Só uns riscos nunha pedra

Unha das cousas que se aprenden nos primeiros curso da ESO é a relación entre as expresións fraccionarias e as decimais. Normalmente a expresión decimal será periódica. Os casos nos que o decimal é exacto son aqueles nos que a fracción ten un denominador da forma $2^{ m}\cdot5^{n}$. Consideremos este tipo de fracións, específicamente as máis simples, as de numerador 1. Isto é, calculemos os inversos dos números que teñan como factores só a 2 e a 5.

$$\frac{1}{2}=0'5\quad \frac{1}{4}=0'25 \quad \frac{1}{5}=0'2 \quad \frac{1}{8}=0'125\quad \frac{1}{10}=0'1$$

Decontado nos decatamos que os pares de recíprocos teñen como produto 10 ou unha potencia de 10. 

Se tivésemos unha base con máis divisores tamén teriamos unha colección de pares de inversos exactos moito maior. O certo é que a temos, ou que a tiña a antiga civilización mesopotámica. Lembremos que usaban un sistema de numeración no que usaban dous símbolos: o das unidades 𒑰=1 que podía agrupar ata un total de 9 elmentos para indicar as 9 primeiras cifras; as decenas representábanse con este outro símbolo 𒌋=10, que se podía agrupar ata un total de 5. Así 𒌍𒐜 indicaría o 38. A partir de 60 utilizaban un sistema posicional. O número 𒌋𒐘 𒌋𒌋𒐗 que nós escribiremos 14 23 representa no sistema decimal o número $14\cdot 60+23=823$. Outro exemplo, 𒐖 𒌋𒐖 𒐐𒐊 é en sexaxesimal o número 02 12 55, que traducido ao sistema decimal vén sendo $2\cdot 60^{2}+12\cdot 60+55=7975$.

Utilizando este mesmo tipo de escritura representábanse incluso números decimais en base 60 que nós escribiremos separando a parte enteira da decimal mediante o símbolo ";", aínda que nas tabelas babilónicas non se usaba ningún tipo de signo de separación. Así 𒐖𒑱𒑱 tanto podería representar 02 40, que é $2\cdot 60+40=160$ como 02;40 que sería $2+40\cdot \frac{1}{60}=2'\,66666...$. Os problemas de interpretación aumentan se temos presente que non tiñan símbolos para o cero. Polo tanto 𒐖𒑱𒑱  tamén podería interpretarse como 02 40 00 ou 00;02 40 ou incluso 02 00 40, ou 02; 00 40,... Non non debe estrañar toda esta ambigüidade. Teñamos presente que moitas das tabelas babilónicas non tiñan vontade de transmitir ningún tipo de mensaxe. Foron recuperadas dun contexto escolar onde primaba a oralidade. Nestas escolas normalmente había un recipiente con auga para poder borrar e reutilizar as tabelas de barro. 

Un escriba babilónico era quen de realizar as operacións aritméticas básicas: suma, resta produto e división. Para levar a cabo esta última multiplicaba polo inverso do divisor. Acháronse táboas con listas de inversos, o que dá a entender que se aprendían de memoria para facilitar os cálculos. Velaquí unha restra de inversos. Imitando aos babilonios evitamos os inversos que non dan valores finitos, isto é só amosamos os inversos daqueles números que son divisores de 60 ou dalgunha potencia de 60. 

Estritamente, os valores non son inversos xa que o produto de cada par non é a unidade, dá 60 (ou 01 00 en base sexaxesimal). Pero iso non é máis que unha cuestión de escala. Por exemplo, no caso do inverso do 24  bastaría con que considerásemos o 0;02 30 no canto de 02;30. O mesmo podemos facer co resto dos valores da táboa. (Un aviso adicional: todos os números que aparecen a partir de aquí están en base sexaxesimal)

As tarefas matemáticas non remataban neste punto. Un exercicio particularmente popular consistía en achar o inverso dalgún número non incluído nas táboas de inversos. Eleanor Robson, especialista en historia das matemáticas babilónicas, explica como debemos ler un destes exercicios, en concreto o dunha tabela do Museo Nacional de Iraq, IM 58446 procedente de Nippur e datada arredor do 1800 a.C. que podemos transcribir así: 

«2» indica que ese valor debe ser un erro. Os números escritos entre corchetes son engadidos do que se supón que debería haber en partes danadas ou perdidas da tabela. Como debemos interpretala? Pídese que calculemos o inverso de 17;46 40. Trátase de buscar unha cantidade que multiplicada por este valor nos dea como resultado 1 00. Imos abordar o problema mediante un razoamento de cortar e pegar, seguindo o procedemento habitual dos antigos escribas. Consideramos un rectángulo de área 1 00 con base 17; 46 40 polo que a altura é o inverso que nos piden

