Axiomas de Euclides, Hilbert e Tarski.2

Despois de repasar a axiomática de Euclides e Hilbert, pasamos á de Tarski.

Os axiomas de Tarski

Finalmente chegamos ao que foi orixe de toda esta entrada, aos axiomas de Tarski, que puiden coñecer a partir do artigo de António Bívar do libro Treze viagens pelo mundo da matemática (U. Porto Edições, 2010). Alén deste artigo o libro é moi recomendable pois trata desde unha perspectiva case divulgativa trece aspectos moi diversos e interesantes das matemáticas a un nivel dos primeiros cursos universitarios.

A axiomática de Alfred Tarski (1901-1983) é destacable pola súa economía de recursos. Trátase dun sistema elaborado nunha linguaxe de primeira orde, polo que polo teorema de Löwenheim-Skolem,baixo a hipótese de consistencia, sabemos que terá un modelo contable. Como nota aparte non me resisto a contar unha anécdota dunha clase da materia de Lóxica en 4º-5º de carreira. Foi o caso de que o profesor nos foi presentando o que pretendía ser un conxunto de axiomas para os números reais nunha linguaxe de primeira orde. Outra vez, usando o teorema de Löwenheim-Skolem, demostrounos que o cardinal do conxunto dos número reais era ℵ₀. A ningún dos alumnos nos estrañou, non sei se foi porque a esas alturas da carreira xa tragabamos con todo ou porque a clase era un día de calor ás catro da tarde.

Volvendo ás características das axiomática de Tarski para a xeometría, destacar que só emprega dúas operacións elementais, a igualdade e a pertenza, unicamente un obxecto primitivo (os puntos) e dúas relacións primitivas (congruencia e "estar entre"). Así escribiremos xy≡zw para indicar que os segmentos zy e zw teñen a mesma lonxitude e Bxyz co significado de que "y está entre x e z". Imos alá cos primeiros axiomas:

• T.1. (Reflexividade simétrica) xy≡yx

• T.2. (Transitiva)   xy≡zw∧xy≡uv ⟶ zw≡uv

A partir destes axiomas obtense a reflexividade da congruencia: xy≡xy e a transitividade na súa versión usual: xy≡zw∧xy≡uv ⟶ zw≡uv . De aí que a congruencia sexa unha relación de equivalencia. Con todo aínda cómpre o seguinte axioma:

• T.3. (Identidade da equidistancia) xy≡zz ⟶ x=y

Comencemos a introducir os axiomas de ordenación. O seguinte garante que en calquera semirecta ox podemos construír un segmento xy congruente cun uv prefixado.

• T.4. ∀o, x, u, v  ∃y (Boyx ∧ uv≡yx)

Con este novo axioma pódese demostrar que xx≡yy ou que Bxyy

O seguinte axioma establece que no segmento xx só existe un punto:

• T.5. Bxyx ⟶ x=y

Tal e como sucedía na proposta de Hilbert, Tarski tamén precisa do axioma de Pasch. Velaquí a súa versión:

• T.6.  (Axioma de Pasch) Bxuy ∧ Bvwy ⟶  ∃z (Buzy ∧ Bwzx) 

Agora pódese demostrar a simetría na relación "estar entre": Bxyz ⟶ Bzxy . Tamén se verificará o teorema de intercalación:   Bxyw ∧ Byzw  ⟶  Bxyz. Coas mesmas hipóteses que as deste teorema esperamos poder obter tamén Bxzw. Mais cos axiomas dados ata aquí iso aínda non é posible.

Este é o momento no que António Bivar explica as razóns para introducir o sétimo axioma, que ten que ver coa necesidade de establecer cando dous ángulos son iguais.

• T.7. (Axioma dos cinco segmentos) (ox≡o'x'∧oy≡o'y'∧xy≡x'y'∧o ≠ y ∧ Bxyz ∧Bx'y'z' ∧ yz≡y'z') ⟶  xz≡x'z''

Este axioma dá lugar a varios resultados importantes. O primeiro deles é que permite realizar sumas de segmentos. Concretamente:  (Bxyz  ∧  Bx'y'z' ∧ xy≡x'y'∧yz≡y'z' ) ⟶  xz≡x'z'

En segundo lugar, temos tamén a unicidade do transporte de segmentos:

(x ≠ y ∧ Bxyu ∧ Bxyv ∧ yu≡yv) ⟶  u=v

En terceiro lugar, preséntase o chamado teorema de concatenación: 

(Bxyz ∧ Byzu ∧ y ≠ z)  ⟶ (Bxzu ∧ Bxyu )
Finalmente, o seguinte resultado, o teorema de conectividade, foi incluído nun principio como axioma ata que despois de varias décadas  Haragauri Narayan Gupta (1925-2016) demóstrao no 1965 a partir dos sete axiomas anteriores.

