Retallos do 2024

Durante o amp 2024 neste blogue publicáronse 23 entradas, unha mágoa non dar redondeado esta cifra ata as 24, o que nos daría un ritmo de dúas por mes (escribir esta frase, nun blogue de matemáticas avergoña un pouco). Houbo un total de 14.500 visitas.

Aínda que moitas veces escribo entradas soltas, que non teñen nada que ver coas anteriores ou coas posteriores, non é infrecuente que siga o fío dun tema nunha serie de publicacións. O ano pasado houbo unha restra de entradas que tiñan como obxectivo final dar conta dunha xeometría, que a pesar de ser euclidiana, ten unha fasquía non estándar. Desde o meu punto de vista esta xeometría debería ser máis coñecida. Considero que tería ser parte da formación de calquera estudante de Matemáticas. Velaquí o listado que remata cun bonus, a contextualización histórica da protagonista de moitas desas entradas, Marta Svéd, dentro do "Círculo Anónimo" de Budapest. Veredes que as primeiras son unha introdución á xeometría inversiva, necesarias para o seu uso nas últimas.

• A inversión proxectada
• A proxección estereográfica reencontrada
• Un regalo da xeometría inversiva
• A curiosa xeometría euclidiana de Marta Svéd. Introdución (1)
• A curiosa xeometría euclidiana de Marta Svéd. O desprazamento (2)
• A curiosa xeometría euclidiana de Marta Svéd. O V postulado e máis alá (e 3)
• O Círculo Anónimo

Coas liñas anteriores xa cubrimos case a terceira parte do publicado o ano pasado. 

En relación coa anterior lista está a última referencia da seguinte lista que está formada por aquelas entradas que non escribín eu, senón Andrés Ventas, e que, por certo, son das que máis visitas tiveron durante todo o ano. O comentario vén a conto de que tanto Svéd como Vázsonyi formaron parte do Círculo Anónimo.

• Son estraños os impares?
• Fraccións continuas teito e as montañas de Galicia
• Acurtar o cálculo do inverso multiplicativo modular
• O teorema de Svéd-Vázsonyi

O seguinte listado está adicado a Kordemsky, divulgador ruso do que ata este momento non tiña noticia (así compróbase a falta de cultura matemática do mantedor deste blogue)

• Paridade e equilibrio
• Problemas chegados desde Moscú.1
• Problemas chegados desde Moscú.2
• Problemas chegados desde Moscú.3

Remato os listados coas entradas adicadas a cuestións da aula. Por algún sitio se tería que ver que un ao que se adica é a impartir clase de matemáticas, non?

• Erros na aula de matemáticas
• O horror lingüístico nos exames da selectividade
• Unha querencia particular e unha querencia compartida
• Os conceptos na aula de matemáticas

Xa van  alá case todas as entradas do ano pasado e aínda non fixen referencia a un par delas que teñen o mérito der seren das máis visitadas. Unha delas é Explícoche matemáticas 2024, na que se dá conta dos vídeos premiados por ese magnífico concurso argallado desde a Facultade de Matemáticas da USC (nunca me cansarei de darlles os parabéns). A outra das entradas ás que facía referencia é a adicada á recompilación de información sobre Xosé Rodríguez González, o matemático de Bermés que foi o científico do ano 2024, nomeamento que lle outorgou a RACG.

Despois de toda esta panoplia, aínda hai un artigo sen citar. Non é, nin de lonxe dos máis visitados pero é un dos que máis me gustou escribir porque nel trátase un tópico desde un punto de vista que me sorprendeu. Constrúese unha colección de intervalos abertos que cabería esperar que recubirse sobradamente o intervalo $(0,1)$ pois todos e cada un dos números racionais é centro dun deses intervalos. Incluso se ve que a suma das lonxitudes dos intervalos é infinita. A pesar de todo hai un número $\frac{\sqrt{2}}{2}$ que fica fóra do recubrimento. Este fermoso exemplo dá conta da enrevesada forma en que están distribuídos racionais e irracionais dobre a recta, de aí o seu título, Asuntos irracionais.

O portal Retallos

Da páxina web Retallos non teño datos de tráfico. O que é certo é que fixen moitas actualizacións durante todo o ano. 

