Erros na aula de matemáticas

Hai unha razón fundamental pola que recomendaría o libro de Tomás Ortega del Rincón titulado  Errores en didáctica de las matemáticas (Editorial Síntesis 2022); porque é un libro sobre didáctica que se entende. Efectivamente, se un é profesor de matemáticas pódese recoñecer nestas páxinas. Presenta unha ampla clasificación de 41 tipos de erro que se poden cometer nas aulas de matemáticas co obxectivo de que o profesorado os recoñeza, reflexione sobre eles e mellore a súa práctica docente.

Aínda que non se explicita vese ao longo do texto que moitas das achegas xurden dentro do contexto das aulas do Máster de Profesorado na Universidade de Valladolid. Por todo o libro hai unha insistencia obsesiva no rigor e na procura de evitar ambigüidades. Se dentro do ámbito das matemáticas e do seu ensino estas son cualidades desexables, a miña impresión foi que chega a un radicalismo extremo na súa esixencia. 

Un dos erros que trata, o denominado "erro de univocidade simbólica", é exemplificado co caso da función inversa. Tomás Ortega razoa, e razoa ben, que a denominación de función inversa dunha función $f$ é a que se lle debe asignar a $\frac{1}{f}$ pois é coherente coa mesma denominación cando tratamos o produto de números pois dicimos, por exemplo, que o inverso de 3 é $\frac{1}{3}$. Que sucede entón coa función inversa $f^{-1}$, a relacionada coa composición de funcións? Está claro que chamarlle do mesmo xeito a dúas cousas distintas dá lugar a equívocos, a erros, e a problemas de comprensión na aula. A proposta de Tomás Ortega é que cando falamos de composición non deberiamos darlle a denominación de "función inversa", senón de "función recíproca"; incluso fai a proposta de denotala como $f^{r}$ e emprega esta notación en todo o libro.

O colmo deste tipo de erro dase cando aparecen xuntos os dous conceptos que denominamos igual pero que significan cousas distintas. Quen non tivo dificultades para explicar a derivada da función inversa? Se $f^{-1}$ é derivable e a súa derivada é distinta de cero entón: $$\left (f^{-1}  \right )'(x)=\frac{1}{f'\left [ f^{-1} \left ( x \right )\right ]}$$

Como se le isto? Tomás sinala malévolamente que os libros de texto evitan a transcripción verbal, limitándos a dar a fórmula anterior. Eu enunciaríao así: "a derivada da inversa₁ é a inversa₂ da derivada na inversa₁", onde inversa₁ significa "$f^{-1}$" e  inversa₂   significa "$\frac{1}{f}$". Cando o declamamos na aula podemos darlle máis énfase á pronuncia de inversa₁ que á de inversa_2. A min particularmente, gústame o trabalinguas. Ao alumnado, é normal, suponlle unha barreira desagradable. Con todo, isto forma parte da inculturación matemática. Nalgún momento eses mesmos alumnos tiveron que aprender a ler fórmulas que enunciamos como "a potencia dun produto é o produto das potencias". Sorprendentemente o autor do libro indica que "son frecuentes as delcaracións de profesores de matemáticas de Educación Secundaria nas que manifestan que non entenderon este teorema"

A proposta de Tomás Ortega é máis radical. A súa coherencia lévao a trasladar esta cuestión ao que usualmente se lle chama produto de matrices. El propón falar de "composición" de matrices e, en consecuencia de "matriz recíproca" no canto de "matriz inversa". O uso de palabras distintas, "inversa" e "recíproca", nun principio, é unha vantaxe. Porén vai en contra de toda a tradición. Entre outras cousas ten que enfrontarse coa simboloxía dos libros e das calculadoras, pois a "recíproca" dunha matriz $A$ debería aparecer como $A^{r}$ e nas calculadoras temos a función $sen^{-1}$. Sería unha batalla a moi longo prazo convencer a practicamente toda a humanidade (a humanidade son os USA) que debería aparecer $sen^{r}$

Por falarmos doutro erro, miremos o que no libro se denomina "erro de aplicación" e que consiste en repetir a proba dun teorema nun exercicio en lugar de aplicar directamente o teorema. Critica un libro de texto no que, despois de ter dado o teorema da derivada da función inversa, non o aplique directamente para obter a derivada das inversas das funcións trigonométricas. Nese libro aparece unha dedución moi semellante á que conto eu na aula (antes de dar o teorema da derivada da inversa), que é a seguinte:

Sexa $y=arc sen x$, tomando senos nos dous membros:

$seny=sen(arc senx)=x$ . Agora derivamos. Para derivar o primeiro membro temos que aplicar a regra da cadea pois temos a seguinte composición $x\rightarrow y\rightarrow seny$

$y'\cdot cosy=1$         despexo:

