Grazas Poniachick!

Hai uns días, limpando o faiado atopei un pequeno fateixo de revistas que comprara cando era novo. Eran exemplares de Cacumen, unha revista mensual publicada por Zugarto,  editorial madrileña especializada en crucigramas e pasatempos. Sacáronse un total de 47 números entre os anos 1983 e 1986. 

Para os meus petos era moi cara. Con todo chegara a comprar algúns números.  A revista estaba adicada aos xogos. Nela podías encontrar relatos breves con algunha conexión lúdica, retos, curiosidades, cuestións, bandas deseñadas e tamén artigos sobre matemáticas recreativas e xogos. Moitas tardes teño pasado cun xogo de cartas recollido do nº 31 ! O xogo, chamado noventa e nove é facilmente adaptable á baralla española. Como curiosidade, nese mesmo número había un artigo sobre o "extravagante" libro das sucesións de números enteiros de Sloane. Daquela non existía internet.

Practicamente en todos os números había algún artigo e varias referencias ás matemáticas. Por exemplo no nº 34 explícase en poucas palabras a demostración mediante conos do teorema de Monge que foi obxecto doutra entrada neste blogue.

No nº 16 lera por primeira vez a demostración de Euclides da existencia de infinitos números primos. Só por estas poucas liñas xa pagaba a pena a revista. A extraordinaria demostración é unha referencia central das matematicas. Supoñamos, segundo nos indica Euclides, que só hai unha cantidade finita de números primos: 2, 3, 5, 7,...., p, onde lle chamamos p ao maior deles. Consideremos agora o número N=2・3・5・7・....・p + 1. N pode ser primo ou non selo. Se o é xa achamos un primo maior que p. Se non o é terá que ter algún divisor primo pero nin 2, nin 3, nin 5, nin 7,...., nin p son divisores de N xa que o resto da división de N por calquera deses números será 1. De aí que ese eventual divisor primo de N ten que outro maior que p que non estea na relación dada. En calquera caso ten que haber algún primo máis que os supostos, isto é, ten que haber infinitos.

Entre as páxinas de Cacumen tamén se poden achar xogos de Sam Loyd ou artigos de Henry Dudeney, mais cando se fala de xogos e de matemáticas ten que aparecer indefectiblemente Martin Gardner. Apareceron artigos seus nos exemplares nº 24,  nº 26, nº 27 e do nº 32. Neste último trata sobre a cicloide e no primeiro sobre o número π. En moitos outros hai referencias a contribucións súas. En concreto no nº 33 un tal Tadeo Monevin expón e resolve o seguinte problema do divulgador norteamericano:

Un número fantasmal. Unha dama, interrogada polo seu número de teléfono contestou de forma ben curiosa: "o número termina en 4, e se vostede corre o 4 cara adiante de forma que se converta no primeiro díxito, o novo número resulta ser 4 veces o orixinal". Cal é o número telefónico da dama?

Tadeo Monevín é o pseudónimo de Jaime Poniachick (1943-2011), un matemático nacido en Uruguai moi destacado no mundo das matemáticas recreativas. En Arxentina editou da Revista del Snark, que tivo unha curta vida entre os anos 1976 e 1978. Uns anos despois sería o responsable da publicación doutra revista, El Acertijo. Poniachick era un colaborador habitual de Cacumen. El é o autor dun artigo publicado no nº 39 que me quedou gravado a lume. Presentaba o seguinte problema:

O cinto da Terra. Imaxinemos un cordel cinguido á Terra sobre o ecuador. Se lle engadimos un metro, vai quedar algo folgado, canto? Axustemos agora outra o cordel arredor dunha laranxa e despois agregámoslle tamén un metro. O sorprendente é que agora a folgura do cinto da laranxa coincide coa da Terra.

