A curiosa xeometría de Márta Svéd. O V postulado e máis alá (e 3)

Este é o terceiro e derradeiro capítulo da serie adicada a unha xeometría que a matemática húngara Márta Svéd presenta nun dos capítulos do seu libro Journey into Geometries (AMS/MAA, 1991). Os dous capítulos anteriores:

• A curiosa xeometría euclidiana de Márta Svéd. Introdución (1)
• A curiosa xeometría euclidiana de Márta Svéd. O IV postulado (2)

O V postulado

Sexa $\alpha$ unha circunferencia pasando por $O$ e $P$ un punto que non estea en $\alpha$. Consideremos agora $t$, a recta tanxente a $\alpha$ en $O$ e a súa perpendicular $p$. Trazamos o segmento $OP$ e a súa mediatriz $m$. O punto de intersección de $m$ e $p$, ao que chamaremos $C$, é o centro da circunferencia $\omega$ que pasa por $P$ e é tanxente a $\alpha$ en $O$. Traducido á linguaxe da W-xeometría, $\omega$ é a única W-recta paralela a $\alpha$ que pasa por un punto $P\notin \alpha$.

No caso de que $P \in t$ a propia recta $t$ sería a W-recta paralela a $\alpha$ pasando por $P$

Cando se trata de trazar W-paralelas Márta Svéd advírtenos dunha aparente inconsistencia. Se fixemos ben as cousas a relación "ser W-paralela a" debería ser unha relación de equivalencia entre W-rectas. Porén se nos fixamos na seguinte figura veremos que non se verifica a propiedade transitiva.

U-la a falacia?

Efectivamente, $a$ é paralela a $b$ (ten en conta que non se cortan en $O$ pois este punto non existe na $W$ xeometría) e $a$ e $\alpha$ son tamén paralelas. Pero é obvio que $b$ e $\alpha$ se cortan. Onde está a falacia neste argumento?

Máis alá

Nas anteriores liñas fixemos o exercicio de irmos comprobando os cinco postulados clásicos euclidianos pero podemos, e debemos, ir máis alá. Digo que debemos porque é ben sabido que Euclides non pasaría os estándares actuais para o estalbecemento dunha teoría axiomática. Non temos que remitirnos á revisión feita por Hilbert pois temos noticia que desde a época clásica houbo críticas aos Elementos. O V postulado explica cando se cortan dúas rectas, pero non temos ningún que nos indique como se cortan dúas circunferencias, compriría garantir a continuidade das liñas. Polo visto na anteriormente, na epígrafe adicada ao Postulado III, o corte de W-circunferencias compórtase da mesma maneira que o de circunferencias.

Noutras entradas demostramos que a inversión conserva os ángulos. En consecuencia a W-xeometría non só nos permite trasladar ángulos rectos (postulado IV), senón que o fai con calquera tipo de ángulos. 

Nós aquí traballamos coa formulación de Playfair do V postulado: "por un punto exterior a unha recta pasa unha única paralela". Mais sabemos que este enunciado é equivalente a que a suma dos ángulos dun triángulo sexa de 180º. Márta Svéd ofrece a explicación deste caso. Tamén explica como facer un exercicio que aínda non tratamos: o trazado de perpendiculares.

Dada unha W-recta $\alpha$ e un W-punto $P$, tracemos a tanxente $t$ a $\alpha$ por $O$ e a mediatriz $m$ do segmento $OP$ que se cortarán no punto $C$ que será o centro da circunferencia $\pi$ que pasa por $P$ e por $O$. $\pi$ é perpendicular a  $\alpha$ 

trazado de W-perpendiculares

Teriamos que considera un caso especial, se $P$ estivera na recta perpendicular a $t$ esa perpendicular tamén sería perpendicular a $\alpha$. Aquíi non me molestei moito en distinguir "perpendicular" de "W-perpendicular" porque a medida de ángulos na W-xeometría coincide coa da xeometría euclidiana usual.