Un pequeno problema de optimización

Nas clases de matemáticas sucede algo que case non pasa nas outras. É moi fácil reducilas a unha lista de receitas. Co avance do curso e dos anos vanse acumulando estas receitas ata a saturación. Finalmente non temos nada de matemáticas e só fica unha lista de algoritmos sen sentido. Moitas veces o paso dunhas matemáticas sustentadas na razón, a unhas matemáticas puramente algorítmicas é moi sutil. Non creo que haxa unha forma boa de explicar as matemáticas ben, pero si que a hai de facelo mal. A mellor forma de coller o mal camiño é non reflexionar e non ter unha idea bastante clara das mensaxes que hai que transmitir.

Xa teño contado nalgunha ocasión que tiven uns profesores de matemáticas moi bos. A isto engadíseselle a alegría de que me gustaba a materia. Por iso gozaba moito das clases; tanto que teño vívidos recordos de impresións e pensamentos que tiven daquela. Todo isto axudoume moito despois. Lembro, por exemplo o seguinte problema de optimización proposto nunha clase de 3º de BUP, ano 1984. Por contextualizar, antes xa estudáramos as derivadas das funcións elementais (con demostracións incluídas). Tamén fixéramos exercicios de representación gráfica.

No 1984 había clases de matemáticas en galego

Aínda que penso que se ve na imaxe, transcribo o enunciado:

Calculade dous números que sumen 10 e o producto sexa máximo

[Nota ortográfica: "producto" é da norma RAG anterior a 2003]. Para resolvelo basta con trasladar o enunciado a unha linguaxe matemática para permitir a súa manipulación dentro do contexto do traballo que estabamos a realizar: temos que achar dous valores $x_{1}$ e $x_{2}$ tales que o seu produto $P_{2}=x_{1}\cdot x_{2}$ sexa máximo baixo a condición de que a súa suma sexa 10. Recordo perfectamente que, a pesar de que xa fixéramos unha boa colección de exercios de optimización de carácter xeométrico, non sabía como abordar este problema. De todas formas tiña a solución porque fixera o seguinte razoamento: "1 e 9 suman 10, o seu produto é 9; 2 e 8 suman 10 e o seu produto é 16; 3 e 7 suman 10 e o seu produto é 21; 4 e 6 teñen de produto 24. Finalmente $5\cdot 5=25$ é a solución.[Nese momento asaltoume a dúbida] E os decimais?... 4,5 e 5,5 teñen de produto 24,75. Entón, parece que a solución é $5\cdot 5=25$."

Con todo, non estaba contento con ese método. Sabía que non verificara máis que uns poucos casos. Por outra banda a solución dada posteriormente polo profesor deixárame algo decepcionado. Parecíame demasiada parafernalia para unha conclusión tan obvia.

A cuestión é: por que non fun quen de resolver o problema coas ferramentas que tiña na miña man e que xa aparendera noutros problemas de optimización? Incluso máis, é evidente que, dentro dos problemas de optimización, este problema era máis sinxelo que outros xa traballados. 

A resposta está no tipo de problema. Os outros problemas de optimización que tratados eran de carácter xeométrico. O bloqueo viña simplemente do aspecto do problema. Aquí aprendín que é importante afrontar problemas de tipos moi distintos. Só un entrenamento de resolución de cuestións variadas vai poder levarnos a "facer nosas" as técnicas que se están a aprender. Co tempo tamén me decatei que o basto razoamento que fixera eu non era práctica común entre a xeneralidade do alumnado. Algúns só buscan o algoritmo que hai que aplicar neste caso e non fan tentativas de casos particulares. Aquí aprendín que, aínda que explique a técnica para resolver un problema, tamén debo relatar divagacións coma se non soubese resolvelo. Como exemplo, podo contar en alto o mesmo que escribín antes, aquilo que pensaba cando intentaba resolver o problema anterior. En xeral debo preguntarme en alto: coñezo algún problema semellante?, que pasa se aquí poño estes outros números?, e que pasa nos casos extremos?, convén facer esquemas, táboas,...?, que tipo de notación debo escribir?. E sempre: que é o que sei? que é o que quero conseguir? Podo relacionar unha cousa coa outra?

Unha ensinanza máis é que debo deixar tempo na aula ao alumnado para que intente resolver os problemas. Non ten sentido que o profesor ametralle aos pobres discentes nunha restra de demostracións de habilidade en problemas que sabe facer sobradamente. 

Finalmente, tamén prodemos aprender moito reflexionando sobre a solución dada. Case sempre está na nosa man abstraer algo máis, xeneralizar.... Por exemplo convén considerar o seguinte problema:

Calcula dous números que sumen S e que teñan produto máximo

Sexa $P=x_{1}\cdot x_{2}$ o valor a maximizar. Podemos aproveitar a condición $S=x_{1}+x_{2}$ facendo $x_{2}=S-x_{1}$. Así o produto só depende dunha variable: $P_ {2}(x_{1})=x_{1}\cdot \left (  S-x_{1}\right )$ e podemos aplicar o procedemento habitual de derivación:

$$P'_{2}(x_{1})=\left (  S-x_{1}\right )-x_{1}=S-2x_{1}\\P'_{2}(x_{1})=0 \;\;\; S=2x_{1}\Rightarrow x_{1}=\frac{S}{2}\Rightarrow x_{2}=x_{1}=\frac{S}{2}\\P_{2}=\frac{S}{2}\left ( S-\frac{S}{2} \right )=\frac{S}{2}\cdot \frac{S}{2}=\left ( \frac{S}{2} \right )^{2}$$

Neste punto estamos en boa disposición para abordar un problema máis xeral.