(Bxyz ∧ Bxyu ∧ x ≠ y)  ⟶ (Bxzu ⋁ Bxuz )

Con todo o establecido ata aquí podería haber modelos lineares para esta xeometría. Para facela máis rica pódese engadir un novo axioma que asegure unha dimensión maior ou igual a 2, isto é, que existen tres punto non colineares.

• T.8. (Axioma da dimensión inferior)  ∃ x, y, z (ㄱBxyz ∧ ㄱByxz ∧ ㄱByzx)

Unha vez chegados a este punto faise unha avaliación do estado desta xeometría básica. Para iso bota man do teorema I.10 de Euclides, que é o que establece como achar o punto medio de calquera segmento. Euclides usa un resultado non explicitado por el en ningures, o que a segura que dúas circunferencias no plano se intersecan en dous puntos sempre que a distancia entre os centros sexa menor que a suma dos raios e maior que a súa diferenza. Resulta que os oito axiomas de Tarski tampouco garanten este resultado. Para estarmos certos desta intersección cómpre introducirse no pantanoso mundo da continuidade, é aquí onde hai que introducir xa non só un axioma, senón todo un esquema de axiomas para poder realizar os cortes de Dedekind. Esta idea está presentada na entrada da Galipedia sobre os axiomas de Tarski, porén António Bivar, nun principio, non vai por este camiño. Como punto de referencia, na axiomática de Hilbert resólvese a cuestión grazas aos axiomas sobre ángulos.

A cuestión que propón António Bívar pasa precisamente polo concepto de ángulo. Normalmente consideramos un ángulo ∠xoy como a rexión do plano entre as semirectas ox e oy. Aquí xurde o seguinte problema. Cos oito axiomas establecidos ata o momento pódese demostrar que se Bxuy (u é un punto entre x e y) e Bozu (z está entre o e u), entón existirá un punto y' no segmento oy tal que Bxzy'. Porén, se z está máis alá de u, isto é, se Bouz, entón non se pode asegurar a existencia de puntos x' e y' na semirectas ox e oy respectivamente de forma que Bx'zy'. Isto é, que o ángulo ∠xoy non está formado polas semirectas que parten de o. Así que se introduce este resultado como axioma.

Necesidade do axioma de Euclides

• T.9. (Axioma de Euclides) (Bxuy ∧ u≠o ∧Bouz) ⟶ ∃ x', y' (Boxx' ∧ Boyy' ∧ Bozz')

Agora estamos en disposición de demostrar o teorema de Playfair, o de Desargues e o de Pascal. Todo isto permite desenvolver unha teoría de proporcións e construír un corpo pitagórico, isto é, un corpo no que a suma de dous cadrados é tamén un cadrado. Un modelo podería ser o conxunto Ω de Hilbert presentado máis arriba. O propio Hilbert comentaba que pola estrutura deste conxunto, o conxugado de calquera elemento de Ω tamén está en Ω . Se agora quixeramos construír un triángulo rectángulo de hipotenusa 1 e con un cateto $$\sqrt { 2 } - 1 $$, o outro cateto debería medir $$\omega=-2+2\sqrt {  2  } $$ Se ω∈Ω entón tamén debería estar o seu conxugado, pero este é $$\sqrt{-2-2\sqrt {  2  } }$$, un número imaxinario, cando resulta que Ω está contido dentro dos reais. Polo tanto esta construción non pode realizarse en Ω, mais si se podería facer con regra e compás.

Para sermos máis concretos, Hilbert estudara que construcións xeométricas eran as que podían realizarse en Ω e concluíra que eran aquelas nas que se podían usar a regra e o transportador de unidades (un instrumento que fai posible o transporte do segmento unidade).

Con todo isto aínda non teriamos uns sistema axiomático para a recta real pois ficaría orfa a propiedade da completitude. As sucesións de Cauchy ou as de intervalos encaixados non teñen límite. Co fin de aseguralo pódese aínda introducir un axioma de continuidade pero, iso sí, non poderemos redactalo nunha linguaxe de primeira orde porque se fai referencia a conxuntos arbitrarios de puntos X e Y.

• T.10. (Axioma de continuidade) [∀ X, Y /  ∃ o (x∊X ∧ y ∊Y ⟶ Boxy)] ⟶ [ (x∊X ∧ y ∊Y) ⟶ ∃ p / Bxpy ]

Velaquí que cada vez que temos dous puntos colineares con o dos conxuntos X e Y, vai haber un punto intermedio entre eles.

Con estes vimbios pódese demostrar o que neste contexto xa sería o teorema de Arquímedes, así como a e a isomorfía entre todos os modelos verificando estes dez axiomas.

