O problema bovino de Arquímedes. O problema histórico das vacas de Galicia
Andrés VentasSantiago de Compostela
O Problema bovino debido a Arquimedes [Wiki] é un problema complicado cun enunciado moi simple.
Os problemas de sistemas de ecuacións con solucións enteiras son chamados diofantinos [Wiki] e usualmente teñen esa característica, un enunciado simple e unha solución complicada.
Para máis marabilla, o enunciado está escrito en forma de poesía e o texto foi descuberto en 1773 nunha biblioteca da Alemaña.
A cuestión trata de resolver cantas unidades de gando tiñan Faetusa e Lampetia, fillas do Deus Helios,na illa de Trinacia (actual Sicilia), relato que aparece na Odisea.
Para iso propón 7 ecuacións simples con 8 incógnitas. E dous enunciados con dúas relacións a maiores que debe satisfacer a nosa solución.
Isto levaranos a un conxunto infinito de solucións, pero a que nos interesa é a solución fundamental, a máis pequena. O resto de solucións saen mediante unha simple recorrencia.
E como aperitivo cómpre dicir que a solución fundamental, a pequeniña de todo, ten \(206545\) díxitos, mais ou menos un número que ocupa \(30\) follas.
O texto orixinal non contiña a solución, subpoño que Arquímedes era capaz de coñecela, aínda que fose en forma compacta.
Na era moderna, o primeiro en dar unha solución parcial foi A. Amthor en 1880 , sabendo o número de díxitos e os tres primeiros: \(7.76 \cdot 10^{206544}\).
A primeira solución completa foi obtida por dous computadores en 1965 , porque como digo eu cando me consultan, que teño que verificar contas de díxitos unha chea de veces, quen se atreve a obter unha solución manual? e cando levas escritas 20 follas poñerte a repasar!!.
As ecuacións expresadas na poesía pódense resumir do seguinte xeito:
Os bois brancos (b) son \(\dfrac{1}{2}\) máis \(\dfrac{1}{3}\) dos negros (n) e a sumar cos amarelos (a).
Os bois negros son \(\dfrac{1}{4}\) máis \(\dfrac{1}{5}\) dos pintos (p) e a sumar cos amarelos.
Os bois pintos son \(\dfrac{1}{6}\) máis \(\dfrac{1}{7}\) parte dos brancos e a sumar os amarelos.
As vacas brancas (B) son \(\dfrac{1}{3}\) máis \(\dfrac{1}{4}\) da suma dos bois negros e as vacas negras (N).
As vacas negras son \(\dfrac{1}{4}\)máis \(\dfrac{1}{5}\) da suma dos bois pintos máis as vacas pintas (P).
As vacas pintas son\(\dfrac{1}{5}\) máis \(\dfrac{1}{6}\) da suma dos bois amarelos máis as vacas amarelas (A).
As vacas amarelas son \(\dfrac{1}{6}\) parte máis \(\dfrac{1}{7}\) da suma dos bois brancos máis as vacas brancas.
E para a segunda parte os enunciados son:
(1) Cando se xuntan no campo os bois brancos e os negros forman un cadrado.
(2) Ao choer os bois amarelos e os pintos, primeiro un, despois dous, despois tres e así sucesivamente de modo que no final forman un triangulo.
Escribamos as \(7\) primeiras ecuacións:
\(eq1: b =\Big(\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{3}\Big) n + a.\)
\(eq2: n = \Big(\dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{5}\Big) p + a.\)
\(eq3: p =\Big(\dfrac{1}{6} + \dfrac{1}{7}\Big) b + a.\)
\(eq4: B = \Big(\dfrac{1}{3} + \dfrac{1}{4}\Big) (n + N).\)
\(eq5: N = \Big(\dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{5}\Big) (p + P).\)
\(eq6: P = \Big(\dfrac{1}{5} + \dfrac{1}{6}\Big) (a + A).\)
\(eq7: A = \Big(\dfrac{1}{6} + \dfrac{1}{7}\Big)(b + B).\)
alias(k, \%r1);
declare( b, integer, n, integer, p, integer, a, integer, B, integer, N, integer, P, integer, A, integer);
define(solucion(k), linsolve ([ eq1, eq2, eq3, eq4, eq5, eq6, eq7], [ b, n, p, a, B, N, P, A]) );
solucion(k);e con este código conseguimos,
\(b = 10366482 k. \)
\( n = 7460514 k. \)
\( a = 4149387 k. \)
\( p = 7358060 k. \)
\( B = 7206360 k. \)
\( N = 4893246 k. \)
\( A = 5439213 k. \)
\( P = 3515820 k. \)
Na segunda parte temos:
(1) \(10366482 k + 7460514 k = \text{un cadrado}\), que factorizado obtemos \(2^2(3)(11)(29)(4657) k = \text{un cadrado}\), por tanto \(k\) debe ser da forma \(k = (3)(11)(29)(4657) y^2\)(seguimos tendo unha variable \(y\) enteira que dá infinitas solucións).
(2) \(a + p = \text{número triangular}\). Os números triangulares son súper célebres, na enciclopedia das secuencias [A000217, Oeis] podedes consultar unha chea das súas propiedades e artigos sobre eles: \(\{0, 1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45, 55, \ldots\}\)
Unha das súas propiedades é que verifican a fórmula \(\dfrac{t(t+1)}{2}\) e por tanto a nosa ecuación convértese en \(a + p = (3)(11)(29)(4657) y^2 = \dfrac{t(t+1)}{2}\).
Agora temos \(t= \dfrac{-1 \pm \sqrt{1 + 8 a p} }{2}\).
E para que esta ecuación sexa un número enteiro, que é o que son as vacas, números enteiros, temos que o discriminante da raíz debe ser un cadrado perfecto \(x^2\) e por tanto temos \((3)(11)(29)(4657) y^2 + 1 = x^2\).
