguinte:

E o certo é que todo o que escribín ese mes trataba sobre o mesmo, pero desde puntos de vista distintos: Catro resultados elegantes, Tres cadrados, moitas solucións.1, Tres cadrados, moitas solucións, 2 e Un resultado sobre arcocotanxente

Finalmente fago un par de listas. Unha primeira coas 9 entradas máis vistas (de máis a menos)

1. A influencia de Vidal Abascal
2. Uns Bocados que abren o apetito
3. Mate-glifos, un libro para recomendar (é do 2019, pero tivo moitas visitas este ano pasado)
4. Escolma de problemas de Matemáticas na Raia
5. Continúa a liña de Sid Sackson
6. Tres cadrados, moitas solucións.1
7. Un pequeno problema de optimización
8. Intuición esganada cunha corda
9. Un problema de Kiív

Unha segunda lista coas tres entradas de menos éxito do 2022, publicadas todas no mes de novembro (de máis a menos) 

1. Tres cadrados, moitas solucións, 2
2. Un resultado sobre acocotanxentes
3. Catro resultados elegantes

Adenda

Unha mención aparte para o portal web do mesmo nome que este blogue: Retallos de matemáticas (web)  que seguín mantendo durante todo este ano.