Números metálicos para un problema.2

Teño que comenzar esta entrada facendo referencia á anterior e indicando que aquí se fai referencia a varias fórmulas indicadas alí. Nesa outra entrada comentaba que JJ propuxera, entre outros varios, o seguinte problema:

Problema. Demostra que a seguinte sucesión ten todos os seus termos enteiros:  x₀=1$${ x }_{ n+1 }=\frac { 3{ x }_{ n }+\sqrt { 5{ x }_{ n }^{ 2 }-4 } }{ 2 } $$ 

Imaxe do libro de M. Gardner

Cando din cun camiño cara a súa resolución non estaba pensando nel. Andaba buscando actividades para a aula relacionadas co número áureo. Concretamente cun artigo do libro de Martin Gardner, Matemática, magia y misterio (RBA, 2011) sobre esvaementos xeométricos no que se explica un xogo de maxia fundamentado na sucesión de Fibonacci. Se recolocamos os recortes do cadrado de 8x8 podemos formar un rectángulo de 5x13. Evidentemente as áreas son distintas (!). Hai algo que non cadra.
Os números que entran en xogo neste divertimento, (5, 8 e 13) son tres termos consecutivos da sucesión de Fibonacci. Verifican que 5٠13=13² -1. O cadradiño esvaeuse debido a que a diagonal do rectángulo non se xusta ben, aínda que cando facemos o xogo, esperamos que ninguén se decate. En xeral para tres números consecutivos desta sucesión teremos que: $${ F }_{ k+1 }{ F }_{ k-1 }={ F }_{ k }^{ 2 }+{ \left( -1 \right)  }^{ k }\quad \quad \quad (7)$$ Entón, para k=2n: $${ F }_{ 2n+1 }{ F }_{ 2n-1 }={ F }_{ 2n }^{ 2 }+1\quad \quad \quad (8)$$
E revisando a sucesión dada no problema parecía que era precisamente a dos termos de índice impar da sucesión de Fibonacci: x_n=F_2n+1.$$\begin{matrix} 1 & 1 & 2 & 3 & 5 & 8 & 13 & 21 & 34 & ... \\ { F }_{ 1 } & { F }_{ 2 } & { F }_{ 3 } & { F }_{ 4 } & { F }_{ 5 } & { F }_{ 6 } & { F }_{ 7 } & { F }_{ 8 } & { F }_{ 9 } & ... \\ { x }_{ 0 } &  & { x }_{ 1 } &  & { x }_{ 2 } &  & { x }_{ 3 } &  & { x }_{ 4 } & ... \end{matrix}$$
Así que conxecturamos que:
$${ F }_{ 2n+3 }=\frac { { 3{ F }_{ 2n+1 } }+\sqrt { 5{ F }_{ 2n+1 }^{ 2 }-4 }  }{ 2 } $$
Esta igualdade verificarase cando:
$${ \left( 2{ F }_{ 2n+3 }-{ 3F }_{ 2n+1 } \right)  }^{ 2 }=5{ F }_{ 2n+1 }^{ 2 }-4$$
Como F_2n+3= F_2n+2 + F_2n+1:
$${ \left( 2{ F }_{ 2n+2 }-{ F }_{ 2n+1 } \right)  }^{ 2 }=5{ F }_{ 2n+1 }^{ 2 }-4$$
Elevando ao cadrado e simplificando:
$${ F }_{ 2n+2 }^{ 2 }+1={ F }_{ 2n+2 }{ F }_{ 2n+1 }+{ F }_{ 2n+1 }^{ 2 }$$
Aplicando (8) ao primeiro membro e volvendo a realizar a substitución F_2n+3= F_2n+2 + F_2n+1, obtemos o segundo membro:
$${ F }_{ 2n+2 }^{ 2 }+1={ F }_{ 2n+1 }{ F }_{ 2n+3 }={ F }_{ 2n+1 }\left( { F }_{ 2n+2 }+{ F }_{ 2n+1 } \right) ={ F }_{ 2n+2 }{ F }_{ 2n+1 }+{ F }_{ 2n+1 }^{ 2 }$$
Velaí o problema resolto. Toca revisar algunhas cousas.
Na entrada anterior conxecturaba que $${ x }_{ n+1 }=3{ x }_{ n }-{ x }_{ n-1 } $$ comprobada a igualdade entre a sucesión x_n e a dos termos impares da de Fibonacci, veremos que isto é certo comprobando que $${ F }_{ 2n+3 }=3{ F }_{ 2n+1 }-{ F }_{ 2n-1 } $$:
$${ F }_{ 2n+3 }={ F }_{ 2n+2 }+{ F }_{ 2n+1 }=\left( { F }_{ 2n+1 }+{ F }_{ 2n } \right) +{ F }_{ 2n+1 }=2{ F }_{ 2n+1 }+\left( { F }_{ 2n } \right) =$$ $$ =2{ F }_{ 2n+1 }+{ F }_{ 2n+1 }-{ F }_{ 2n-1 }=3{ F }_{ 2n+1 }-{ F }_{ 2n-1 }$$
Polo tanto x_n=F_2n+1. De aí que por esta igualdade e tendo en conta (5) e (6) poidamos dar esta bonita fórmula:
$${ \phi  }^{ 2n+1 }-{ \varphi  }^{ 21n+1 }={ \left( 1+\varphi  \right)  }^{ n }\phi -{ \left( 1+\phi  \right)  }^{ n }\varphi $$
Resulta ademais que a suma dos cadrados de termos consecutivos da sucesión de Fibonacci é precisamente a suecesión de termos de subíndice impar, polo que coincide coa sucesión do problema:$${ F }_{ n+1 }^{ 2 }+{ F }_{ n+2 }^{ 2 }={ F }_{ 2n+3 }\quad \quad \quad (9)$$

