Problemas británicos.3. O Bacharelato.

As dúas entrada anteriores estiveron adicadas a unha selección de problemas da UKMT  para alumnado da ESO [Primeria etapa, Segunda etapa] Rematamos a xeira cunha colección de problemas das competicións británicas para aqueles que cursan o Bacharelato.

Entendo que a dificultade deste primeiro problema pode residir en que tratamos a materia de forma demasiado compartimentada. Cando se traballa a xeometría, vai unha restra de problemas de xeometría, cando se estuda a probabilidade, veña boletíns do tema. Pero se mesturamos as dúas cousas non sabemos como meterlle o dente.

Un ángulo aleatorio. Un punto P escóllese aleatoriamente no interior dun cadrado QRST. Cal é a probabilidade de que ∠RPQ sexa agudo.

Así como practicamente a totalidade destes problemas só teñen un acollemento excepcional nas clases ordinarias para todo o alumnado, o seguinte si que se podería presentar en calquera aula de Secundaria.

O valor das letras. As letras S, M e C representan números naturais. Se S⋅M⋅C=240, S⋅C+M=46 e S+M⋅C=64, cal é o valor de S+M+C?  

O enunciado é ben curto, pero a que agardabas que a pregunta vai ser outra?

Noventa e nove noves. O enteiro m ten noventa e nove díxitos, e todos eles son noves. Cal é a suma dos díxitos de m²?

No seguinte problema a pregunta implica unha propiedade curiosa, que a área sombreada non depende de onde coloquemos o cadrado pequeno sobre o lado do grande.

Cal é a área sombreada? No diagrama vemos dous cadrados, un de lado 20 e outro de lado 10. Cal é a área da rexión sombreada?

A baldosa se Spoleto. A figura mostra un patrón encontrado nunha baldosa do chan na catedral de Spoleto, Umbría. Unha circunferencia de raio 1 rodea catro cuartos de círculo, todos de raio 1, que encerran un cadrado. O patrón ten catro eixos de simetría. Cal é a lonxitude do lado do cadrado?

Os problemas xeométricos planos usualmente poñen en xogo circunferencias, cadrados ou polígonos regulares. O seguinte ten a curiosidade de tratar sobre rectángulos.

Tres rectángulos. O diagrama mostra tres rectángulos congruentes de 5 de largo e 13 de longo. Como se ve, hai dous pares de rectángulos que comparten un vértice. Dous dos rectángulos están colocados de xeito que un vértice de cada un está no lado do terceiro. Cal é a área da rexión na que se solapan os tres?

Aínda que hai outras formas de abordar as seguinte cuestións, eu partín do coñecementos de trigonometría que se imparten no primeiro curso do Bacharelato de ciencias.

Cal é o tamaño do ángulo?. Na figura temos cinco cadrados idénticos. Canto mide o ángulo marcado?

 

A área dun triángulo equilátero. O triángulo equilátero exterior ten área 1. Os puntos A, B e C están a un cuarto de cada un dos lados, como se mostra. Cal é a área do triángulo equilátero ABC? 

Rematamos a xeira xeométrica cos dous seguintes problemas:

Tanxente a unha circunferencia. Unha circunferencia de centro A e raio 12 ten diámetro BC. Debuxamos unha segunda circunferencia de diámetro AC. A tanxente trazada desde B a esta circunferencia interseca a circunferencia centrada en A no punto D. Cal é a lonxitude BD?

Diferenza entre áreas. Na figura represéntase un círculo de raio 2 e un cadrado. O círuculo toca en dous lados ao cadrado e pasa por un dos vértices do cadrado. A área da rexión sombreada en negro (dentro do cadrado pero fóra do círculo) é X e a área sombreada en gris (dentro do círculo pero fóra do cadrado) é Y. Cal é o valor de YーX?

Velaquí de seguido o típico problema que aparece nos libros de Adrián Paenza. Con esta proposta cambiamos da xeometría aos números.

Canto mide o camiño? Raquel e Nicolás están cada un no extremo dun camiño. Entón eles andan a velocidade constante (pero diferente) cara o outro lado, e dan a volta cara o seu punto orixinal, sempre á mesma velocidade. O seu primeiro encontro prodúcese a 20 metros dun dos extremos. Cando están de volta encontranse a 10 metros do outro extremo do camiño. Canto mide o camiño?

Números desafortunados. Un número "desafortunado" é un enteiro positivo que é igual a 13 veces a suma dos seus díxitos. Acha todos os números "desafortunados".

Lista de restos. Helena divide 365 entre cada dos números 1, 2, 3,.... , 365 obtendo así unha lista de 365 restos. Entón Felipe divide 366 entre 1, , 3, ..., 366 obtendo unha lista de 366 restos. Cal das dúas listas de restos ten unha suma maior? En canto supera á outra suma? 

O mercado de Ulán Bator. Onte, no mercado de Ulán Bator podías mercar un elefante branco ou 99 gansos salvaxes polo mesmo prezo. Hoxe, o prezo dun elefante branco baixou un 10% e o prezo dos gansos salvaxes subira un 10%. Cantos gansos salvaxes custa agora un elefante branco?

Votos grelados. Recentemente houbo eleccións en Grelandia. Todos os que votaron polo Partido das Nabizas comeran nabizas. Daqueles que votan por outros partidos, o 90% nunca comera nabizas. Do total de votantes, o 46% comeran nabizas. Cal é a porcentaxe de votos obtida polo Partido das Nabizas?

O prezo das tarxetas de nadal. O ano pasado Noelia comprou unha certa candidade de tarxetas de nadal, todas do mesmo prezo. O importe total foi de 15,6 €. Nun xesto de boa vontade propio desas festas, o vendedor deulle unha tarxeta máis gratis, e iso reduciu o custo medio por tarxeta nun céntimo. Co prezo orixinal, cantas tarxetas podía comprar Noelia por 5 €?