Axiomas de Euclides, Hilbert e Tarski.1

Un libro do espazo
pero non espacial

Sempre me pareceu moi divertido que na librería "Follas Novas" colocasen o libro Ideas de espacio de Jeremy Gray (Mondadori 1992) entre os de viaxes espaciais e non entre os de xeometría. Téñolle moito cariño a este volume pois foi o primeiro de certa entidade que lin ao acabar a carreira. Lembro moi ben que o fixera durante unha semana de acampada nun monte próximo a Mombuey. Tamén me había de servir como guía para preparar un dos temas das oposicións, o da historia da xeometría. En efecto, Jeremy Gray fai un percorrido polos avances da xeometría tomando como eixo vertebrador o V postulado euclidiano. Aquí non pretendo tanto, só ir saltando polos principais sistemas axiomáticos da xeometría euclidiana; isto é, o sistema do propio Euclides, o de Hilbert e o de Tarski.

Os postulados de Euclides

Elementos, en galego

É ben coñecido que o paradigma dos sistemas axiomáticos son os Elementos. Despois dunha lista de 23 definicións, Euclides (III a.C.) establece os seus cinco postulados:

• E.1. Trazar unha liña recta dende un punto calquera ata un punto calquera
• E.2. E prolongar en liña recta de forma continua unha recta finita
• E.3. E debuxar un círculo con calquera centro e distancia.
• E.4. E que todos os ángulos rectos son iguais entre si.
• E.5. E que, se unha recta ó incidir en dúas rectas fai os ángulos do interior e do mesmo lado menores que dous ángulos rectos, as dúas rectas, prolongadas ó infinito, atópanse no lado no que están os ángulos menores que dous rectos.

Recollinos tal e como aparecen na tradución ao galego que fixeron Ana Gloria Rodríguez e Celso Rodríguez, publicada pola USC

Despois de establecer estas raíces, e sen máis adobíos que algunha que outra definición máis, a árbore crece durante 13 libros ata formar a primeira enciclopedia sistemática das matemáticas.

Críticas a Euclides

A pesar da grandeza dos Elementos, co tempo acharíanse varias fendas no sistema euclidiano. Xa na primeira proposición do primeiro libro suponse que dúas circunferencias con centros nos extremos do segmento AB e compartindo o raio AB teñen que cortarse nun punto Γ. O  postulado E.5 establece unha condición para que se corten dúas rectas. Retrospectivamente podemos enxergar que se precisaría tamén outro postulado que establecese o corte de circunferencias. O que cómpre é garantir a continuidade das liñas. Quen habían de profundar neste tópico serían Richard Dedekind (1831-1816) e Georg Cantor (1845-1918) entre outros.

Tamén o primeiro postulado foi obxecto de crítica pois Euclides asumiu en varios lugares a unicidade da recta que se asegura pasa por calquera par de puntos dados cando o que se enuncia neste postulado é unicamente a súa existencia.

O segundo postulado só garante o carácter ilimitado dunha recta, non a súa infinitude. Quen estableceu para sempre esta distinción había de ser Bernhard Riemann (1826-1866) na súa disertación perante Gauss. Euclides emprega o carácter infinito da recta en I.16, a proposición que establece que un ángulo exterior dun triángulo é maior que calquera dos interiores opostos.

Na proposición I.21 Euclides toma como certo que se unha recta corta a un dos vértices dun triángulo, ten por forza que cortar o lado oposto. Mais este resultado nin se demostra, nin se podía demostrar baixo a axiomática dos Elementos pois nela non hai ningunha referencia á ordenación (o concepto "estar entre"). Quen incidiu neste aspecto sería Morlitz Pasch (1843-1930). Este matemático alemán propuxo a primeira axiomática moderna da xeometría, precursora da de David Hilbert (1862-1943)

Os axiomas de Hilbert

O reinado dos Elementos esténdese ata o XIX, momento no que xorden tanto as xeometrías non euclidianas como os proxectos de axiomatización nas matemáticas, especialmente a aritmética. Nesta altura estaban de moda os estudos sobre os fundamentos e non foron poucos os traballos adicados aos da xeometría. De entre todos eles destaca o de Hilbert, quen elabora un profundo tratado sobre a axiomatización desta área, Fundamentos da xeometría. Para iso establece cinco grupos de axiomas. Poño algúns exemplos:

• Algúns axiomas de enlace:

H.I.1. Dados dous puntos A e B, sempre existe unha recta a que os contén.

H.I.2. Dados dous puntos A e B, só existe unha recta que pase por eles

H.I.3. Nunha recta hai polo menos dous puntos. Tamén existen polo menos tres puntos  non aliñados.