A explicación é ben simple. A lonxitude da corda inicial é 2πr. Se lle engadimos un metro será $$2\pi r+1=2\pi \left ( r+\frac{1}{2\pi } \right )$$

polo que o raio da circunferencia corda extendida supera en 1/2π unidades ao raio da circunferencia inicial independentemente do valor do raio. No caso que nos ocupa, como incrementamos a lonxitude nun metro, o raio aumentaría uns 16 cm tanto no caso da Terra como no da laranxa.

A alma de Poniachick era profundamente matemática. Este artigo continúa preguntándose que pasaría se o cordel ata cadrados de distinto tamaño, ou trigángulos, ou hexágonos,.... Remata con outra perla:

O raíl dilatado. Consideremos un raíl recto de 500 m. de lonxitude fixado nos seus extremos. Coa calor do verán expándese 2 m formando unha xiba no seu centro. Se o arqueamento que se produce é simétrico, que altura estimarías que acadará? 

A resposta, como no caso anterior da Terra e a laranxa, é sumamente antiintuitivo. Poniachick indícanos que unha boa estimación desa altura poderiamos obtela supoñendo que no canto dunha curva temos dúas rectas. 

Quizais o lector coñeza xa a métrica do taxi, atribuída a Minkowski. Para obter a distancia entre dous puntos debemos desprazarnos polas horizontais ou verticais determinadas por eses puntos. A distancia entre os puntos A e B da seguinte figura será 5+3=8. Sobre isto escribe Poniachick no nº 35

A combinatoria dinos que podemos emparellar 4 puntos de 6 formas distintas. Na imaxe que se mostra a continuación están colocados 4 puntos de forma que as distancias entre eles sexan 1, 2, 3, 4, 5 e 6. 

Sabemos que podemos emparellar 5 puntos de 10 formas distintas. Poderemos colocar 5 puntos sobre o plano de forma que coa métrica do taxi as súas distancias cubran todos os valores enteiros entre 1 e 10? A resposta é que non e a razón ten que ver coa paridade. Fagamos un esquema conectando 5 puntos entre si. O resultado é un pentágono coas súas 5 diagonais. Cada conexión entre dous puntos terá unha medida ben par, ben impar. Fixemos uns valores de paridade para as conexións co punto A: p indica par e i indica impar. No seguinte esquema aparecen en laranxa e a escolla aos puntos B, C, D e E foi p, i, i, i. Isto determina todas as demais pois cada vez que tracemos un triángulo ten que verificarse a "regra dos signos" pois, por exemplo, se entre B e A hai unha distancia par e entre A e C hai unha impar, A distancia entre B e C será impar.

Se facemos o reconto veremos que hai un total de 4 conexións pares e 6 impares cando o número de pares e impares entre os números 1 e o 10 distribúense equitativamente 5 a 5. Con outras escollas iniciais de paridade para o punto A volve a suceder o mesmo, de aí que sexa imposible resolver o problema con 5 puntos. Tamén é imposible facelo con 7 pero sí é posible con 6. Neste caso verás que se obterán todas as distancias entre 1 e 15 colocando eses 6 puntos sobre un rectángulo de dimensións 7🇽8.

No seu artigo do nº 40 Poniachick propón a seguinte cuestión:

Triangulación. Dentro dun triángulo grande distribuímos 5 puntos que, xunto cos 3 vértices do triángulo utilizamos para dividilo en 11 trianguliños. Cantos triganguliños conseguiremos distribuíndo 1000 puntos dentro do triángulo grande?

As ideas aquí recollidas non o foron cun criterio sistemático. Centreime nas revistas que aínda conservo e noutras que coñecía polas portadas. Poden consultarse todos os números de Cacumen nesta entrada do blogue Espejo lúdico. 

Ah! Unha última anotación. Os artigos aos que se fixo referencia ao principio que trataban sobre o libro das sucesións de Sloane, o teorema de Monge e a demostración euclidiana da existencia de infitnitos primos tamén eran da autoría de Poniachick. Ata que nestes días revisei estas revistas e me decatei disto non sabía que el foi unha das persoas que máis me influiu en que quixera estudar matemáticas. Grazas Poniachick!