Unha anotación xeométrica sobre as progresións xeométricas

Non fixen un reconto exhaustivo, pero teño a certeza de que o nivel que máis horas estiven dando clase foi o que anteriormente se correspondía con 1º de BUP, e que agora, e xa hai moito, se denomina 3º da ESO. 

Lembro moi ben que, sendo eu alumno dese curso (do BUP, claro), o tema que máis traballo me custou entender foi o relativo ás progresións aritméticas e xeométricas. Quizais por iso cando volvo a dar o paso, agora como profesor, de mergurllarme outra vez na selva das progresións, fágoo con pausa e mirando de esguello para todas partes. Esta actitude deriva nun traballo un tanto pachorrento, con todo, só o é para min, non para a xeneralidade do meu alumnado. Nesa tensión normalmente acaban gañando eles: ao final do tema chega o momento de explicarlles a suma infinita dunha progresión xeométrica de razón menor que 1 e véxoos tan saturados que a maioría das veces obvio ese apartado. Con todo, non é o máis dificil dos contidos a tratar neste tema. Pola contra, desde certo punto de vista é o máis simple. En efecto, paradoxalmente é máis simple deducir a suma dos infinitos termos dunha progresión xeométrica que a suma dunha cantidade finita. Aquí estou obviando a posible saturación cognitiva que poida ter un alumno ao ter que enfrontrarse ao que parece unha tarefa se Sísifo: sumar unha cantidade infinita de números. 

A razón de traer este asunto por aquí foi pola lectura casual dun pequeno artigo de Elon Lages Lima na Revista do Professor de Matemática nº 14 no que fai unha achega xeométrica a un asunto puramente aritmético, o da suma dunha progresión xeométrica. A cuestión pode desenvolverse da segunte maneira. Consideremos unha progresión xeométrica de razón $r, 0< r< 1$:

$a, ar, ar^{2},ar^{3},..., ar^{n},...$

Formemos un ángulo agudo con dous segmentos de lonxitude $a$. No extremo do segmento horizontal trazamos outro segmento paralelo de lonxitude $ra$. Isto dá lugar a dous triángulos semellantes, un de lados $a$ e $S$ e outro de lados $ra$ e $rS$, Está claro que a razón entre estes dous triángulos é $r$. 

Como $S=a+rS$ temos que:

$S(1-r)=a$

$S=S=\frac{a}{1-r}$

Resulta que $S$ é o valor da suma dos infinitos termos da progresión:

$$S=a+ar+a^{2}+ar^{3}+...=a+r\left ( a++ar+ar^{2}+... \right )=a+rS\\S-rS=a\\S\left ( 1-r \right )=a\\S=\frac{a}{1-r}$$

Se agora pretendemos calcular só unha suma finita de, digamos, só os $n$ primeiros termos:

$S_{n}=a+ar+ar^{2}+ar^{3}+...+ar^{n-1}$, multiplicando por $r$:

$rS_{n}=ar+ar^{2}+ar^{3}+ar^{4}...+ar^{n}$

A esta segunda suma lle rest+amoslle a primeira e cancélanse case todos os termos:

$rS_{n}-S_{n}=ar^{n}-a$. Sacando factor común e despexando:

$$S_{n}\left ( r-1 \right )=a\left ( r^{n}-1 \right )\\S_{n}=\frac{a\left ( r^{n}-1 \right )}{r-1}$$

Como prometimos, este caso dá lugar a unha expresión máis complicada que a do caso infinito. Para mitigar o esforzo podemos botarlle un ollo ao seguinte esquema, que nos axuda a conciliarnos coa cuestión.