• O seguinte grupo de axiomas son os de ordenación:

H.II.1. Cando B está entre os puntos A e C, e son distintos puntos dunha recta, B tamén está entre C e A.

H.II.2. Dados dous puntos A e C, sempre existirá outro punto B na recta AC tal que B está entre A e C.

H.II.3, Dados tres puntos nunha recta, como moito un deles está entre os outros dous.

H.II.4. (Axioma de Pasch) Dados tres puntos A, B e C non aliñados e unha recta a no plano ABC que non contén a ningún dos puntos, se a corta a AB, entón corta tamén a AC ou a BC

• Axiomas de congruencia de Hilbert:

H.III.1. Dados os puntos A e B e o punto A' da recta a', existe un único B' nun dos lados da recta a' determinado por A' de forma que AB é congruente con A'B' (AB≡A'B')

H.III.2. Se os segmentos A'B' e A''B'' son congruentes a AB, tamén serán congruentes entre si.

H.III.3. Se AB≡A'B' e BC≡B'C', entón AC≡A'C'

H.III.4. Dado un ángulo definido polas semirectas h e k ∠(hk), e dada outra semirecta h', existe unha única semirecta k' tal que ∠(hk) ≡ ∠(h'k')

H.III.5. Se dous triángulos ABC e A'B'C' verifican que AB≡A'B' e AC≡A'C' e ∠BAC ≡ ∠B'A'C', entón tamén ∠ABC ≡ ∠A'B'C'.

Este último axioma é a proposición I.IV dos Elementos, o coñecido teorema de congruencia de triángulos LAL.

• O cuarto grupo de axiomas hilbertiano é ben reducido, tanto que se reduce a un único postulado, o das paralelas:

H.IV.1. (Axioma de Playfair) Sexa a unha recta e A un punto exterior á recta, entón existe como moito unha recta paralela a a pasando por A.

• Os últimos axiomas son os de continuidade. O primeiro deles é o que abre a porta á aritmetización da xeometría.

H.V.1. (Axioma de Arquímedes) Dados AB e CD, existen n puntos  puntos A₁, A₂ , A,...., A_n   con A₁=A,  A_iA_j≡ CD de forma que o punto B queda entre A₁e A_n

Axioma de Arquímedes

H.V.2. (Axioma de completitude) Os puntos dunha recta forman un sistema tal que non se pode ampliar baixo os axiomas H.I.1, H.1.2, H.II, H.III.1 e H.V.1

Este último axioma é o único deste sistema que non pode ser formalizado nunha linguaxe de primeira orde e ten claramente un enunciado ben distinto dos anteriores. Prima facie non o parece, pero é o que introduce a continuidade dentro da axiomática de Hilbert. Se excluímos H.V.2 poderían ser modelos desta xeometría estruturas "descontinuas" tales como o conxunto dos números racionais ou o conxunto Ω, que introduce Hilbert no principio do capítulo II dos Fundamentos e que estaría formado por todos os números que poden obterse a partir do 1 mediante sumas, restas, produtos divisións e unha quinta operación dada por $$\sqrt { 1+{ \omega  }^{ 2 } } $$

Tendo en conta a seguinte relación o conxunto de Hilbert estaría formado, ademais das combinacións das catro operacións, polas raíces cadradas das sumas de cadrados $$\sqrt { { a }^{ 2 }+{ b }^{ 2 } } =a\sqrt { 1+{ \left( \frac { a }{ b }  \right)  }^{ 2 } } $$

Quizais na lectura do axioma de completitude enxérgase máis facilmente outra interpretación que tamén se verifica, a de que este axioma asegura a categoricidade, isto é, que todos os modelos deste sistema axiomático son isomorfos.

Unha cuestión interesante é a de preguntarse polas razóns que levaron a Hilbert a introducir o axioma de completitude para caracterizar a continuidade cando tiña alternativas coñecidas tales como a dos cortes de Dedekind, a dos intervalos encaixados de Cantor, ou o teorema de Bolzano-Weierstrass. Hilbert tiña como obxectivo fundamentar una xeometría asentada sobre o corpo dos números reais, de aí que botase man do axioma de Arquímedes. Este axioma facilita o establecemento dunha medida. Entón Hilbert avísanos de que "o axioma de completitude que só esixira a conservación deses axiomas [os dos grupos I, II e III], pero non o de Arquímedes ou outro que lle corresponda, encerraría unha contradición"

Ben sei que ler esta entrada custa traballo. Se ben o estudo desde o punto de vista da lóxica de partes das matemáticas é moi instrutivo e revelador, cómpre manter un certo nivel de esforzo e concentración para aprehender os contidos. Tendo en conta o anterior e que a entrada xa vai tendo unha lonxitude considerable, deixamos a abordaxe da perspectiva de Tarski para outra entrada.