A demostración topolóxica da existencia de infinitos primos

Hai un momento especialmente dramático na vida dun estudante. Sucede cando está ás portas de acceder á universidade e ten que escoller a carreira que quer facer. Cando tivera que pasar eu por ese trance non había departamentos de orientación nos institutos e tampouco había internet. O único ao meu alcance era un libriño coas titulacións da Universidade de Santiago, a única que había daquela, que como información exclusiva tiña os nomes das materias que se impartían no primeiro curso. Para a licenciatura de matemáticas eran as seguintes:

• Física
• Álxebra I 
• Análise Matemáica I
• Topoloxía I

Das tres primeiras tiña certa idea de que trataban, pero a cuarta, Topoloxía, era un completo misterio. Pronto se convertería na miña materia favorita. Que é a topoloxía? Non é fácil de explicar.

Da Galipedia

Normalmente recúrrese ao exemplo da cunca e a rosquilla, dúas superficies que o topólogo ve equivalentes porque se poden transformar unha na outra mediante unha deformación contínua. Velaí que a topoloxía estuda a propiedades relacionadas coa continuidade. A equivalencia en topoloxía establécese mediante homemorfismos, funcións continuas, bixectivas e con inversa tamén contínua. Tamén se di que a topoloxía é a ciencia da plastilina ou das bandas de goma.

Para crear un marco de referencia podemos botar man doutro tipo de xeometría que se estuda na secundaria, a das figuras semellantes. Diremos que dúas figuras son semellantes se teñen a mesma forma aínda que os seus tamaños sexan distintos. Aquí normalmente recorremos a exemplos de mapas a distintas escalas, fotos ou fotocopias ampliadas ou reducidas, planos,...Debemos confrontar esta xeometría con outra máis estrita na que se define a congruencia entre figuras xeométricas cando teñen exactamente as mesas medidas. 

Polo pouco comentado ata aquí ben se enxerga que a álxebra, a ciencia que acubilla os polinomios, aparenta estar moi afastada da topoloxía, a ciencia que trata con obxectos de goma deformables. A álxebra aséntase directamente sobre a aritmética. Un dos principais obxectos de estudo desta última son os números primos. Por iso non deixa de ser sorprendente que poidamos realizar unha demostración da existencia dunha candidade infinita dos mesmos mediante o uso da topoloxía. Quizais aínda máis sorprendente sexa que o autor desta fazaña fose un estudante de 20 anos, Hillel Fustenberg (1935-). En entradas anteriores xa abordamos demostracións deste resultado (Grazas Poniachik! coa demostración euclidiana, e A serie harmónica e a das inversas dos primos cunha proba referenciada no 1979), intentaremos ofrecer tamén a de Fustenberg, pero antes unha digresión máis ou menos longa para garantir as bases da anunciada proba.

Topoloxías e espazos topolóxicos

Imos facer unha pequena paréntese para relatar uns poucos aspectos dalgúns principios de topoloxía. Podémonos achegar á idea do concepto "topoloxía" estudando os conxuntos básicos euclidianos, as bólas abertas. Na recta son os intervalos abertos:

$B_{1}\left ( x,r \right )=\left ( x-r,x+r \right )=\left \{ y\epsilon \mathbb{R}/d(x,y)< r \right \}onde\; d \;  representa \; a \;distancia$

A representación gráfica dun intervalo aberto indícase con puntos ocos no interior ou con parénteseses: (a,b).  A característica máis destacable dos intervalos abertos (a,b) é que, dado calquera punto do intervalo, como c, haberá un intervalo aberto en (a,b) que conteña a c.

As bólas abertas no plano son círculos sen a circunferencia que a bordea:

$B_{2}(x,r)=\left \{ y\epsilon \mathbb{R}^{2} / d\left ( x,y \right )< r\right\}$

As bólas abertas do plano verifican a mesma curiosa propiedade: dado un punto C da bóla de centro A e raio r, B(A,r), sempre poderemos atopar outra bóla centrada en C e contida na anterior. Moitas veces esta propiedade noméase como a veciñanza dun punto.

Estas e outras ideas serían xeneralizadas co concepto de "topoloxía". Unha topoloxía non é outra cousa que a colección de todos os conxuntos abertos dun conxunto. As bólas abertas dan lugar á topoloxía usual. A formulación moderna do significado de topoloxía é do ano 1917 e débese a Hausdorff (1868-1942). Segundo esta unha topoloxía τ nun conxunto X é unha colección de subconxuntos de X que chamaremos conxuntos abertos verificando que:

1. X pertence a  τ 
2. Φ, o conxunto baleiro, pertence a τ 
3. A unión arbitraria de elementos de τ tamén están en τ :$U_{\lambda }\,\epsilon \,\tau , con\; \lambda\,\epsilon \,\Lambda \; \Rightarrow  \bigcup_{\lambda\epsilon \Lambda}U_{\lambda }\,\epsilon \,\tau$
4. Se U e V pertencen a τ , $U\cap V$ tamén pertence a τ 

Diremos entón que o conxunto X coa topoloxía τ  é un espazo topolóxico.

Xa vimos que os conxuntos abertos son os elementos da topoloxía. Diremos que un conxunto é pechado se o seu complementario é aberto. Inmediatamente derívanse algunhas propiedades dos conxuntos pechados como a de que a unión finita de pechados dá un pechado ou a de que a intersección arbitraria de pechados é pechada.

Ademais da topoloxía usual dada polas bólas abertas, podemos dar outros exemplos de topoloxías como a topoloxía discreta, na que todo subconxunto de X é aberto ou a topoloxía trivial $\tau =\left \{ \varnothing ,X \right \}$ , formada únicamente polo baleiro e o propio conxunto X.

