por Andrés Ventas
Os impares son diferentes
(1). Todo comezou estudando a función zeta de Riemann
$\zeta(s)=\sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{1}{n^{s}}=1+\dfrac{1}{2^s}+\dfrac{1}{3^s}+\dfrac{1}{4^s}+\cdots$. Serie dos reciprocos das potencias dos números naturais.
Resulta que Euler fixo un cálculo estupendo para resolver o valor de $\zeta(2)$, que é coñecido como o problema de Basilea (Basel Problem), no pdf Numerous Proofs of $\zeta(2)$ , móstranse numerosas probas desta igualdade, e actualmente son coñecidos os valores exactos dos valores pares de $\zeta(s)$, mais non os impares.
E somos capaces de elaborar numerosas maneiras para calcular $\zeta(2)$ e non somos capaces de conseguir $\zeta(3)$? Iso para min comeza a ser o principio dun misterio e unha curiosidade, algo que investigar.
R. Apéry conseguiu probar que $\zeta(3)$ é irracional A proof that Euler missed , e xa conseguiu abondo, nunha proba da que eu non consigo entender nen na metade da súa extensión.
A partir daquí comecei a tomar notas sobre outros problemas con solución coñecida para números pares e non para impares.
(2). Durante un par de anos dediqueime a resolver problemas da revista Fibonacci Quarterly, os meus favoritos eran as sumas de recíprocos. Nun artigo de Blagoj S. Popov de 1986, Summation of Reciprocal Series of Numerical Functions of Second Order aparecen os valores das sumas dos produtos por parellas de recíprocos con índices pares das series de Fibonacci e Lucas, mais non de índices impares.
Por exemplo para a sucesión de Fibonacci, $F_{n+2}=F_{n+1}+F_{n}$: $F_{n} = \{0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, \ldots \}$, temos:
$\sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{1}{F_{2n} F_{2n+2}} = \beta^2 = \dfrac{1}{\alpha^2}$, sendo $\alpha=\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}$ o número áureo.
O artigo de Popov é máis completo e dá valores para as series con polinomios de Fibonacci, Lucas e outras recurrencias de segunda orde, mais en xeral os valores conseguidos son para elementos de índices pares.
(3). O terceiro caso que me atopei foron os números perfectos. Un número perfecto é un enteiro que é igual á suma dos divisores propios. Número Perfecto , existen para certos números pares mais conxectúrase que non existen para os impares.
A000396 Enciclopedia das secuencias : $\{6, \ 28, \ 496, \ 8128, \ 33550336, \ldots \}$.
Para os pares temos ata unha fórmula explícita para os números que o cumpren, debida a Euclides nada menos, e probada por Euler, $k = 2^{(p-1)}(2^p-1)$, sendo $p$ primo e $2^p-1$ primo tamén.
En binario forman unha curiosa representación: $\{110, \ 11100, \ 1111111000000, \ldots \}$.
(4). Coberturas. Paul Erdös no 1930 introduciu o conceito de cobertura mediante un sistema completo de residuos. Trátase de obter un sistema de residuos que produzan o conxunto completo dos números enteiros.
Algo básico e evidente sería $\{0 \pmod{3}, \ 1 \pmod{2}, \ 2 \pmod{3} \}$, porque $(0+3k) \cup (1+3k) \cup (2+3k) = \mathbb{Z}$.
Temos unha conxectura sen resolver de Erdős e Selfridge de que non existe unha cobertura cuxo sistema de residuos teña todos os módulos impares. Podedes ver datos sobre este tema no documento de Michael Filaseta, Wilson Harvey Coberturas de subconxuntos dos enteiros mediante congruencias .
(5). Chegamos á álxebra e temos que un ideal é un subanel dun anel que ten que ser pechado baixo a multiplicación por calquera elemento do anel.
E resulta que nos números enteiros os pares $2\mathbb{Z}$ forman un ideal e os impares non, porque par por par ou par por impar dá un número par.
(6). E outra máis. Temos o grupo de permutacións, que son as bixeccións de elementos do conxunto $M=\{x_1,\ x_2, \ x_3, \ldots, \ x_n \}$ no propio conxunto $M$. O conxunto $S_M$ de todas as permutacións $(\sigma)$ forma un grupo baixo a función de composición e identificámolo normalmente pola cardinalidade do conxunto $M$. Por exemplo, podemos escribir unha permutación en $S_5$ como $\sigma = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ 3 & 4 & 5 & 2 & 1 \end{pmatrix}$
que se pode ler como o elemento $1$ vai ao $3$, o $2$ vai ao $4$, o $3$ vai ao $5$, etc.
