Intuición esganada cunha corda

Hai algunhas cuestións que nos chaman moito a atención por daren lugar a resultados sorprendentes, e se os cualificamos de sorprendentes é porque desafían a nosa experiencia ou a nosa intuición. Ese é o caso do problema do "cinto da Terra" que xa tratamos noutra ocasión ao recoller un artigo de Jaime Poniachik na revista Cacumen. A cuestión era a seguinte:

O cinto da Terra. Imaxinemos un cordel cinguido á Terra sobre o ecuador. Se lle engadimos un metro, vai quedar algo folgado, canto? Axustemos agora outra o cordel arredor dunha laranxa e despois agregámoslle tamén un metro. O sorprendente é que agora a folgura do cinto da laranxa coincide coa da Terra.

A explicación é ben simple. A lonxitude da corda inicial é 2πr. Se lle engadimos un metro a nova lonxitude será $$2\pi r+1=2\pi (r+\frac{1}{2\pi })$$

polo que o raio da corda extendida supera en 1/2π unidades ao raio da circunferencia inicial independentemente do valor do raio. No caso que nos ocupa, como incrementamos a lonxitude nun metro, o raio aumentaría uns 16 cm tanto no caso da Terra como no da laranxa. Se nos pediran un valor para este problema antes de ver a solución seguramente aventurariamos unha cantidade milimétrica pois,a priori, dá a impresión de que engadir un metro a unha cantidade tan desproporcionadamente maior como a da circunferencia terrestre (uns 40 000 km) vén sendo tanto como non engadir nada. 

Tratemos agora un problema cunha fasquía moi semellante. Segundo conta Zhúkov no seu libro El omnipresente número π (Editorial URSS, 2004), o profesor Anatoli  Dimítrievich Myshkis tivo a simpática idea de propoñer o seguinte problema nunha das súas clases:

Tíralle da corda. Supoñamos que o globo arredor do globo terráqueo se cingue unha corda inextensible. Despois de alongala un metro, tómase a corda por un punto e levántase da superficie da Terra ata a maior altura posible. Determínese esa altura.

O ideal sería que o lector ofrecese unha resposta, mesmo a escribise antes de seguir lendo a solución a esta espiñenta cuestión e que recollo esencialmente do citado libro.

Sexa OA=OC=OC'=R o raio terrestre, AB=a, AC=h e α=∠AOB. De todas estas cantidades só coñecemos R. O triángulo AOB é rectángulo en A, de aí que $$tan\alpha =\frac{a}{R}[1]$$

Aplicando o teorema de Pitágoras:$$\begin{gathered} {(R+h)}^2=R^2+a^2 \\ {R}^2+2Rh+h^2=R^2+a^2 \end{gathered}$$

 Operando queda esta ecuación de segundo grao en h: $$\begin{gathered} h^2+2Rh+-a^2=0 \\ h=\frac{-2R\pm \sqrt{4R^2+4a^2}}{2}=-R\pm \sqrt{R^2+a^2} \end{gathered}$$

Tomando o resultado positivo e despois multiplicando e dividindo por R:  $$h=\sqrt{R^2+a^2}-R=R[\sqrt{1+{\left(\frac{a}{R}\right)}^2}-1][2]$$

Só nos quedaría determinar $a$, ou neste caso,$\frac{a}{R}$. A cuestión non é simple. Teremos que ir máis alá da manipulación alxébrica e botar man de resultados do cálculo diferencial.

A lonxitude, en radiáns, do  arco AOC é $\pi \alpha$ e a da semicircunferencia CC' é $\pi R$, polo tanto o a medida do arco AC'  será a súa diferenza $\pi R-\pi \alpha$. A lonxitude da corda desde B, pasando por A ata C':$$a+\pi R-\pi \alpha =\frac{2\pi R+1}{2}=\pi R+\frac{1}{2}$$

Simplificando esta expresión e dividindo por R:$$\begin{gathered} \frac{a}{R}-\frac{R\alpha }{R}=\frac{1}{2R} \\ \alpha =\frac{a}{R}-\frac{1}{2R} \end{gathered}$$

Substituíndo en [1]:$$tan\left(\alpha \right)=tan(\frac{a}{R}-\frac{1}{2R})=\frac{a}{R}[3]$$

Como $\alpha$ ten un valor moi pequeno e unha boa aproximación da tanxente na veciñanza do cero é a serie de Taylor temos que $$tan\left(\alpha \right)=\alpha +\frac{1}{3}{\alpha }^3++ϵ$$

Aplicando esta relación a [3] temos que $$\frac{a}{R}-\frac{1}{2R}+\frac{1}{3}{(\frac{a}{R}-\frac{1}{2R})}^3+ϵ=\frac{a}{R}$$

$$\begin{gathered} {(\frac{a}{R}-\frac{1}{2R})}^3=\frac{3}{2R}-3ϵ \\ \frac{a}{R}-\frac{1}{2R}=\sqrt[3]{\frac{3}{2R}-3ϵ} \end{gathered}$$

Como comparativamente os valores de $\frac{1}{2R}$ e $3ϵ$ son moi pequenos podemos establecer a seguinte aproximación $$\frac{a}{R}\approx \sqrt[3]{\frac{3}{2R}}$$

Que podemos substituír en [2] para finalmente poder achar o buscado valor de h: $$h\approx R[\sqrt{1+{\left(\sqrt[3]{\frac{3}{2R}}\right)}^2}-1]$$

Como valor de R tomarei o dado pola definición de metro da Academia Francesa: o metro é a dez millonésima parte dun cuadrante de meridiano, isto é, que a circunferencia da Terra será de 40 millóns de metros. É certo que agora sabemos que a Terra non é esférica e que posteriormente aos traballos de medición do meridiano redefiniuse o metro e axustáronse as medidas reais do globo terráqueo. A suposición dun planeta perfectamente esférico e a escolla deste valor para o raio quizais sexa tan romántica como o propio enunciado do teorema. De todas formas non inflúe no resultado final. Para poder achalo na última fórmula non nos serve a calculadora, temos que botar man dunha folla de cáculo ou do Wolphram Alpha. O resultado final é o inesperado valor h≈121 m

Agora que temos destrozada a intuición quizais poidamos abordar con mellor disposición a seguinte proposta que recollo do mesmo artigo de Poniachik nomeado anteriormente e que é unha adaptación dun problema referido por Ross Honsberger no libro The Mathematical Gardner (David A. Klamer, 1981). 

O riel dilatado. Consideremos un riel recto AB de 500 metros de lonxitude fixado nos extremos. A calor do verán prodúcelle unha dilatación de 2 metros, observándose unha xoroba de altura x. Estímese este valor se a dilatación é simétrica.

Como na cuestión anterior pídese unha resposta baseada na intuición antes de ter a tentación de botarlle un ollo á resposta. Comprobaremos ademais que esta proposta resulta moi acaída para ser tratada nun curso da ESO.

Xa que nos piden unha estimación imos considerar que a dilatación está formada por rectas. Así teremos dous triángulos rectángulos de catetos 250 e x cunha hipotenusa de 251 metros. Apliquemos o teorema de Pitágoras (e de paso, repasemos as chamadas identidades notables).$$x=\sqrt{{251}^2-{250}^2}=\sqrt{(251+250)(251-250)}=\sqrt{501}$$

Creo que nin cómpre unha calculadora para decatarse de que o riel alcanzou unha altura de case 71 m.