Números metálicos para un problema. 1

Como nas mellores ocasións, esta historia comenza cun problema.
O pasado nadal JJ tivo a feliz iniciativa de propoñer unha serie de cuestións no seu blogue. Unha delas foi a seguinte:

Problema. Demostra que a seguinte sucesión ten todos os seus termos enteiros:  x₀=1$${ x }_{ n+1 }=\frac { 3{ x }_{ n }+\sqrt { 5{ x }_{ n }^{ 2 }-4 } }{ 2 } $$ 

Un primeiro achegamento a calquera problema consiste na experimentación. Cales son os primeiros valores que obtemos? $$\begin{matrix} { x }_{ 0 } & { x }_{ 1 } & { x }_{ 2 } & { x }_{ 3 } & { x }_{ 4 } & { x }_{ 5 } & ... \\ 1 & 2 & 5 & 13 & 34 & 89 & ... \end{matrix}$$
Efectivamente, estes son números enteiros. Hai algunha relación entre eles? Coñecémolos de algo?
Parece que se obteñen mediante a seguinte recurrencia: $${ x }_{ n+1 }=3{ x }_{ n }-{ x }_{ n-1 }\quad \quad  (1) $$
Isto recorda a formación da sucesión de Fibonacci. Hai un tipo de sucesións, as chamadas de Fibonacci xeneralizadas que teñen este patrón de construción. Dados dous números p e q, formaremos os elementos da sucesión mediante a seguinte fórmula recursiva:

 $${ x }_{ n+1 }=p{ x }_{ n }+q{ x }_{ n-1 }\quad \quad \quad \quad \quad (2)$$

Se dividimos por x_n: $$\frac { { x }_{ n+1 } }{ { x }_{ n } } =p+\frac { q }{ \frac { { x }_{ n } }{ { x }_{ n-1 } } } \quad \quad \quad \quad \quad (3)$$

Tomando límites cando n⇾∞ e supoñendo que existe o $$\lim _{ n\rightarrow \infty }{ \frac { { x }_{ n+1 } }{ { x }_{ n } } } =\lambda $$ $$\lambda =p+\frac { q }{ \lambda } $$
$${ \lambda }^{ 2 }-p\lambda -q=0$$ Resolvo:
$${ \lambda }_{ 1 }=\frac { p+\sqrt { { p }^{ 2 }+4q } }{ 2 } \quad \quad \quad { \lambda }_{ 2 }=\frac { p-\sqrt { { p }^{ 2 }+4q } }{ 2 } \quad \quad \quad $$
Os números λ₁ tamén son coñecidos como números metálicos, segundo a denominación da matemática arxentina Vera de Spinadel (1929-2017). Para (p,q)=(1,1) temos o famoso número áureo, para (p,q)=(2,1) o chamado número de prata, para (p,q)=(3,1) o de bronce ou para (p,q)=(1,2) o número de cobre,...Tendo en conta que
$${ \lambda  }^{ 2 }=p\lambda +q\quad \quad \rightarrow \quad \quad x=p+\frac { q }{ \lambda  } $$
Estes números poden representarse como fraccións continuas da seguinte maneira:$$\lambda =p+\frac { q }{ p+\frac { q }{ p+\frac { q }{ p+... }  }  } $$
E tendo en conta que:
$${ \lambda  }^{ 2 }=p\lambda +q\quad \Longrightarrow  \quad \quad \lambda =\sqrt { q+p\lambda  } $$
Obtemos tamén a segunte forma de representación para os números metálicos:
$$\quad \lambda =\sqrt { q+p\sqrt { q+p\sqrt { q+p\sqrt { ... }  }  }  } $$
Agora é onde comenza o divertido. Consideremos a seguinte matriz Q, que nos permite redefinir a relación (2) doutro xeito:
$$Q=\begin{pmatrix} p & q \\ 1 & 0 \end{pmatrix}\quad \quad ;\quad \quad Q\left( \begin{matrix} { x }_{ n } \\ { x }_{ n-1 } \end{matrix} \right) =\begin{pmatrix} p & q \\ 1 & 0 \end{pmatrix}\left( \begin{matrix} { x }_{ n } \\ { x }_{ n-1 } \end{matrix} \right) =\left( \begin{matrix} p{ x }_{ n }+q{ x }_{ n-1 } \\ { x }_{ n } \end{matrix} \right) =\left( \begin{matrix} { x }_{ n+1 } \\ { x }_{ n } \end{matrix} \right) $$
Isto permitiríanos obter os sucesivos termos da sucesión mediante o seguinte proceso:
$$\left( \begin{matrix} { x }_{ n+1 } \\ { x }_{ n } \end{matrix} \right) { =Q }^{ n }\left( \begin{matrix} { x }_{ 1 } \\ { x }_{ 0 } \end{matrix} \right) ={ \begin{pmatrix} p & q \\ 1 & 0 \end{pmatrix} }^{ n }\left( \begin{matrix} { x }_{ 1 } \\ { x }_{ 0 } \end{matrix} \right) \quad \quad \quad (4)$$