Determina n números que sumen S e teñan produto máximo

Pensemos primeiro no caso de 3 números: $x_{1}+x_{2}+x_{3}=S$. Por  un momento supoñamos que coñecemos o primeiro valor, $x_{1}$. Entón o problema reducirías e a determinar os outros dous valores baixo a condición de que a súa suma fose $x_{2}+x_{3}=S-x_{1}$. Entón o produto:

$$P_{3}(x_{1})=x_{1}x_{2}x_{3}=x_{1}P_{2}\left ( \frac{S-x_{1}}{2} \right )=x_{1}\left ( \frac{S-x_{1}}{2} \right )^{2}$$

Derivando: $P'_{3}(x_{1})=\left ( \frac{S-x_{1}}{2} \right )^{2}-\left ( \frac{S-x_{1}}{2} \right )x_{1}$

Se igualamos a derivada a 0 obtemos:

$$\left ( \frac{S-x_{1}}{2} \right )^{2}=\left ( \frac{S-x_{1}}{2} \right )x_{1}$$

Dividindo pola expresión entre parénteses obteremos

$$\left ( \frac{S-x_{1}}{2} \right )=x_{1}\\x_{1}=\frac{S}{3}$$

Entón $x_{2}+x_{3}=\frac{2S}{3}$, e, polo visto no caso de dous números $x_{2}=x_{3}=\frac{S}{3}$

Velaí que o produto máximo no caso de n=3 será $P_{3}=\left ( \frac{S}{3} \right )^{3}$

Xa temos todo preparado para a indución. Supoñamos que temos n-1 números que teñen unha suma dada S: $x_{1}+x_{2}+...+x_{n-1}=S$ e que o seu produto máximo se dá cando $x_{1}=x_{2}=...=x_{n-1}=\frac{S}{n-1}$. Entón nese caso o valor dese produto máximo será $P_{n-1}=\left ( \frac{S}{n-1} \right )^{n-1}$. Vexamos que se verifica o caso n-ésimo.

Partamos de n números tales que $x_{1}+x_{2}+...+x_{n-1}+x_{n}=S$. Podemos aplicar a hipótese de indución aos n-1 últimos números que suman $x_{2}+...+x_{n-1}+x_{n}=S-x_{1}$. Neste caso o produto máximo será:

$$P_{n}(x_{1})=x_{1}P_{n-1}\left ( S-x_{1} \right )=x_{1}\left ( \frac{S-x_{1}}{n-1} \right )^{n-1}$$

Derivando e igualando a derivada a cero:

$$P'_{n}(x_{1})=\left ( \frac{S-x_{1}}{n-1} \right )^{n-1}-\left ( \frac{S-x_{1}}{n-1} \right )^{n-2}\cdot x_{1}\\\left ( \frac{S-x_{1}}{n-1} \right )^{n-1}=\left ( \frac{S-x_{1}}{n-1} \right )^{n-2}\cdot x_{1}\\ \frac{S-x_{1}}{n-1} =x_{1}\\S-x_{1}=nx_{1}-x_{1}\\x_{1}=\frac{S}{n}$$

Entón:

$$P_{n}=\frac{S}{n}\left ( \frac{S-\frac{S}{n}}{n-1} \right )^{n-1}=\frac{S}{n}\left ( \frac{S\left ( n-1 \right )}{n\left ( n-1 \right )} \right )^{n-1}=\frac{S}{n}\left ( \frac{S}{n} \right )^{n-1}=\left ( \frac{S}{n} \right )^{n}$$

Recollín esta derivación do libro de Paul J. Nahin, When Least Is Best, que me gustou polo enrevesada que é pois temos a alternativa de facer outro razoamento. Volvamos ao caso de cando tiñamos dous números $x_{1}$ e $x_{2}$ e reflexionemos por que teñen que ser iguais para poder obter un produto máximo. Se fosen distintos, consideremos a súa media $x_{m}$. Entón $x_{1}=x_{m}-d$ e $x_{2}=x_{m}+d$. Ademais $x_{1}+x_{2}=x_{m}+x_{m}$. Pola contra o seu produto 

$$x_{1}\cdot x_{2}=\left ( x_{m}+d \right )\left ( x_{m}-d \right )=x_{m}^{2}-d^{2}<x_{m}^{2}$$

Polo tanto, se queremos maximizar o produto, non podemos coller números distintos. Esta mesma razón serviría para cando teñamos n números. Se un par deles fosen distintos poderiamos substituílos pola súa media, obtendo un produto maior. 

Xa sei por que me gustan as matemáticas. Porque cando me mergullo nelas síntome como un adolescente intentando resolver un pequeno problema de optimización.