Ou $\sigma(1)=3, \ \sigma(2)=4, \ \sigma(3)=5, \ \sigma(4)=2, \ \sigma(5)=1$.
Existe outra notación como ciclos da permutación que son os subconxuntos de elementos que van permutando entre sí, no exemplo visto sería $\sigma= (1 \ 3 \ 5) (2 \ 4)$ porque o $1$ vai ao $3$ o $3$ vai ao $5$ e o $5$ vai ao $1$, e o outro ciclo disxunto sería o $2$ vai ao $4$ e o $4$ vai ao $2$.
Un ciclo de lonxitude $2$ chámase transposición e toda permutación pode ser escrita como un conxunto de transposicións, seguimos co noso exemplo, o ciclo $(1 \ 3 \ 5)$ pode ser expresado como $(1 \ 5)(1 \ 3)$, visto en secuencia: $\sigma = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ 3 & & 1 & & 5 \\ 3 & 4 & 5 & 2 & 1 \end{pmatrix}$
primeiro o $1$ vai ao $3$ e o $3$ ao $1$ e sobre ese resultado o $1$ vai ao $5$ e o $5$ ao $1$, obtendo o mesmo resultado que aplicado o ciclo directamente.
Dise que unha permutación é par cando pode ser obtida como produto dun número par de transposicións e será impar cando se obteña como produto dun número impar de transposicións.
Agora, por definición, o grupo Alterno $A_n$ de $n$ símbolos é o subgrupo de $S_n$ que consiste nas permutacións pares.
E aquí chegamos, máis unha vez, ao temiña desta entrada do blogue. O grupo alterno $A_n$ de permutacións pares ten estrutura de grupo (con cardinalidade $n!/2$). O elemento identidade (a permutación que non move ningún elemento) ten paridade par, por tanto o subconxunto de permutacións impares non ten estrutura de grupo porque non contén un elemento identidade.
Todo isto do grupo simétrico está sacado das notas do profesor Bruce Ikenaga Abstract Algebra 1 .
En todo o que está aquí contado quixen referirme ao conxunto completo de números impares. Se nos referimos a conxecturas ou problemas sen resolver con números primos impares (pobre $2$) eu diría que hai infinitas $(\to \infty)$, porque os números primos son o demo.
Por exemplo, a conxectura de Erdös-Straus de que toda fracción $\dfrac{4}{n}$ pode ser escrita como a suma de tres fraccións unitarias (ou exipcias) $\dfrac{4}{n} = \dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} + \dfrac{1}{z}$, non está resolvida para certo subconxunto de números primos impares.
Unha excepción para os pares
Para os pares temos a Conxectura de Goldbach (versión forte), que nos dí que calquera número par pode escribirse como a suma de dous primos. Está sen demostrar.
A versión débil, todo número impar pode ser conseguido coa suma de tres primos, acaba de ser demostrada por Harald Helfgott, o problema ternario de Goldbach , e levou 5 aniños desde que foi presentada a demostración no 2013 ata que foi recoñecida no 2018. Un precioso documento de 317 páxinas, que reduce o valor superior estabelecido por Vinogradov. No 1937 Vinogradov demostrou que a partir de certa constante $C$ a conxectura cumpríase e posteriormente estabeleceu unha constante a partir da que se cumpría: $e^{e^{e^{41.96}}}$, mais dado que era un valor grandísimo non se podía demostrar que non fallase algún caso por debaixo dese valor, por tanto os novos traballos foron baixando ese valor ata chegar a un valor onde se puideran comprobar computacionalmente o resto de casos (os casos de valores baixos).
Bibliografia
- Michael Filaseta, Wilson Harvey Covering subsets of the integers by congruences
- Harald Andres Helfgott The ternary Goldbach problem
- Bruce Ikenaga Abstract Algebra 1
- Oeis Enciclopedia das secuencias
- Poorten A proof that Euler missed
- Blagoj S. Popov Summation of Reciprocal Series of Numerical Functions of Second Order
- B.W.Sullivan Numerous Proofs of $\zeta(2)$
- Wiki Función zeta de Riemann
- Wiki Número Perfecto
Ningún comentario:
Publicar un comentario