Agora ben, aparécenos un produto de matrices, o cal parece complicar as cousas... ou quizais non. Hai unha forma de calcular a n-ésima potencia dunha matriz Q sempre e cando ésta sexa diagonalizable, isto é, cando exista unha matriz diagonal D e outra S tal que Q=S^-1D S. Estas matrices calcúlanse a partir dos autovalores, que serán as raíces do polinomio característico de Q: $$P(\lambda )=det(Q-\lambda I)=\begin{vmatrix} p-\lambda  & q \\ 1 & -\lambda  \end{vmatrix}={ \lambda  }^{ 2 }-p\lambda -q$$
Resulta que as raíces deste polinomio xa as calculamos antes: λ₁ e λ₂. Isto permítenos calcular os autovectores, que verificarán igualdades do tipo:
$$\begin{pmatrix} p & q \\ 1 & 0 \end{pmatrix}\left( \begin{matrix} x \\ y \end{matrix} \right) ={ \lambda  }_{ i }\left( \begin{matrix} x \\ y \end{matrix} \right) ,\quad \quad \quad i=1,2$$

$$ \begin{cases} px+q={ \lambda  }_{ 1 }x \\ { x=\lambda  }_{ 1 }y \end{cases}\quad ;\quad \quad \begin{cases} px+q={ \lambda  }_{ 2 }x \\ { x=\lambda  }_{ 2 }y \end{cases}\quad \quad $$
Estes sistemas son indeterminados. Escollemos as solucións para y=1 e obtermos os dous autovectores, o que nos dará a matriz S. Temos pois:
$$D=\begin{pmatrix} { \lambda  }_{ 1 } & 0 \\ 0 & { \lambda  }_{ 2 } \end{pmatrix}\quad \quad ;\quad S=\begin{pmatrix} { \lambda  }_{ 1 } & { \lambda  }_{ 2 } \\ 1 & 1 \end{pmatrix},\quad \quad \begin{vmatrix} { \lambda  }_{ 1 } & { \lambda  }_{ 2 } \\ 1 & 1 \end{vmatrix}={ \lambda  }_{ 1 }-{ \lambda  }_{ 2 }=\sqrt { { p }^{ 2 }+4q } \neq 0$$
Para que S sexa regular precisamos que o discriminante sexa estritamente positivo. Con esta condición podemos calcular a súa inversa: $${ S }^{ -1 }=\frac { 1 }{ { \lambda  }_{ 1 }-{ \lambda  }_{ 2 } } \begin{pmatrix} 1 & { -\lambda  }_{ 2 } \\ -1 & { \lambda  }_{ 1 } \end{pmatrix}$$
Agora calcular as potencias de Q simplifícase enormemente:
$${ Q }^{ n }=SD{ S }^{ -1 }\cdot SD{ S }^{ -1 }\overset { n }{ \cdot \cdot \cdot \cdot  } \cdot SD{ S }^{ -1 }=S{ D }^{ n }{ S }^{ -1 }$$
$${ Q }^{ n }=S{ D }^{ n }{ S }^{ -1 }=\begin{pmatrix} { \lambda  }_{ 1 } & { \lambda  }_{ 2 } \\ 1 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} { \lambda  }_{ 1 }^{ 2 } & 0 \\ 0 & { \lambda  }_{ 2 }^{ 2 } \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & { -\lambda  }_{ 2 } \\ -1 & { \lambda  }_{ 1 } \end{pmatrix}\frac { 1 }{ { \lambda  }_{ 1 }-{ \lambda  }_{ 2 } } $$