2025 e o número áureo

Cando hai cambio de ano, entre os interesados polas matemáticas, xurde toda unha panoplia de relacións numéricas que teñen como protagonista o número co que identificamos o novo ano. O usual é que a maior parte das veces sexan moi forzadas. Curiosamente nesta ocasión o 2025 é un número moi xeneroso. Resulta ser un cadrado perfecto: $45^{2}=2025$. Ademais 45 é a suma dos 9 primeiros números naturais. De aí que se verifique a seguinte relación:

$$2025=45^{2}=(1+2+3+4+5+6+7+8+9)^{2}=1^{3}+2^{3}+3^{3}+4^{3}+5^{3}+6^{3}+7^{3}+8^{3}+9^{3}$$

Esta igualdade non é máis que un caso particular desta outra que me trae moi bos recordos porque a a vira por vez primeira no libro How to solve it do matemático de orixe húngara George Pólya (1887-1985). Estoume referindo á seguinte relación:

$$(1+2+3+...+n)^{2}=1^{3}+2^{3}+3^{3}+...+n^{3}$$

Hai moitas outras formas de escribir o número 2025, pero por norma xeral non teñen a prestancia desta que acabamos de comentar; ou iso era o que pensaba eu o ano pasado.

Os costumes sociais dictan que a noite vella un debe facer o sacrificio de non deitarse ata horas moi tardías. Ese era o caso, pasaran horas no ano novo, xa puxera o pixamam e estaba máis que disposto a, por fin, deitarme. Para fortuna miña, tiven a idea de botarlle un ollo a esa plataforma en devalo, agora chamada X e antes Twitter. Alí un astrofísico que se identifica como Andrezj Odrzywolek ofrecía esta fermosa fórmula

$$2025=\left ( \phi ^{4}-\frac{1}{\phi ^{4}} \right )^{4}$$

A pesar de estar moi avanzada a noite non puiden resistir a tentación de comprobar a igualdade. Para iso bastaría ver que $\phi^{4}-\frac{1}{\phi^{4}}=\sqrt[4]{2025}=\sqrt[4]{45^{2}}=\sqrt{45}=3\sqrt{5}$

Chegaranos con lembrar algunhas das igualdades máis básicas do número áureo que iremos utilizando no transcurso da verificación : $$\phi=\frac{1+\sqrt{5}}{2}  \quad ,\quad  \phi^{2}=\phi+1\quad e\quad \frac{1}{\phi}=\phi-1$$

Sen máis voltas, imos ao choio:

$$\phi^{4}-\frac{1}{\phi^{4}}=\left( \phi^{2}+\frac{1}{\phi^{2}} \right)\left(\phi^{2}-\frac{1}{\phi^{2}}  \right)=\left( \phi+1-\frac{1}{\phi+1} \right)\left( \frac{\phi^{4}-1}{\phi^{2}} \right)=$$ $$=\left[ \frac{\left( \phi+1 \right)^{2}+1}{\phi+1} \right]\frac{\left( \phi^{2} +1\right)\left( \phi^{2}-1 \right)}{\phi^{2}}=\frac{\phi^{2}+2\phi+2}{\phi+1}\cdot\frac{\left( \phi+1+1 \right)\left( \phi+1-1 \right)}{\phi^{2}}=$$ $$=\frac{\phi+1+2\phi+2}{\phi+1}\cdot\frac{\left( \phi +2\right)\phi}{\phi^{2}}==\frac{3\phi+3}{\phi+1}\cdot\frac{\phi+2}{\phi}=\frac{3\left( \phi+1 \right)}{\phi+1}\cdot\left( 1+\frac{2}{\phi} \right)=$$ $$=3\left[ 1+2\left( \phi-1 \right) \right]=3\left( 1+2\phi-2 \right)=3\left( 2\phi-1 \right)=3\left( 2\cdot\frac{\sqrt{5}+1}{2}-1 \right)=3\sqrt{5}$$

Chegados a este punto, fun deitarme. Non acho mellor forma de comezar o ano $\left ( \phi ^{4}-\frac{1}{\phi ^{4}} \right )^{4}$