Na anterior entrada presentaba este problema que aparecía no libro Circo matemático (Alianza Editorial) de Martin Gardner.
Tres cadrados. Demostra queé a suma dos ángulos e
Alí xa indicaba que , polo que o problema é equivalente a demostrar que . Tamén daba cinco solucións ao mesmo. Continuamos (e rematamos) a serie de solucións
6. Sen palabras
Quizais esta sexa a demostración máis simple
7. Números complexos
Despois da demostración máis simple, a máis complexa.
Os ángulos , e son os argumentos dos números complexos , e :
8. Ángulo inscrito
Tanto este resultado como o seguinte recollinos dese país das marabillas que é Cut the Knot. Como se verá, dúas pedras preciosas.
∠RPS é un ángulo inscrito na circunferencia que abrangue o mesmo arco que ∠RQS, polo que son iguais. Xa na solución 5 a este mesmo problema vimos que é a suma de e por ser exterior ao triángulo QRS.
9. Circunferencia inscrita nun cadrado
Isto é unha adaptación de Cut of de Knot
Sobre unha circunferencia de raio 5 trazamos todos os segmentos que se poden ver na imaxe. Consideremos o triángulo isóscele de ángulos
Como tamén se verifica a igualdade que buscamos:
10. As arcotanxentes
Foi esta solución a que me moveu a escribir estas entradas no blogue. Nalgunha outra ocasión xa presentara esta atractiva fórmula ([1], [2])protagonizada por arcotanxentes, de apariencia completamente inútil.
11, As arcocotanxentes
polo tanto
Teño que confesar que esta solución é esencialmente igual á anterior, pero apetecíame introducir un este termo practicamente desaparecido da linguaxe matemática: arcocotanxente. Veremos que non é a derradeira vez que o utilice pois a iso estará adicada a seguinte entrada deste blogue.
Recollo outra vez a atractiva fórmula do apartado anterior
E escríboa en función de arcocotanxentes para obter unha nova e non menos atractiva fórmula:
Pero resulta que , e , o que significa que , que era o que queriamos demostrar.
Ningún comentario:
Publicar un comentario