Os babilonios non usaban incógnitas

Para iso descompoñemos a base en dous segmentos, un de 17;40 e outro de 0;06 40. Como sabemos as táboas de inversos, tamén sabemos que 06 40 é o inverso de 9 . Así construímos un gnomon con dous rectángulos de área 1 00

Se multiplicamos 17; 40 ✕ 9 00 obtemos como resultado 2 39 00

En consecuencia o rectángulo completo ten unha área de 2 39 00 + 1 00 = 2 40 00

Polo tanto o rectángulo grande é 2 40 veces maior que o rectángulo orixinal (lembremos este que tiña área 1 00) e iso significa que 9 é 2 40 veces maior que x, o inverso buscado. Mirando na táboa de inversos vemos que o inverso de 2 40 é 0;22 30 así que x será o produto de 9 ✕ 0;22 30. O resultado é 3; 22 30. O problema está resolto. Pero os escolares babilónicos continuaban calculando o inverso do inverso, isto é agora volvían a aplicar o procedemento anterior para achar o inverso do 3; 22 30.

Primeiro multiplicamos por 2 para desfacernos do 30 final. Así 3; 22 30 ✕ 2 = 6; 45. Este valor non é un dos que teñamos un inverso coñecido, así que non nos queda outra que volver a aplicar o procedemento anterior. 

Partimos 6; 45 na súa parte enteira e na decimal 6; 45 = 6 + 0;45. O inverso de 0;45 si que o coñecemos, é 1 20. Formamos o que os xeómetras gregos chamaban "gnomon", unha área en forma de L.

Se agora multiplicamos 1 20 ✕ 6 = 8 e lle engadimos o rectángulo de 1 20 ✕ 0;45 = 1 00 obteremos un rectángulo de área 9 00.

A área total é 9 veces a do rectángulo superior polo que 1 20 é 9 veces o valor x buscado. Como o inverso de 9 é 6;40 sabemos que x = 1 20 ✕ 0;06 40 = 8;53 20. Lembremos que ao principio para librarnos das últimas cifras decimais de 3; 22 30, multiplicáramolo por 2, así que polo momento obtivemos o inverso do dobre. Para obter o inverso de 3; 22 30 teremos que multiplicar 8;53 20 ✕ 2 = 17; 46 40 que é a un tempo o inverso buscado e o número orixinal.

Tabela IM 58446
Recollida desta publicación

No transcurso desta entrada fun marcando en letra grosa os valores que aparecían na tabela IM 58446. Pódese comprobar que fomos percorrendo todos os que aparecen na reprodución desa tabela feita por Eleanor Robson ou na transcripción recollida máis arriba. En todo caso trátase dun titánico esforzo de tradución duns riscos feitos nun anaco de barro endurecido.

Case a modo de post scriptum este achegamento ás matemáticas babilónicas impresiona pola capacidade de manipulación do sistema sexaxesimal. Parece claro que xa no 1800 a.C. eran quen de pasar dun chanzo a outro de unidades numéricas sen ningunha dificultade e en calquera dirección. Isto implica que non tiñan problemas en tratar con cantidades decimais (aquí decimal significa non enteiro), o cal non pode deixar de sorprendernos porque unha vez esquecido o sistema de numeración  babilónico, ou polo menos abeirado ao uso das medidas angulares houbo que agardar ata que Simon Stevin (1548-1620) no seu De Thiende (1585) explicara os algoritmos para o cálculo coas fraccións decimais. Todo isto induce a considerar que a marabilla das matemáticas gregas, o piar sobre o que se asenta o coñecemento matemático occidental, foi tamén unha lousa que impuxo un moi restritivo concepto de número. É ben coñecido que os sistemas de numeración da Antiga Grecia eran aditivos, non posicionais, polo que a súa manipulación era máis pesada. Pero o máis destacable é a dicotomía entre a conceptualización dos números como entidades discretas fronte ás magnitudes xeométricas continuas.As primeiras cóntanse, as segundas mídense. Tan pronto como no V a.C. os pitagóricos observaron como se derribaba o seu universo construído baixo a máxima de "todo é número" coa constatación das magnitudes inconmensurables. A teoría das proporcións de Eudoxo salvou o problema e a un tempo afianzou a aposta pola xeometría dunhas matemáticas cultivadas pola clase ociosa e que desprezaban calquera aplicación práctica. Estes factores alonxaron máis aínda esta ciencia das medicións e do cálculo. Só o peso da historia permite explicar a tardanza europea en desenvolver os números decimais.