Páginas

luns, 6 de maio de 2024

A curiosa xeometría de Márta Svéd. O V postulado e máis alá (e 3)

Este é o terceiro e derradeiro capítulo da serie adicada a unha xeometría que a matemática húngara Márta Svéd presenta nun dos capítulos do seu libro Journey into Geometries (AMS/MAA, 1991). Os dous capítulos anteriores:

O V postulado


Sexa α unha circunferencia pasando por O e P un punto que non estea en α. Consideremos agora t, a recta tanxente a α en O e a súa perpendicular p. Trazamos o segmento OP e a súa mediatriz m. O punto de intersección de m e p, ao que chamaremos C, é o centro da circunferencia ω que pasa por P e é tanxente a α en O. Traducido á linguaxe da W-xeometría, ω é a única W-recta paralela a α que pasa por un punto Pα.

No caso de que Pt a propia recta t sería a W-recta paralela a α pasando por P

Cando se trata de trazar W-paralelas Márta Svéd advírtenos dunha aparente inconsistencia. Se fixemos ben as cousas a relación "ser W-paralela a" debería ser unha relación de equivalencia entre W-rectas. Porén se nos fixamos na seguinte figura veremos que non se verifica a propiedade transitiva.

U-la a falacia?

Efectivamente, a é paralela a b (ten en conta que non se cortan en O pois este punto non existe na W xeometría) e a e α son tamén paralelas. Pero é obvio que b e α se cortan. Onde está a falacia neste argumento?

Máis alá

Nas anteriores liñas fixemos o exercicio de irmos comprobando os cinco postulados clásicos euclidianos pero podemos, e debemos, ir máis alá. Digo que debemos porque é ben sabido que Euclides non pasaría os estándares actuais para o estalbecemento dunha teoría axiomática. Non temos que remitirnos á revisión feita por Hilbert pois temos noticia que desde a época clásica houbo críticas aos Elementos. O V postulado explica cando se cortan dúas rectas, pero non temos ningún que nos indique como se cortan dúas circunferencias, compriría garantir a continuidade das liñas. Polo visto na anteriormente, na epígrafe adicada ao Postulado III, o corte de W-circunferencias compórtase da mesma maneira que o de circunferencias.

Noutras entradas demostramos que a inversión conserva os ángulos. En consecuencia a W-xeometría non só nos permite trasladar ángulos rectos (postulado IV), senón que o fai con calquera tipo de ángulos. 

Nós aquí traballamos coa formulación de Playfair do V postulado: "por un punto exterior a unha recta pasa unha única paralela". Mais sabemos que este enunciado é equivalente a que a suma dos ángulos dun triángulo sexa de 180º. Márta Svéd ofrece a explicación deste caso. Tamén explica como facer un exercicio que aínda non tratamos: o trazado de perpendiculares.

Dada unha W-recta α e un W-punto P, tracemos a tanxente t a α por O e a mediatriz m do segmento OP que se cortarán no punto C que será o centro da circunferencia π que pasa por P e por O. π é perpendicular a  α 

trazado de W-perpendiculares
Teriamos que considera un caso especial, se P estivera na recta perpendicular a t esa perpendicular tamén sería perpendicular a α. Aquíi non me molestei moito en distinguir "perpendicular" de "W-perpendicular" porque a medida de ángulos na W-xeometría coincide coa da xeometría euclidiana usual.

Ningún comentario:

Publicar un comentario