Axiomas de Euclides, Hilbert e Tarski.1

Un libro do espazo
pero non espacial

Sempre me pareceu moi divertido que na librería "Follas Novas" colocasen o libro Ideas de espacio de Jeremy Gray (Mondadori 1992) entre os de viaxes espaciais e non entre os de xeometría. Téñolle moito cariño a este volume pois foi o primeiro de certa entidade que lin ao acabar a carreira. Lembro moi ben que o fixera durante unha semana de acampada nun monte próximo a Mombuey. Tamén me había de servir como guía para preparar un dos temas das oposicións, o da historia da xeometría. En efecto, Jeremy Gray fai un percorrido polos avances da xeometría tomando como eixo vertebrador o V postulado euclidiano. Aquí non pretendo tanto, só ir saltando polos principais sistemas axiomáticos da xeometría euclidiana; isto é, o sistema do propio Euclides, o de Hilbert e o de Tarski.

Os postulados de Euclides

Elementos, en galego

É ben coñecido que o paradigma dos sistemas axiomáticos son os Elementos. Despois dunha lista de 23 definicións, Euclides (III a.C.) establece os seus cinco postulados:

• E.1. Trazar unha liña recta dende un punto calquera ata un punto calquera
• E.2. E prolongar en liña recta de forma continua unha recta finita
• E.3. E debuxar un círculo con calquera centro e distancia.
• E.4. E que todos os ángulos rectos son iguais entre si.
• E.5. E que, se unha recta ó incidir en dúas rectas fai os ángulos do interior e do mesmo lado menores que dous ángulos rectos, as dúas rectas, prolongadas ó infinito, atópanse no lado no que están os ángulos menores que dous rectos.

Recollinos tal e como aparecen na tradución ao galego que fixeron Ana Gloria Rodríguez e Celso Rodríguez, publicada pola USC

Despois de establecer estas raíces, e sen máis adobíos que algunha que outra definición máis, a árbore crece durante 13 libros ata formar a primeira enciclopedia sistemática das matemáticas.

Críticas a Euclides

A pesar da grandeza dos Elementos, co tempo acharíanse varias fendas no sistema euclidiano. Xa na primeira proposición do primeiro libro suponse que dúas circunferencias con centros nos extremos do segmento AB e compartindo o raio AB teñen que cortarse nun punto Γ. O  postulado E.5 establece unha condición para que se corten dúas rectas. Retrospectivamente podemos enxergar que se precisaría tamén outro postulado que establecese o corte de circunferencias. O que cómpre é garantir a continuidade das liñas. Quen habían de profundar neste tópico serían Richard Dedekind (1831-1816) e Georg Cantor (1845-1918) entre outros.

Tamén o primeiro postulado foi obxecto de crítica pois Euclides asumiu en varios lugares a unicidade da recta que se asegura pasa por calquera par de puntos dados cando o que se enuncia neste postulado é unicamente a súa existencia.

O segundo postulado só garante o carácter ilimitado dunha recta, non a súa infinitude. Quen estableceu para sempre esta distinción había de ser Bernhard Riemann (1826-1866) na súa disertación perante Gauss. Euclides emprega o carácter infinito da recta en I.16, a proposición que establece que un ángulo exterior dun triángulo é maior que calquera dos interiores opostos.

Na proposición I.21 Euclides toma como certo que se unha recta corta a un dos vértices dun triángulo, ten por forza que cortar o lado oposto. Mais este resultado nin se demostra, nin se podía demostrar baixo a axiomática dos Elementos pois nela non hai ningunha referencia á ordenación (o concepto "estar entre"). Quen incidiu neste aspecto sería Morlitz Pasch (1843-1930). Este matemático alemán propuxo a primeira axiomática moderna da xeometría, precursora da de David Hilbert (1862-1943)

Os axiomas de Hilbert

O reinado dos Elementos esténdese ata o XIX, momento no que xorden tanto as xeometrías non euclidianas como os proxectos de axiomatización nas matemáticas, especialmente a aritmética. Nesta altura estaban de moda os estudos sobre os fundamentos e non foron poucos os traballos adicados aos da xeometría. De entre todos eles destaca o de Hilbert, quen elabora un profundo tratado sobre a axiomatización desta área, Fundamentos da xeometría. Para iso establece cinco grupos de axiomas. Poño algúns exemplos:

• Algúns axiomas de enlace:

H.I.1. Dados dous puntos A e B, sempre existe unha recta a que os contén.

H.I.2. Dados dous puntos A e B, só existe unha recta que pase por eles

H.I.3. Nunha recta hai polo menos dous puntos. Tamén existen polo menos tres puntos  non aliñados.