As ecuacións de Pell son do tipo \(x^2 - Dy^2 = 1\), e teñen solución para todo \(D\). Por tanto ao final o noso problema redúcese a solucionar unha ecuación de Pell:
\(x^2 - (3)(11)(29)(4657) y^2 = 1\).
Ata mediados do século pasado estas ecuacións resolvíanse mediante os converxentes da fracción continua , (\(\textit{fc}\) para abreviar) de \(\sqrt{D}\), (onde a solución fundamental, \((x_0, y_0)\), serían o numerador e denominador do converxente anterior ao período da \(fc\)) , mais resulta que para un número tan grande a \(fc\) ten centos de miles de coeficientes.
Amthor descubriu un xeito de simplificar a \(fc\) correspondente a este problema e deixou unha \(fc\) de só \(92\) termos. A simplificación do Amthor baséase na relación entre unha \(fc\) de \(D\) e a \(fc\) reducindo os factores de \(D\) maiores a \(1\).
Hoxe en día hai máis técnicas para resolver a ecuación de Pell : infraestrutura, números suaves, cónicas e números p-adicos.
Co sistema de fraccións continuas de Amthor conseguimos unha solución fundamental desta ecuación de Pell con valor
\(x_0 = 185892 \ldots 663490 \text{ (con \(103265\) díxitos)} \)
Se imos para atrás e substituímos este valor de \(y_0=y\) na ecuación de \(a + p\) conseguimos o \(k\) mínimo.
Substituímos ese \(k\) nos oito tipos de gando e sumando temos un valor de
\(77602714 \ldots 55081800, (\text{con \(206545\) díxitos} )\).
O problema histórico das vacas de Galicia. Ecuación de Pell negativa
Agora temos que no \(2019\) a Xunta de Galicia fixo unha estimación estatística sobre o número de vacas nacidas en Galicia desde a época do reino suevo, pero resulta que o cálculo require a solución de unha ecuación de Pell negativa.
A ecuación de Pell negativa ten a forma \(x^2 - Dy^2 = -1\) tendo a propiedade de que que non calquera \(D\) ten solución. E isto dificulta a súa resolución.
Segue a ser un problema aberto das matemáticas saber que \(D\) teñen solución na Pell negativa, mais os achegamentos a esa solución ou son inefectivos ou son incompletos:
- Condición necesaria e suficiente é que o período da \(fc\) da raíz de D sexa impar (inefectiva porque ten a mesma dificultade que calcular a propia solución). (As \(fc\) de raíces cadradas cuxo resultado non é un racional son infinitas mais periódicas).
- A norma do converxente da posición central da \(fc\) de Pell positiva é \(\pm 2\) ou divide a \(D\), pero estamos nas mesmas, hai que calcular a \(fc\). De feito ese valor central da norma debe ser \(-1\).
- Condición necesaria que os factores de \(D\) sexan primos de tipo \(4k+1\) e ao máximo un único \(2\). Non é condición suficiente porque hai factorizacións con factores \(4k+1\) sen solución \(-1\). Por exemplo \(D= 5\cdot 13\) ten solución negativa e \(D= 5\cdot 61\) non a ten.
Os resultados da estimación estatística eran os seguintes:
Estimación sobre explotacións na Fonsagrada (F), Lalín(L), Mazaricos(M), Arzúa(A), A Pastoriza(P), Negreira(N), A Veiga(V), Cospeito(C).
As vacas da Fonsagrada son \(\dfrac{24}{53}\) veces as de Lalin e sumamos as de Arzúa.
As vacas de Lalín son \(\dfrac{16}{41}\) veces as de Mazaricos e sumamos as de Arzúa.
As vacas de Mazaricos son \(\dfrac{4}{61}\) veces as da Fonsagrada e sumamos as de Arzúa.
As vacas da Pastoriza son \(\dfrac{29}{154}\) veces a suma das de Lalín e Negreira.
As vacas de Negreira son \(\dfrac{101}{154}\) veces a suma das de Mazaricos e A Veiga.
As vacas da Veiga son \(\dfrac{113}{650}\) veces a suma das de Arzúa e Cospeito.
As vacas de Cospeito son \(\dfrac{613}{90}\) veces a suma das da Fonsagrada e A Pastoriza.
(1) As vacas de Negreira son un cadrado.
(2) As vacas da Fonsagrada son un cadrado máis 1.
As fraccións das \(3\) primeiras ecuacións multiplican a un termo e despois suman outro, mentres que as \(4\) últimas multiplican a suma dos dous termos.
E aquí vos deixamos para que o intentedes resolver con unha pista, a solución da Pell negativa (as vacas da Fonsagrada) \(y_0=3051285636318642680675457304373\) con \(31\) díxitos.
A suma total das vacas de Galicia son \(985481295353643722960698590096411004549094540270653746267983358392\) con \(67\) díxitos.
Tendo en conta que o número de átomos da Terra ven sendo un número de 50 díxitos, non temos tantas vacas coma Faetusa e Lampetia mais chégalle ben.
Bibliografia
- Alpertron, Continued Fraction calculator
- Amthor, A., Krumbiegel, B. Das Problema Bovinum des Archimedes, Historischliterarische Abteilung der Zeitschrift fur Mathematik und Physik 25 (1880), 121–136, 153–171.
- Ecuación diofantina
- Lenstra, H. W. Jr. (2002), "Solving the Pell Equation" Notices of the American Mathematical Society, 49 (2): 182–192, MR 1875156
- A Computer Algebra System Maxima
- Enciclopedia online dos números enteiros Oeis
- Wiki Archimedes's cattle problem
- Wiki Ecuação de Pell
Ningún comentario:
Publicar un comentario