Páginas

martes, 15 de xuño de 2021

Cotanxentes e arcotanxentes

Cando abordamos o estudo da trigonometría na secundaria poden tratarse determinadas funcións pouco agradecidas como as dadas polas razóns inversas do seno, coseno e tanxente. Unha vez presentadas estas, para que estudar a cosecante, secante e cotanxente? Pola propia definición destas ultimas aparentan superfluas. En todos os meus anos de docente apenas lembro outra cousa que dar as súas definicións para un uso esporádico. Nunca expliquei a representación gráfica destas razóns inversas. Para non expulsalas por completo, tería sentido usalas nalgún exercicio nos que o seu papel non sexa irrelavante. No temario de Matemáticas I de 1º de bacharelato trátanse as fórmulas  trigonométricas dos ángulos suma e resta. Para comprobar se o alumnado as comprendeu ben pódeselle pedir que deduzan fórmulas como a seguinte
cot(A+B)=cotAcostB1cotA+cotB[1]
Hai outro grupo de funcións que teñen únicamente un valor instrumental. Estoume a referir ás inversas das funcións trigonométricas: o arcoseno, o arcocoseno e o arcotanxente. É imprescindible coñecelas para a resolución de triángulos pero acaban reducidas a unha tecla na calculadora.
Ou non?
Na canle de youtube de Michel Penn propúxose un problema recollido dun concurso de matemáticas húngaro do 1959. Afórrovos a publicidade do Youtube pois recollo de seguido o seu enunciado:
Consideremos un poste vertical sobre un plano horizontal. A distancia de tres puntos ao poste é de 100 m, 200 m e 300 m. A suma dos ángulos de elevación deses puntos ao extremo superior do poste é de 90 graos. Acha a altura do poste.

Vou reproducir a solución de Michael Penn. Sexan A, B e C o ángulos de elevación do poste desde os tres puntos que distan 100 m, 200 m e 300 m respectivamente da súa base. As súas cotanxentes serán:
cotA=100hcotB=200hcotC=300h
Agora ben, SeA+B+C=90cotA+cotB+cotC=cotAcotBcotC[2]
100h+200h+300h=100h200h300h
De onde facilmente obtemos o valor buscado:
600h=6000000h3h2=10000h=±100
Claro que teriamos que xustificar a fórmula dada en [2]. Para iso poderiamos partir da fórmula da cotanxente dunha suma:
cot(A+B)=cotAcostB1cotA+cotB[1]
Que inmediatamente nos leva esta outra de suma de cotanxentes:
cotA+cotB=cotAcostB1cot(A+B)
Agora ben, 
A+B=90Ccot(A+B)=cot(90C)=cos(90C)sen(90C)=senCcosC=tanC
e substituíndo en [1]:
cot(A+B)=cotAcotB1cotA+cotB=cotAcotB1tanC=cotAcotBcotCcotC

Cando vin o problema pasoume pola mente, coma un lóstrego, esta outra fórmula de máis abaixo. É unha desas cousas que ves algunha vez e que te chaman a atención pero que deixas aparcadas pensando: é bonita, aínda que non vexo que nunca a vaia utilizar.
arctan1+arctan2+arctan3=180º
Quizais o mellor desta fórmula sexa a súa demostración. Sobran as palabras:
Volvendo outra vez ao problema húngaro, agora desde a perspectiva desta nova achega, sexan A'=90-A, B'=90-B e C'=90-C os ángulos complementarios de A, B e C. A súa súma A'+B'+C'=180º. Basta que o valor de h=100 para que tanA=1, tanB=2 e tanC=3.

Ningún comentario:

Publicar un comentario