Páginas

mércores, 13 de xullo de 2022

Dobrando papel. Dobrando o cubo

Na anterior entrada explicamos en que consiste a dobrez de Haga. Se temos un papel cadrado, desprazamos un dos vértices superiores P, ata facelo coincidir co segmento inferior AB. Isto determina unha liña sobre o papel. Aplicando habilmente este tipo de dobrez podemos construir calquera número racional sobre o papel. Pero podemos ir moito máis alá. 

Para saber ata onde poder chegar estableceuse un sistema de axiomas que establecen todas as posibilidades de pregado. Son os 7 axiomas de Huzita-Hatori. Sobre esta base demostrouse que mediante dobreces poden realizarse as operacións aritméticas da suma, o produto, a división, a raíz cadrada e a raíz cúbica. De aí que o conxunto dos números construtibles mediante origami sexa un subcorpo dos complexos, en concreto o menor corpo que contén aos quebrados e todas as raíces cadradas e cúbicas destes. 

Mediante a papiroflexia podemos realizar moitas máis construcións que con regra e compás. Un exemplo significativo é o problema da duplicación do cubo. Dado un cubo trátase de que obteñamos outro de volume duplicado. Se o cubo orixinal ten aresta a, o cubo de volume dobre debe ter aresta 23a. Polo tanto o obxectivo é obter mediante técnicas de papiroflexia o valor 23. Lembremos que isto non pode conseguirse usando compás. 

A solución que reproducimos aquí é a resposta a un reto proposto na revista canadiana Crux Mathematicorum (páx. 284 e 285 do nº 12 do mes de decembro de 1986).

Comezaremos dividindo o papel en terzos. Xa viramos como obter calquera fracción na entrada anterior. De seguido realizamos unha dobrez de Haga facendo coincidir P co segmento inferior AB pero de forma que o punto Q fique sobre o outro segmento vertical. O reto consistía en obter a razón AP/PB.


Sexa a=AP e 1=PB. Aplicando o teorema de Pitágoras no triángulo rectángulo PFB:
(1+ax)2=12+x21+x2+a2+2a2x2ax=1+x22ax+2x=a2+2ax=a2+2a2a+2[1]
Agora fixémonos no triángulo PQR:
PQ=1+a3PR=a13(1+a)=2a13
Como os triángulos PQR e PBF son semellantes:
PRPQ=BFPF 2a131+a3=x1+ax
2a11+a=x1+ax(2a1)(1+ax)=x+ax     2a+2a22ax1a+x=x+ax2a2+a1=3axx=2a2+a13a[2]
Igualamos [1] e [2] e resolvemos a cuestión:
a2+2a2a+2=2a2+a13a3a3+6a2=4a3+2a22a+4a2+2a2a3=2

Ningún comentario:

Publicar un comentario