Percorridos entre A e B

Nada máis simple que o que podemos ver nesta imaxe, un segmento entre dous puntos A e B. Nun principio parece que tan pouca cousa non pode dar para moito. Non é así.

Comecemos polo principio. No principio foi Euclides (III a.C.). Nos seus Elementos partía de 5 postulados. Recollo os seguintes aspectos e comentarios da edición feita pola USC, con tradución de Ana Gloria Rodríguez e Celso Rodríguez. O primeiro postulado era este:

[Postúlese] 1. Trazar unha liña recta dende un punto calquera ata un punto calquera

Precisamente nesa edición coméntase que isto implica a existencia de (polo menos) dous puntos. Tamén se resalta que, nun principio, non se pode trazar unha recta arbitraria a partir dun punto. A pesar do seu evidente éxito, no transcurso dos séculos Euclides había de ser criticado en moitos aspectos. Como xa teño comentado as críticas comezaban xa co primeiro postulado que establece a existencia dunha recta entre dous puntos calquera pero non se asegura a unicidade da mesma a pesar de que Euclides tamén dou isto por certo sen postulalo previamente. Decatémonos de que aínda non se estableceu que a liña poida ser infinita. Isto último será materia do segundo postulado:

[Postúlese] 2. E prolongar en liña recta de forma continua unha recta finita.

Este principio había de revelarse fundamental ao profundizar nos fundamentos da xeometría. Cando Giovanni Gerolamo Saccheri (1667-1733) quixo establecer a xeometría euclidiana como a única posible. Para este propósito elaborou dúas xeometrías alternativas nas que non se verificaba o polémico quinto postulado co obxectivo de chegar a unha contradición. Esas xeometrías serían posteriormente denominadas elíptica e hiperbólica. Na xeometría elíptica non tardaría en demostrar a finitude das rectas, a negación directa do segundo postulado, unha contradición evidente que era o que estaba buscando Saccheri. Despois creu obter unha "falsidade manifesta" dentro da xeometría hiperbólica pero foi unha saída en falso. 

Non quero insistir na axiomática da xeometría pois a este tema xa adicara un par de entradas (Axiomas de Euclides, Hilbert e Tarski.1 e Axiomas de Euclides, Hilbert e Tarski.2). O segmento AB é o esquema de moitos problemas das matemáticas escolares. Pensemos só en todos aqueles que teñen como protagonistas do seu enunciado un par de trens que parten de dous puntos A e B. Como non me quero meter nesta selva, inzada de problemas de todo tipo, voume centrar nun que recollo dun libro de título ben curioso. Dr. Euler's Fabulous Formula: Cures Many Mathematical Ills, de Paul J. Nahin. De seguido presento unha versión libre da cuestión

Un paxaro vai de A a B e despois volve de B a A a unha velocidade v. Como é habitual neste tipo de propostas v é constante e o cambio de sentido é maxicamente inmediato. Sexa d a distancia entre os puntos A e B e t=2d/v o tempo que tarda en facer o percorrido de ida e volta. Introduzamos agora unha dificultade. Imos supoñer que o traxecto faise en presenza dun vento dunha velocidade constante w. Tamén consideraremos que w<v. Cando o vento sopre no mesmo sentido do corredor as velocidades súmanse : v+w. Cando o vento vai en sentido contrario ao corredor as velocidades réstanse: v-w. A cuestión é se o tempo que se tarda en facer o percorrido é menor con vento ou sen el.

Seguindo a Paenza, o mellor que poderiamos facer agora sería pensar no problema, quizais pensar nalgúns valores particulares para explorar, quizais modificar algo as condicións, pensar en casos extremos, en axudarnos doutro paxaro que parta de B mentras o primeiro parte de A, elaborar unha estratexia de abordaxe e levala a cabo,... Conviña facer algo disto antes de seguir lendo.

Paxaro indo de A a B

As condicións do problema dan  a impresión de que a pregunta garda unha trampa pois non se ten en conta unha terceira posibilidade, que ademais parece a máis lóxica, a de que o paxaro tarde o mesmo tempo con vento e sen el. Sorprendentemente a resposta non é esta. Poñamos por caso que a velocidade do paxaro é de 10 km/h e que a distancia entre A e B é de 10 km. Neste caso o tempo empregado no traxecto de ida e volta é de 2 horas. Cun vento soprando a 2 km/h o tempo empregado será:

$$\frac{10}{12}+\frac{10}{8}=\frac{200}{96}=\frac{25}{12}>2$$

Se xeneralizamos veremos que o tempo do percorrido é maior con vento que sen el:

$$\frac{d}{v+w}+\frac{d}{v-w}=\frac{d\left ( v-w \right )+d\left ( v+w \right )}{\left ( v+w \right )\left ( v-w \right )}=\\= \frac{dv-dw+dv+dw}{v^{2}-w^{2}}=\frac{2dv}{v^{2}-w^{2}}=\frac{2dv/v^{2}}{\left (v ^{2} -w^{2}\right )/v^{2}}=\\=\frac{2d/v}{1-\left ( w/v \right )^{2}}=\frac{t}{1-\left ( w/v \right )^{2}}\geq t$$

O vento non ten por que soprar na dirección marcada polo segmento AB pois se o fai noutra dirección só nos interesará a proxección do vector que indica a velocidade do vento sobre AB. Isto lévanos a sospeitar que se facemos un percorrido co mesmo punto de inicio e fin, o resultado vaia ser o mesmo. A sospeita é acertada, e quen a queira ver desenvolta pode consultar o libro de Paul Nahin. Isto ten unha consecuencia práctica importante no mundo do atletismo. En presenza de ventos de certa intensidade non se recoñecen determinadas marcas deportivas. Polo que acabamos de contar, nas carreiras nas que se dá un número enteiro de voltas á pista as marcas veríanse sempre perxudicadas polo vento, en consecuencia neste tipo de probas non ten sendido anular as marcas obtidas en presenza de vento. Pode que este resultado lle interese ao compañeiro Paulo González Ogando, que acaba de publicar un libro titulado Matemáticas y deporte (Catarata 2022)