$y'=\frac{1}{cosy}$ e finalmente lembro que $y=arcsenx$

$\left ( arc sen x \right )'=\frac{1}{cos\left ( arcsenx \right )}=\frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}$

A última igualdade precisa dunha explicación. Teñamos en conta a imaxe na que lle chamamos $\alpha$ ao ángulo que ten de seno $x$: $sen(\alpha)=x$. Denominemos $z=cos(\alpha)=cos(arc sen x)$. Polo teorema de Pitágoras:

$z^2+x^2=1$

$z=\sqrt{1-x^{2}}$

Tomás Ortega considera que a anterior demostración deberíase  facer aplicando directamente o teorema da derivada da función inversa:

$$(arcsenx)'=\frac{1}{sen'\left ( arcsenx \right )}=\frac{1}{cos\left [ arcsenx \right ]}=\frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}$$

Eu non lle vexo problema a facelo das dúas maneiras por varias razóns. Unha delas é que obtemos o mesmo resultado por dous camiños distintos, e isto sempre é gratificante pois pon de relevo a bela coherencia das matemáticas. A outra é que a comprensión desta segunda demostración faise máis costa arriba que a primeira e se temos dúas demostracións distintas e só entendemos unha aínda temos algo ao que agarrarnos. Ademais hai unha dificultade engadida (outro tipo de erro): que denominamos $arcsenx$ á inversa de $senx$ no canto de poñer $sen^{-1}x$. De aí que haxa que ter moi interiorizados todos os conceptos en xogo pois non é visualmente evidente que esteamos aplicando o resultado que anteriomente escribimos como $$\left (f^{-1}  \right )'(x)=\frac{1}{f'\left [ f^{-1} \left ( x \right )\right ]}$$

Algúns erros

A modo de ilustración, vou citar algúns outros erros que me chamaron a atención.

• Un profesor novel sorprenderase do erro que cometen algúns alumnos ao identificar o número $\pi$ como racional a pesar de que na aula se destacara precisamente ese número como paradigma da irracionalidade. Normalmente pasamos por alto que definimos $\pi$ como a razón entre a lonxitude da circunferencia, $L$, e o seu diámetro,$d$. O razoamento está claro: se  $\pi =\frac{L}{d}$, damos pé a pensar que $\pi$ é unha fracción. O erro é difícil de desmontar, por iso hai que telo en conta. Por outra banda este erro crea unha tensión que determina o corte entre unha boa e unha mala compresión do concepto de "número racional" vs. "número irracional".

• "Na actualidade, no desenvolvemento actual do currículo procédese a facer innumerables exercicios de cálculo de límites e de derivadas, sen que os alumnos comprenderan os conceptos de límite, por unha parte, nin de derivada pola outra. A exercitación no cáculo rutineiro de límites e derivadas en detrimento da docencia e aprendizaxe dos conceptos que os soportan impide que os alumnos os comprendan". Deste caso non culpa só ao profesorado de secundaria pois afirma que "deste erro didáctico en boa parte son responsables as universidades, xa que nas PAU optouse por unha proposta exclusiva de exercicios de aplicación en detrimento de desenvolvementos teóricos"

• A pesar de que no libro aparecen bastantes exemplos para ilustrar os distintos tipos de erro non aparece o seguinte, que entendo que caería dentro dos do tipo "erro de notación" que é o que se produce ao usar notacións inadecuadas. Todos escribimos así a fórmula fundamental da trigonometría: $sen^{2}A+cos^{2}A=1$, claro que sabemos que cando escribimos $sen^{2}A$ queremos dicir $\left ( senA \right )^{2}$. A notación habitual pode levar ao alumnado a pensar que unha expresión como $sen^{2}$ ten sentido en si mesma. 

• O "erro de interdisciplinariedade" prodúcese cando un contido que forma parte doutra disciplina se presenta de forma moi distinta. Aquí Tomás Ortega ofrece un exemplo da materia de debuxo linear. A min o primeiro que se me pasou pola mente foi o concepto de derivada e o seu uso e notación en física. Cando se presenta o difícil concepto de derivada creo que cómpre facelo sen restrixirse ao ámbito puro das matemáticas. É o suficientemente complexo e importante como para que teñamos que ofrecer o marco histórico da súa xestación. Como mostra da súa versatilidade penso que debemos ilustrar con algún exemplo de aplicación na física. Introducir tamén a notación para as derivadas que se usa nas aulas de física pode sobresaturar ao alumnado cando se teña que enfrontar a este concepto pero este risco ten, en compesación outras vantaxes obvias. Unha delas, a xa citada de que eses exemplos físicos ilustran a capacidade desta nova ferramenta. Outra é a do recoñecemento nas clases de física do xa adiantado nas de matemáticas.