A topoloxía de Kolmogoroff para $\mathbb{R}$ vén dada polos intervalos $\left ( a,+\infty  \right )$ xunto con $\varnothing\,e\,\mathbb{R}$

Moitas veces non é doado dar unha descrición directa dos conxuntos abertos dunha topoloxía polo que se recorre ao concepto de base dunha topoloxía. β, un subconxunto de τ é base dunha topoloxía se  $dado\,U\,\epsilon \,\tau, x\,\epsilon \,U, \,existe\,un\, B\,\epsilon\, \beta\, tal\,que \, x\,\epsilon\,B\,\subset \,U$

Con este recurso podemos caracterizar unha topoloxía. Recollo os seguintes resultados do libro de Xosé M. Masa Vázquez, Topoloxía Xeral (USC, 1999) que non son nada difíciles de demostrar.

Proposición. Sexa β base dunha topoloxía en X. As seguintes condicións son equivalentes:

1. $U\subset X $ é aberto

2. Para cada punto x de U existe un aberto básico B tal que $x\,\epsilon\, B\subset U$

3. O conxunto U escríbese como unión de abertos básicos

Teorema. Dado un conxunto X e unha familia de subconxuntos β, β é base dalgunha topoloxía en X se e soamente se cumpren as dúas condicións seguintes:

1. $\bigcup _{B\epsilon \,\beta}B=X$

2. se $x \,\epsilon \,B_{1}\cap B_{2} $, sendo B₁ e B₂ elementos de β existe un $B_{3}\,\epsilon\, \beta $ con $x\,\epsilon B_{3}\subset B_{1}\cap B_{2}$

Facendo uso deste último teorema podemos comprobar que a seguinte colección de subconxuntos é unha base dunha topoloxía para $\mathbb{R}$, que dá lugar á chamada recta de Sorgenfrey:

$$\beta _{S}=\left \{ [x,y)\,/ x< y,\,\, x, y\,\epsilon\,\mathbb{R}\right \}$$

Para quen teña interese no tema, comentaremos que este último resultado xunto coa idea de veciñanza lévanos ao concepto de filtro, introducido por primeira vez por Frigyes Riesz (1889-1956) no ano 1908. Vén sendo unha colección $\mathfrak{F}$ de conxuntos non baleiros verificando:

1. $F_{1}\, \, \epsilon \,\mathfrak{F}\, eF_{2}\,  \epsilon\, \mathfrak{F}\Rightarrow F_{1}\cap F_{2}\epsilon \,\mathfrak{F}\\$
2. $se\, G\subset X e\ existe\ F\epsilon \mathfrak{F}\,tal\, que F\subset G \Rightarrow G\,\epsilon \,\mathfrak{F}$

Pero isto é outra historia.

Demostración topolóxica da existencia de infinitos primos

Recollín a demostración topolóxica da existencia de infinitos primos do blogue de Dan Ma. Comecemos recordando en que consiste unha sucesión aritmética de primeiro termo a e de diferenza d. Será a sucesión de números:

a,   a+d,   a+2d,   a+3d,   a+4d,   a+5d, ...

Aínda que en xeral os valores de a e d poden ser calquera, nós restinxirémonos aos números enteiros para a e aos naturais para d.

Adopetemos agora a seguinte extensión. No canto de considerar só os múltiplos positivos de d, collamos tamén os negativos:

...,   a-3d,   a-2d,   a-d,   a,   a+d,   a+2d,   a+3d,   ...

Denotemos este conxunto de números enteiros como $S\left ( a,d \right )=\left \{ a+nd /n \,\epsilon\,\mathbb{Z} \right \}$

S(a,d) ten a peculiaridade de que se pode deifinir tomando no canto de a calquera representante da sucesión aritmética extendida xa que do que se trata é de que, unha vez que escollemos un enteiro, coller tamén a saltos de distancia d todos os demais elementos, tanto cara a esquerda como cara a dereita. Isto é, se $S\left ( a,d \right )=\left \{ a+nd /n \,\epsilon\,\mathbb{Z} \right \}$

Veremos agora que a colección de todas as posibles sucesións aritméticas extendidas forman unha base topolóxica.

$$S(0,1)=\mathbb{Z} \Longrightarrow \bigcup _{a,d\epsilon\mathbb{Z}}S(a,d)=\mathbb{Z}$$

$$x\,\epsilon\, S(a,d)\cap S(a',b') \Longrightarrow x\,\epsilon\,S(x,d)\cap S(x,d') \Longrightarrow x\,\epsilon\,S(x,dd')\subset S(x,d)\cap S(x,d')$$

Ademais todo aberto non baleiro ten cardinal infinito xa que conterá un aberto básico S(a,d).

Outra característica desta topoloxía consiste en que os abertos básicos S(a,d) son tamén pechados:

$$x\,\epsilon\, S(a,d) \Longrightarrow x\not\equiv a (mod\,d)\Longrightarrow x\,\epsilon S(x,d)\subset X-S(a,d)$$

Como todos os enteiros teñen un divisor primo, agás o 1 e o -1 

$$\bigcup _{p\,primo}S(0,p)=\mathbb{Z}-\left \{ -1,1 \right \}\quad [1]$$

Pasemos a rematar a demostración da existencia dunha infinidade de primos. Farémolo por redución ao absurdo. Efectivamente, se houbese unha cantidade finita de primos, [1] sería unha unión finita de pechados polo que sería tamén un conxunto pechado, entón {-1,1} sería aberto. Pero sabemos que calquera aberto non baleiro debe ter infinitos elementos. Chegamos á contradición desexada $\square$.