• O seguinte grupo de axiomas son os de ordenación:

H.II.1. Cando B está entre os puntos A e C, e son distintos puntos dunha recta, B tamén está entre C e A.

H.II.2. Dados dous puntos A e C, sempre existirá outro punto B na recta AC tal que B está entre A e C.

H.II.3, Dados tres puntos nunha recta, como moito un deles está entre os outros dous.

H.II.4. (Axioma de Pasch) Dados tres puntos A, B e C non aliñados e unha recta a no plano ABC que non contén a ningún dos puntos, se a corta a AB, entón corta tamén a AC ou a BC

• Axiomas de congruencia de Hilbert:

H.III.1. Dados os puntos A e B e o punto A' da recta a', existe un único B' nun dos lados da recta a' determinado por A' de forma que AB é congruente con A'B' (AB≡A'B')

H.III.2. Se os segmentos A'B' e A''B'' son congruentes a AB, tamén serán congruentes entre si.

H.III.3. Se AB≡A'B' e BC≡B'C', entón AC≡A'C'

H.III.4. Dado un ángulo definido polas semirectas h e k ∠(hk), e dada outra semirecta h', existe unha única semirecta k' tal que ∠(hk) ≡ ∠(h'k')

H.III.5. Se dous triángulos ABC e A'B'C' verifican que AB≡A'B' e AC≡A'C' e ∠BAC ≡ ∠B'A'C', entón tamén ∠ABC ≡ ∠A'B'C'.

Este último axioma é a proposición I.IV dos Elementos, o coñecido teorema de congruencia de triángulos LAL.

• O cuarto grupo de axiomas hilbertiano é ben reducido, tanto que se reduce a un único postulado, o das paralelas:

H.IV.1. (Axioma de Playfair) Sexa a unha recta e A un punto exterior á recta, entón existe como moito unha recta paralela a a pasando por A.

• Os últimos axiomas son os de continuidade. O primeiro deles é o que abre a porta á aritmetización da xeometría.

H.V.1. (Axioma de Arquímedes) Dados AB e CD, existen n puntos  puntos A₁, A₂ , A,...., A_n   con A₁=A,  A_iA_j≡ CD de forma que o punto B queda entre A₁e A_n

Axioma de Arquímedes

H.V.2. (Axioma de completitude) Os puntos dunha recta forman un sistema tal que non se pode ampliar baixo os axiomas H.I.1, H.1.2, H.II, H.III.1 e H.V.1

Este último axioma é o único deste sistema que non pode ser formalizado nunha linguaxe de primeira orde e ten claramente un enunciado ben distinto dos anteriores. Prima facie non o parece, pero é o que introduce a continuidade dentro da axiomática de Hilbert. Se excluímos H.V.2 poderían ser modelos desta xeometría estruturas "descontinuas" tales como o conxunto dos números racionais ou o conxunto Ω, que introduce Hilbert no principio do capítulo II dos Fundamentos e que estaría formado por todos os números que poden obterse a partir do 1 mediante sumas, restas, produtos divisións e unha quinta operación dada por $$\sqrt { 1+{ \omega  }^{ 2 } } $$

Tendo en conta a seguinte relación o conxunto de Hilbert estaría formado, ademais das combinacións das catro operacións, polas raíces cadradas das sumas de cadrados $$\sqrt { { a }^{ 2 }+{ b }^{ 2 } } =a\sqrt { 1+{ \left( \frac { a }{ b }  \right)  }^{ 2 } } $$

Quizais na lectura do axioma de completitude enxérgase máis facilmente outra interpretación que tamén se verifica, a de que este axioma asegura a categoricidade, isto é, que todos os modelos deste sistema axiomático son isomorfos.

Unha cuestión interesante é a de preguntarse polas razóns que levaron a Hilbert a introducir o axioma de completitude para caracterizar a continuidade cando tiña alternativas coñecidas tales como a dos cortes de Dedekind, a dos intervalos encaixados de Cantor, ou o teorema de Bolzano-Weierstrass. Hilbert tiña como obxectivo fundamentar una xeometría asentada sobre o corpo dos números reais, de aí que botase man do axioma de Arquímedes. Este axioma facilita o establecemento dunha medida. Entón Hilbert avísanos de que "o axioma de completitude que só esixira a conservación deses axiomas [os dos grupos I, II e III], pero non o de Arquímedes ou outro que lle corresponda, encerraría unha contradición"

Ben sei que ler esta entrada custa traballo. Se ben o estudo desde o punto de vista da lóxica de partes das matemáticas é moi instrutivo e revelador, cómpre manter un certo nivel de esforzo e concentración para aprehender os contidos. Tendo en conta o anterior e que a entrada xa vai tendo unha lonxitude considerable, deixamos a abordaxe da perspectiva de Tarski para outra entrada.