Tapando un burato: a ecuación cúbica

Boa parte do tempo e dos esforzos no ensino secundario están ocupados pola álxebra, quizais nun grao un tanto excesivo. Con todo, os estudos limítanse ás formas lineares e cuadráticas. Quedámonos ás portas do estudo das expresións cúbicas. Se un segue profundizando nestes estudos na universidade volverá sobre a cuestión da resolución de ecuacións, pero pegando un gran salto, xa no ámbito da teoría de Galois, xernerándose así un baleiro que dificilmente pode ter xustificación.  Despois de rematar a carreira eu aínda tardei moitos anos en tapar este burato. Deixo aquí algunhas notas con ese remendo.

E, de súpeto, apareceu Cardano.
A finais do século XV Luca Pacioli (1445-1517), nesa altura un dos matemáticos que con máis coñecementos sobre o tema, estaba tan convencido da imposibilidade da cuadratura do círculo como da resolución da ecuación cúbica. Por iso o Ars Magna, publicado no 1545, debeu causar unha profunda impresión na pequena comunidade matemática da época, xa que despois dunha apaixoante historia e non pouco traballo, ese estraño personaxe que foi Girolamo Cardano (1501-1576), non só ofrece a solución da ecuación cúbica senón que coa inestimable axuda de Ludovico Ferrari (1522-1565) tamén o fai coa de grao 4 [nota aparte: un dos libros máis divertidos que lin nunca foi a autobiografía de Cardano, recoméndoo vivamente]
Naqueles tempos non se tomaban en consideración os números negativos. Tampouco se expresaban as solucións das ecuacións mediante fórmulas. Os manuais explicaban o método de resolución nun caso particular e entendíase que aplicando o mesmo algoritmo tamén se poderían resolver outras ecuacións da mesma forma. Por estas razóns compría facer un estudo de múltiples casos nos que os coeficientes serían todos positivos, polo que nalgúns deses casos algúns coeficientes debían aparecer no segundo membro da ecuación. Así, Cardano distinguirá 13 casos posibles para a ecuación cúbica. Para nós isto resultaríanos demasiado pesado, así que desenvolveremos a solución da ecuación cúbica segundo Cardano pero actualizando as formas e as notacións.
Unha das grandes aportacións de Cardano foi que, dada unha ecuación cúbica xeral: $$a{ x }^{ 3 }+b{ x }^{ 2 }+c{ x }+d=0$$ mediante o cambio $$x=y-\frac { b }{ 3a } $$ podemos eliminar o termo de segundo grao. Por exemplo, se partimos da ecuación $$2{ x }^{ 3 }-30{ x }^{ 2 }+162x-350=0\quad \quad \quad \quad [7]$$
$$x=y-\left( \frac { -30 }{ 6 }  \right) =y+5$$
$$2{ \left( y+5 \right)  }^{ 3 }-30{ \left( y+5 \right)  }^{ 2 }+162\left( y+5 \right) -350=0$$
Botando contas queda:$${ y }^{ 3 }+6y=20\quad \quad \quad \quad [2]$$
Esta última expresión é das que Cardano denominaba "cubo máis cousa igual a número" e que hoxe escribiriamos $${ y }^{ 3 }+py+q=0\quad \quad \quad \quad [z]$$
No noso exemplo p=6 e q=-20
Sen perda ningunha de xeneralidade, basta resolver este tipo de ecuacións para podermos establecer a resolución dunha cúbica calquera. Con este propósito Cardano servíase do desenvolvemento do cubo dun binomio.
Consideremos o seguinte cubo de aresta u+v . O cubo desta suma desenvólvese a seguir

Cubo dun binomio u+v

$${ \left( u+v \right)  }^{ 3 }={ u }^{ 3 }+3{ u }^{ 2 }v+3u{ v }^{ 2 }+{ v }^{ 3 }$$
Pasando todo ao primeiro membro e sacando factor común 3uv no terceiro e cuarto sumandos:
$${ \left( u+v \right)  }^{ 3 }-{ u }^{ 3 }-3{ u }^{ 2 }v-3u{ v }^{ 2 }-{ v }^{ 3 }=0\\ { \left( u+v \right)  }^{ 3 }-3uv\left( u+v \right) -{ u }^{ 3 }-{ v }^{ 3 }=0$$
Tomando: $$x=u+v\\ -p=3uv\\ -q={ u }^{ 3 }+{ v }^{ 3 }$$
Temos outra vez a expresión [z]: $${ y }^{ 3 }+py+q=0\quad \quad \quad \quad [z]$$
Cun novo cambio de variables: $$\begin{cases} t={ u }^{ 3 } \\ s={ v }^{ 3 } \end{cases}\quad \quad \quad \begin{cases} t+s=-q \\ t\cdot s={ u }^{ 3 }{ v }^{ 3 }={ \left( \frac { -p }{ 3 }  \right)  }^{ 3 } \end{cases}\quad \quad \quad \quad \begin{cases} t=-q-s \\ \left( -q-s \right) s={ \left( \frac { -p }{ 3 }  \right)  }^{ 3 } \end{cases}\quad $$
Resulta que a última ecuación é de segundo grao en s con solución $$s=\frac { -q }{ 2 } +\sqrt { { \left( \frac { q }{ 2 }  \right)  }^{ 2 }+{ \left( \frac { p }{ 3 }  \right)  }^{ 3 } } $$
De aí que $$t=-q-s=\frac { -q }{ 2 } -\sqrt { { \left( \frac { q }{ 2 }  \right)  }^{ 2 }+{ \left( \frac { p }{ 3 }  \right)  }^{ 3 } } $$
E así, por fin, obtemos a solución $$y=u+v=\sqrt [ 3 ]{ t } +\sqrt [ 3 ]{ s } =\sqrt [ 3 ]{ \frac {- q }{ 2 } +\sqrt { { \left( \frac { q }{ 2 }  \right)  }^{ 2 }+{ \left( \frac { p }{ 3 }  \right)  }^{ 3 } }  } +\sqrt [ 3 ]{ \frac { -q }{ 2 } -\sqrt { { \left( \frac { q }{ 2 }  \right)  }^{ 2 }+{ \left( \frac { p }{ 3 }  \right)  }^{ 3 } }  } $$
No caso da nosa ecuación [2] temos que tomar p=6 e q=-20 polo que obtemos:
$$y=\sqrt [ 3 ]{ 10+\sqrt { 108 }  } +\sqrt [ 3 ]{ 10-\sqrt { 108 }  } $$
O realmente curioso é que Cardano enxergou detrás desta expresión o valor y=2 (!) que, efectivamente, será solución da ecuación [2].
Finalmente vemos como unha boa elección da denominación para esta ecuación anticipa a súa solución ;)... e o mesmo pasa coa [7].