A serie harmónica e a dos inversos dos primos

 $$\sum_{n=1}^{\infty }\frac{1}{n}=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\frac{1}{5}+...$$

Velaquí a serie harmónica. Unha das primeiras demostracións sedutoras que aprendías ao chegar á facultade era a de que esta serie é diverxente, isto é, que a súa suma é infinita. Máis precisamente, que unha serie diverxa significa que a sucesión de sumas parciais S_n ten límite infinito. S_n consiste na suma dos n primeiros termos da serie.

A demostración da diverxencia da serie harmónica atribúselle a Nicolás de Oresme (1323-1382). Consiste en mostrar que é maior que outra serie da que é evidente que tamén é diverxente:

Lema 1. A serie harmónica é diverxente

$$\sum_{n=1}^{\infty }\frac{1}{n}=1+\frac{1}{2}+\left ( \frac{1}{3} +\frac{1}{4}\right )+\left (  \frac{1}{5}+\frac{1}{6}+\frac{1}{7}+\frac{1}{8}\right )+...>$$ $$>1+\frac{1}{2}+\left ( \frac{1}{4} +\frac{1}{4}\right )+\left (  \frac{1}{8}+\frac{1}{8}+\frac{1}{8}+\frac{1}{8}\right )+...=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{2}+\frac{1}{2}+...\quad\quad\square$$

Este é o único lema do ensino universitario que precisamos utilizar para a demostración que imos dar da existencia de infinitos números primos. Hai varias demostracións deste resultado; referencial é a de Euclides, que xa apareceu noutra entrada deste blogue. Outra moi celebrada é a dada por  Leonhard Euler (1707-1783) en 1737, que se fundamenta nunha idea que tamén usaremos aquí consistente en demostrar que a suma dos inversos dos primos é infinita. Fica claro que se isto é certo ten que haber infinitos números primos. Pode consultarse en "EL LIBRO de las demostraciones" de M. Aigner e G. Ziegler (Nivloa 2005) 

Quixen traer  por aquí unha nova demostración que recollín do recomendable libro "Demostraciones con encanto" (SM-RSME 2020) de Claudi Alsina e Roger B. Nelsen (ou o seu orxinal en inglés, "The charming proofs")

As progresións xeométricas trátanse en 3º da ESO. Imos considerar só o caso de números positivos. Cada termo obtense do anterior multiplicando por un valor constante r chamado razón. Neste curso debe traballarse algunha fórmula semellante á referida no lema 2

$$\mathbf{Lema2 \: (suma\:  dunha\: progresión\: xeométrica)}\:\sum_{k=0}^{n}r^{k}=\frac{1-r^{n+1}}{1-r}\quad\quad\quad $$

Cando a razón é menor que 1 os termos desta progresión decrecen moi rapidamente. Tomando límite cando n⟶∞ obtemos a suma da serie xeométrica

$$\mathbf{Lema3 \: (suma\:  da\: serie\: xeométrica)}\:Se\: r<1:\sum_{k=0}^{\infty }r^{k}=\frac{1}{1-r}\quad\quad\quad \quad\quad\quad $$

Os logaritmos comezan a estudarse en 4º da ESO. A propiedade máis importante que verifican dinos que converten os produtos en sumas. Un caso de especial relevancia so os logaritmos neperianos. A notación desta función é ln.

$$\mathbf{Lema\:4.}\:ln\left ( A  \cdot B \right )=lnA  +lnB\quad\quad\quad \quad\quad\quad \quad\quad\quad\quad\quad\quad \quad\quad\quad \quad\quad\quad $$

Por fin enunciamos o teorema que nos interesa:

$$\mathbf{Teorema}\: \sum_{p\thinspace primo}^{}\frac{1}{p} \:diverxe \quad\quad\quad \quad\quad\quad \quad\quad\quad \quad\quad\quad \quad\quad\quad \quad\quad\quad \quad\quad\quad $$

Sexa n≥2 un número calquera. Consideremos o conxunto de primos p≤ n. Curiosamente a demostración non comeza cunha suma, senón cun produto.

$$\prod_{p\leqslant n}\frac{p}{p-1}=\prod_{p\leqslant n}\frac{1}{1-\frac{1}{p}}=\prod_{p\leqslant n}\left ( 1+\frac{1}{p}+\frac{1}{p^{2}} +...\right )=\prod_{p\leqslant n}\left ( \sum_{k=0}^{\infty }\frac{1}{p^{k}} \right )>\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k}$$

Quizais a última desigualdade precise algo de aclaración. Todo natural k ≤ n ten unha descomposición única mediante factores primos p que evidentemente serán menores que n. Todos os inversos 1/k pódense obter como algún produto dos elementos da esquerda da desigualdade. Ademais destes inversos 1/k deben obterse moitos máis valores.