$${ Q }^{ n }=S{ D }^{ n }{ S }^{ -1 }=\frac { 1 }{ { \lambda  }_{ 1 }-{ \lambda  }_{ 2 } } \begin{pmatrix} { \lambda  }_{ 1 }^{ n+1 } & { \lambda  }_{ 2 }^{ n+1 } \\ { \lambda  }_{ 1 }^{ n } & { \lambda  }_{ 2 }^{ n } \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & { -\lambda  }_{ 2 } \\ -1 & { \lambda  }_{ 1 } \end{pmatrix}=\frac { 1 }{ { \lambda  }_{ 1 }-{ \lambda  }_{ 2 } } \begin{pmatrix} { \lambda  }_{ 1 }^{ n+1 }-{ \lambda  }_{ 2 }^{ n+1 } & { { \lambda  }_{ 1 }{ \lambda  }_{ 2 } }\left( { \lambda  }_{ 2 }^{ n }-{ \lambda  }_{ 1 }^{ n } \right)  \\ { \lambda  }_{ 1 }^{ n }-{ \lambda  }_{ 2 }^{ n } & { \lambda  }_{ 1 }{ \lambda  }_{ 2 }\left( { \lambda  }_{ 2 }^{ n-1 }-{ \lambda  }_{ 1 }^{ n-1 } \right)  \end{pmatrix}$$
Tendo en conta este último resultado, e aplicando  (4) para(x₀, x₁)=(1,1) obteremos a fórmula de Binet:$${ x }_{ n }=\frac { 1 }{ { \lambda  }_{ 1 }-{ \lambda  }_{ 2 } } \left[ { \lambda  }_{ 1 }^{ n }\left( 1-{ \lambda  }_{ 2 } \right) -{ \lambda  }_{ 2 }^{ n }\left( 1-{ \lambda  }_{ 1 } \right)  \right] $$
Usando esta fórmula pódese determinar que: $$\lim _{ x\rightarrow \infty  }{ \frac { { x }_{ n+1 } }{ { x }_{ n } } = } { \lambda  }_{ 1 }$$
Para obter unha fórmula de Binet algo máis recoñecible, basta ter presente que
$${ \lambda  }_{ 1 }=\frac { 1+\sqrt { 5 }  }{ 2 } =\phi \quad \quad { \lambda  }_{ 2 }=\frac { 1-\sqrt { 5 }  }{ 2 } =\varphi \quad \quad ;\quad { \lambda  }_{ 1 }-{ \lambda  }_{ 2 }=\phi -\varphi =\sqrt { 5 } \quad ;\quad \phi =1-\varphi \quad ;\quad \phi \varphi =-1 $$
$${ F }_{ n }=\frac { 1 }{ \sqrt { 5 }  } \left[ { \phi  }^{ n }\left( 1-\varphi  \right) -{ \varphi  }^{ n }\left( 1-\phi  \right)  \right] =\frac { 1 }{ \sqrt { 5 }  } \left( { \phi  }^{ n+1 }-{ \varphi  }^{ n+1 } \right)\quad \quad (5) $$
(Nota: os expoñentes son n+1 no canto de n  xa que en lugar de obter a sucesión estándar: 0, 1, 1, 2, 3, 5,... comenzamos cun valor adiantado: 1, 1, 2, 3 , 5, 8, ....)
Chegados aquí xa podo comentar que o problema co que comenzaba esta entrada aínda está sen encarreirar pero é que había un tempo que quería publicala e o citado problema acabou sendo unha desculpa perfecta para facelo. Volvendo sobre el, vemos que os seus valores (p,q)=(3,-1) escápanse do contido dos números metálicos pois éstes obtémolos para valores positivos de p e q. Pola contra, que o valor de q sexa negativo, nun principio, non debería dar maiores problemas xa que o discriminante continúa a ser positivo: p²+4q=5. Agora os valores da ecuación de segundo grao asociada son: $${ \lambda  }_{ 1 }=\frac { 3+\sqrt { 5 }  }{ 2 } =1+\phi \quad \quad \quad \quad \quad { \lambda  }_{ 2 }=\frac { 3-\sqrt { 5 }  }{ 2 } =1+\varphi $$
E aínda que non vexa, por esta vía, como resolver o problema orixinal, polo menos obtemos unha bonita fórmula para a sucesión proposta: $$x_{ n }=\frac { 1 }{ \sqrt { 5 }  } \left[ { \left( 1+\varphi  \right)  }^{ n }\phi -{ \left( 1+\phi  \right)  }^{ n }\varphi  \right] \quad \quad (6)$$
Nunha entrada posterior intentarei contar como, por fin, se pode resolver o problema.