Matrices de Fibonacci
Particularmente sorprendente é o uso das matrices para estudar a sucesión de Fibonacci. A presentación desta sucesión pódese facer mediante a seguinte matriz: $$Q=\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}\quad ;\quad \quad Q\left( \begin{matrix} { F }_{ n } \\ { F }_{ n-1 } \end{matrix} \right) =\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}\left( \begin{matrix} { F }_{ n } \\ { F }_{ n-1 } \end{matrix} \right) =\left( \begin{matrix} { F }_{ n+1 } \\ { F }_{ n } \end{matrix} \right) $$
Imos usala para demostrar algún dos resultados É inmediato comprobar que
$${ Q }^{ n }\left( \begin{matrix} 1 \\ 0 \end{matrix} \right) =\left( \begin{matrix} { F }_{ n } \\ { F }_{ n-1 } \end{matrix} \right) \quad ;\quad { Q }=\begin{pmatrix} { F }_{ 2 } & { F }_{ 1 } \\ { F }_{ 1 } & { F }_{ 0 } \end{pmatrix}\quad \quad ;\quad { Q }^{ n }=\begin{pmatrix} { F }_{ n+1 } & { F }_{ n } \\ { F }_{ n } & { F }_{ n-1 } \end{pmatrix}$$
Con isto na faltriqueira podemos xenerar varias fórmulas sen esforzo ningún. Por exemplo a que usamos en (7): $${ F }_{ n+1 }{ F }_{ n-1 }-{ F }_{ n }^{ 2 }=det\begin{pmatrix} { F }_{ n+1 } & { F }_{ n } \\ { F }_{ n } & { F }_{ n-1 } \end{pmatrix}=det{ Q }^{ n }={ \left( detQ \right)  }^{ n }={ \left| \begin{matrix} 1 & 1 \\ 1 & 0 \end{matrix} \right|  }^{ n }={ \left( -1 \right)  }^{ n }$$
Tamén podemos demostrar a fórmula (9) na súa versión máis habitual:
$${ Q }^{ n+1 }{ Q }^{ n }={ Q }^{ 2n+1 }$$
$$\begin{pmatrix} { F }_{ n+2 } & { F }_{ n+1 } \\ { F }_{ n+1 } & { F }_{ n } \end{pmatrix}\begin{pmatrix} { F }_{ n+1 } & { F }_{ n } \\ { F }_{ n } & { F }_{ n-1 } \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} { F }_{ 2n+2 } & { F }_{ 2n+1 } \\ { F }_{ 2n+1 } & { F }_{ 2n } \end{pmatrix}$$
Ao multiplicar a segunda fila da primeira matriz pola primeira columna da segunda obtemos o elemento (2,1):
$${ F }_{ n+1 }^{ 2 }+{ F }_{ n }^{ 2 }={ F }_{ 2n+1}\quad \quad \quad (9)$$
Falando das matrices asociadas á sucesión de Fibonacci, non podo deixar de escribir un par de fórmulas suxerentes de comprobación inmediata:
$${ Q }^{ 2 }=Q+I\quad \Longrightarrow \quad { Q }^{ n }={ Q }^{ n-1 }+{ Q }^{ n-2 }$$
$${ Q }^{ n }=Q{ F }_{ n }+I{ F }_{ n-1 }$$
Polo momento paro aquí, aínda que o universo Fibonacci é tan apaixoante que non descarto pegarlle unha volta outro día.