O logaritmo neperiano é unha función crecente polo que conserva as desigualdades. Tomando logaritmos na desigualdade anterior:

$$ln\prod_{p\leqslant n}\frac{p}{p-1}=\sum_{p\leqslant n}\left ( ln\,p-ln\left ( p-1 \right ) \right ) >ln\left ( \sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k} \right )\quad [1]$$

Como sabemos que o logaritmo neperiano é a primitiva da función racional 1/x: 

$$\sum_{p\leqslant n}\left ( ln\,p-ln\left ( p-1 \right ) \right ) =\sum_{p\leqslant n}\int_{p-1}^{p}\frac{1}{x}dx<\sum_{p\leqslant n}\frac{1}{p-1}\leqslant \sum_{p\leqslant n}\frac{2}{p}\quad [2]$$

Combinando [1] e [2] temos

$$\sum_{p\leqslant n}\frac{1}{p}>\frac{1}{2}ln\left ( \sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k} \right )\quad $$

Como a serie harmónica diverxe, a suma do membro da dereita desta desigualdade non está limitada cando n⟶∞, polo tanto o seu logaritmo neperiano tampouco o estará. En consecuencia a serie dos inversos dos números primos tamén será diverxente. ☐

Podería pensarse que para esta viaxe non se precisaban alforxas. Tendo a elemental demostración euclidiana, hai algunha razón para remexer en todas estas cuestións máis complexas? Pois si, haina. Agora sabemos que a serie dos inversos dos primos ten suma infinita. Isto, ademais da cardinalidade danos unha idea da densidade dos primos no conxunto dos números naturais, o Santo Grial da aritmética.  Estamos en disposición de afirmar que aínda que se rarifican segundo imos considerando naturais máis grandes, hai suficientes primos como para que a suma dos seus inversos non estea limitada. 

Teñamos presente que a serie dos inversos dos cadrados converxe. Determinar ese valor foi denominado problema de Basilea pois foi resolto (como non!) por Euler, que era natural desa cidade. A súa solución é unha das máis fermosas perlas das matemáticas, non só polo sorprendente resultado coa intervención do número π, senón tamén pola forma en que foi deducido. Euler parte do desenvolvemento en serie de Taylor do seno:

$$sen(x)=x-\frac{x^{3}}{3!}+\frac{x^{5}}{5!}-\frac{x^{7}}{7!}+...$$

Despois divide por x, obtendo 

$$\frac{senx}{x}=1-\frac{x^{2}}{3!}+\frac{x^{4}}{5!}-\frac{x^{6}}{7!}+...\quad\quad [3]$$

As raíces desta función son da forma ±kπ. Velaí que podemos descompoñer a expresión en produto de factores atendendo a todas estas raíces:

$$\frac{senx}{x}=\left ( 1-\frac{x }{\pi} \right )\left ( 1+\frac{x }{\pi} \right )\left (1-\frac{x }{2\pi}  \right )\left (1+\frac{x }{2\pi}  \right )\left (1-\frac{x }{3\pi}  \right )\left (1+\frac{x }{3\pi}  \right )...=$$ $$=\left ( 1-\frac{x^{2}}{\pi ^{2}} \right )\left ( 1-\frac{x^{2}}{ 4\pi ^{2}} \right )\left ( 1-\frac{x^{2}}{9\pi ^{2}} \right )...$$

Ao realizar este produto escollendo únicamente os coeficientes cadráticos obtemos a expresión:

$$-\left ( \frac{1}{ \pi ^{2}} +\frac{1}{4\pi^{2}}+\frac{1}{9\pi^{2}}+...\right )=-\frac{1}{\pi^{2}} \sum_{1}^{\infty }\frac{1}{n^{2}}$$

Igualando isto co coeficiente cadrático de [3]:

$$-\frac{1}{6}=-\frac{1}{\pi^{2}} \sum_{1}^{\infty }\frac{1}{n^{2}}$$

Obtemos a desexada suma:

$$\sum_{k=1}^{\infty }\frac{1}{k^{2}}=\frac{\pi ^{2}}{6}$$

Agora ben, que esta serie teña suma poderíanos facer sospeitar que entre dous cadrados teña que haber polo menos un primo. Sorprendentemente este resultado aínda non está demostrado, nin refutado. Coñécese como a conxectura de Legendre.