A recta de Simson: a película.2

Na anterior entrada comenzáramos a comentar esta subxugante película de Trevor Fletcher do ano 1953. Continuemos.

O triángulo de Morley fóra de escena
Jakob Steiner (1796-1873) dálle o seu nome á deltoide pois foi el que demostrou que é a envolvente das rectas de Wallace-Simson dun triángulo dado ABC. A circunferencia de Feuerbach é tanxente en tres puntos á deltoide.
Na seguinte applet de geogebra quería que se puidera ver dinámicamente a deltoide de Steiner ao ir modificando os vértices do triángulo. Para elaborala foime fundamental un resultado que non aparece na película de Fletcher, xa que o achou Miguel de Guzmán no ano 2001. Estoume referindo ao seguinte teorema:

O triángulo de Morley e o que forman os vértices da deltoide de Steiner están xirados 180º. En particular os lados deses dous triángulos son paralelos.

FDE é o triángulo de Morley
de ABC

Claro que quizais haxa que explicar o resultado de Frank Morley (1860-1937),  que é o que nos dá a definición do triángulo que leva o seu nome:

Teorema de Morley. Dado un trigángulo calquera ABC, o triángulo formado pola intersección dos trisectores adxacentes dos ángulos de ABC é equilátero.

Tendo en conta este teorema e que o centro da deltoide coincide co do círculo de Feuerbach (de raio r) queda ben determinada a posición da deltoide. Ademais a deltoide pode inscribirse nunha circunferencia de raio 3r. A circunferencia circunscrita ao triángulo terá raio 2r. Ter presente que na seguinte aplicación podemos mover os vértices do triángulo.
[minuto 1:22]
A deltoide de Steiner
Steiner non só descubriu a deltoide senón que tamén demostrou que esta curva era unha hipocicloide que se xenera ao rodar unha circunferencia de raio r dentro doutra de raio 3r. Tamén se pode xenerar da mesma maneira facendo rodar unha circunferencia de raio 2r. O valor de r é o do raio da circunferencia de Feuerbach. Todo isto podémolo ver na seguinte aplicación.
[minuto 2:08]
As ecuacións paramétricas da deltoide serán:

$$\begin{cases} x=r\left( 2cost+cos2t \right) \\ y=r\left( 2sent-2sen2t \right) \end{cases}$$


Escena final
Por simetría é fácil de ver que o simétrico dun punto P nunha circunferencia de raio R respecto dunha corda AB, estará noutra circunferencia do mesmo raio e coa mesma corda. Ademais se a circunferencia de partida é a exinscrita ao triángulo ABC e tomamos como corda un dos lados do triángulo, poñamos AB, a circunferencia simétrica á exinscrita respecto de AB pasará polo ortocentro. De aí que as circunferencias que pasan polo ortocentro e por dous puntos do triángulo, sexan congruentes á exinscrita.
Na escena final veremos ao punto P como ortocentro dun triángulo congruente con ABC, xirado 180º: A'B'C'. Cando P coincide cun dos vértices de ABC, poñamos que sexa A, a recta de Wallace-Simson coincidirá coa altura que parte de A no triángulo ABC (e de A' no triángulo A'B'C'). Cando P é diametralmente oposto na circunferencia circunscrita a un dos vértices, poñamos A, a recta de Wallace-Simson coincidirá co lado BC (=B'C' por ser tamén diametralmente oposto na circunferencia cincunscrita de A'B'C'). Tamén podemos ver como o triángulo así construído A'B'C' mantén os seus puntos sobre as tres circunferencias congruentes á exinscrita. Mareante.
[minuto 5:58]
E xa que estamos metidos en fariña, dado un punto P na circunferencia exinscrita a un triángulo ABC, acabamos de falar do simétrico respecto dun dos lados AB. Chamémoslle P₁ . Consideremos os simétricos de P respecto de BC e AC: P₂ e P₃ . Resulta que estes tres puntos son colineares co ortocentro.
A ATM (Association of Teachers of Mathematics) non só puxo á nosa disposición pola arañeira o filme Simson line do que tratamos aquí, pois podemos ver outros dous: The Cardioid e Four point conics Non estaría mal que alguén recollera a luva e perdera o tempo en comentalos. Eu disfrutei moito con este par de entradas xa que tiven a ocasión de facer referencia a unha boa restra de matemáticos: Robert Simson, William Wallace, Karl Feuerbach, Frank Morley, Jakob Steiner e Miguel de Guzmán.