A curiosa xeometría euclidiana de Márta Svéd. O desprazamento (2)

Márta Svéd

Esta entrada é a continuación da anterior: A curiosa xeometría de Márta Svéd.Introdución (1) Para poder entender o que vén de seguido cómpre botarlle un ollo.

Do que se trata é de comprobar que a W-xeometría descrita nesa entrada, é unha xeometría euclidiana. Para iso estamos comprobando que verifica os postulados de Euclides. Xa o fixeramos cos tres primeiros. Continuemos.

IV postulado

A miña primeira intención foi a de despachar este postulado nun par de frases. Lembremos que xa demostramos que a inversión conserva os ángulos.  Parece que non hai máis que engadir. Pero parémonos a reflexionar.

O IV postulado di que "todos os ángulos rectos son iguais entre si". Tendo en conta que entre as nocións comúns dos Elementos de Euclides temos unha que di que "cousas iguais a unha mesma cousa son iguais entre si", que necesidade habería de engadir o IV postulado? Ademais os tres primeiros postulados remiten a unha construción con regra e compás, porén o IV non o fai. Tense especulado que pode ser unha interpolación engadida por algún copista baixo o argumento de que a igualdade de dous ángulos rectos apenas se usa nas 465 proposicións dos trece libros dos Elementos, e cando se fai, non é de xeito explícito. 

As lecturas modernas deste postulado, debidas a Klein e a Clifford,  remiten a unha interpretación do IV postulado como aquel que permitiría o desprazamento dun ángulo recto a calquera punto do plano. Na W-xeometría un W-desprazamento estará formado por W-reflexións, isto é, por inversións. Teñamos presente que estamos construíndo unha xeometría euclidiana. De aí que os desprazamentos (translacións, xiros ou reflexións) deben poder obterse a partir das reflexións. Isto é, se explicamos como son as reflexións, teremos determinados todos os desprazamentos. Pois ben, as W-reflexións serán as inversións respecto das W-rectas (isto é: respecto das circunferencias que pasan por O) 

A cuestión do desprazamento

Nunca na Grecia clásica houbo mención á problemática do desprazamento, con todo procuraremos ver que na W-xeometría non se produce unha distorsión das W-distancias cando se aplica a inversión. Para iso axudarémonos dun libro ao que fai referencia Márta Svéd, Non-euclidean Geometry, de Roberto Bonola (1874-1911), (Open Court Publishing Company, 1912).

Hai unha publicación do libro de Bonola en español, Geometrías no euclidianas (Calpe, 1923) que é a tradución da edición en italiano do 1906. Estas edicións só conteñen 3 apéndices. Desafortunadamente o que nos interesa vén no quinto apéndice, só presente na edición inglesa, pois é nese derradeiro apéndice onde Bonola traballa coa xeometría recollida por Márta Svéd.

Comprobemos que na W-xeometría se verifica o seguinte teorema

Teorema. A inversión por unha W-recta conserva a W-distancia

Pasemos a demostralo.
Sexa $AB$ un W-segmento e $\omega$ a circunferencia de centro $C$ que pasa por $O$ e $D$. Fagamos respecto desta circunferencia a inversión do W-segmento $AB$ en $A^{\prime }{B}^{\prime }$ Sexa $D$ o punto de corte de $\omega$ e a circunferencia que pasa por $A$, $B$ e $O$.

$$\frac{d_W\left(AD\right)}{d_W\left(A^{\prime }D\right)}=\frac{\frac{AD}{OA\cdot OD}}{\frac{A^{\prime }D}{O{A}^{\prime }\cdot OD}}=\frac{AD\cdot O{A}^{\prime }}{A^{\prime }D\cdot OA}$$

O noso propósito será demostrar que este cociente é 1.

Pola definición de inversión: $$CA\cdot C{A}^{\prime }=CD\cdot CD$$

$$\frac{CA}{CD}=\frac{CD}{C{A}^{\prime }}$$

Entón, polo criterio LAL os triángulos $CAD$  e $C{A}^{\prime }D$ son semellantes (comparten o ángulo en $C$ e os lados que o determinan son proporcionais). De aí que teñamos as seguintes proporcións:$$\frac{DA}{D{A}^{\prime }}=\frac{CA}{CD}=\frac{CD}{C{A}^{\prime }}[1]$$

Outra vez pola definición de inversión: $$CA\cdot C{A}^{\prime }=CO\cdot CO$$

Análogamente teremos que os triángulos $CAO$ e $C{A}^{\prime }O$ son semellantes e $$\frac{CA}{CO}=\frac{CO}{C{A}^{\prime }}=\frac{OA}{O{A}^{\prime }}[2]$$

Como $CD=CO$ temos que $[1]=[2]$

"$$\frac{DA}{D{A}^{\prime }}=\frac{CA}{CD}=\frac{CD}{C{A}^{\prime }}=\frac{CA}{CO}=\frac{CO}{C{A}^{\prime }}=\frac{OA}{O{A}^{\prime }}$$

Fixándonos na primeira e última proporcións $\frac{DA}{D{A}^{\prime }}=\frac{OA}{O{A}^{\prime }}$

Tal e como anunciamos ao comezo da demostración, isto implica que $d_W\left(AD\right)=d_W\left(A^{\prime }D\right)$

Analogamente $d_W\left(BD\right)=d_W\left(B^{\prime }D\right)$

Daquela $$d_w\left(AB\right)=d_W\left(AD\right)-d_W\left(BD\right)=d_W\left(A^{\prime }D\right)-d_W\left(B^{\prime }D\right)=d_W\left(A^{\prime }{B}^{\prime }\right)$$

$$\frac{d_W\left(AD\right)}{d_W\left(A^{\prime }D\right)}=\frac{\frac{AD}{OA\cdot OD}}{\frac{A^{\prime }D}{O{A}^{\prime }\cdot OD}}=\frac{AD\cdot O{A}^{\prime }}{A^{\prime }D\cdot OA}$$

Con isto quedaría demostrado o teorema. En conclusión, o desprazamento na W-xeometría conserva tanto ángulos como distancias.

No seguinte e derradeiro capítulo desta serie, abordaremos o comportamento da W-xeometría en relación co V postulado de Euclides.