A recta de Simson: a película.2

Na anterior entrada comenzáramos a comentar esta subxugante película de Trevor Fletcher do ano 1953. Continuemos.

O triángulo de Morley fóra de escena
Jakob Steiner (1796-1873) dálle o seu nome á deltoide pois foi el que demostrou que é a envolvente das rectas de Wallace-Simson dun triángulo dado ABC. A circunferencia de Feuerbach é tanxente en tres puntos á deltoide.
Na seguinte applet de geogebra quería que se puidera ver dinámicamente a deltoide de Steiner ao ir modificando os vértices do triángulo. Para elaborala foime fundamental un resultado que non aparece na película de Fletcher, xa que o achou Miguel de Guzmán no ano 2001. Estoume referindo ao seguinte teorema:

O triángulo de Morley e o que forman os vértices da deltoide de Steiner están xirados 180º. En particular os lados deses dous triángulos son paralelos.

FDE é o triángulo de Morley
de ABC

Claro que quizais haxa que explicar o resultado de Frank Morley (1860-1937),  que é o que nos dá a definición do triángulo que leva o seu nome:

Teorema de Morley. Dado un trigángulo calquera ABC, o triángulo formado pola intersección dos trisectores adxacentes dos ángulos de ABC é equilátero.

Tendo en conta este teorema e que o centro da deltoide coincide co do círculo de Feuerbach (de raio r) queda ben determinada a posición da deltoide. Ademais a deltoide pode inscribirse nunha circunferencia de raio 3r. A circunferencia circunscrita ao triángulo terá raio 2r. Ter presente que na seguinte aplicación podemos mover os vértices do triángulo.
[minuto 1:22]
A deltoide de Steiner
Steiner non só descubriu a deltoide senón que tamén demostrou que esta curva era unha hipocicloide que se xenera ao rodar unha circunferencia de raio r dentro doutra de raio 3r. Tamén se pode xenerar da mesma maneira facendo rodar unha circunferencia de raio 2r. O valor de r é o do raio da circunferencia de Feuerbach. Todo isto podémolo ver na seguinte aplicación.
[minuto 2:08]
As ecuacións paramétricas da deltoide serán:

$$\begin{cases} x=r\left( 2cost+cos2t \right) \\ y=r\left( 2sent-2sen2t \right) \end{cases}$$


Escena final
Por simetría é fácil de ver que o simétrico dun punto P nunha circunferencia de raio R respecto dunha corda AB, estará noutra circunferencia do mesmo raio e coa mesma corda. Ademais se a circunferencia de partida é a exinscrita ao triángulo ABC e tomamos como corda un dos lados do triángulo, poñamos AB, a circunferencia simétrica á exinscrita respecto de AB pasará polo ortocentro. De aí que as circunferencias que pasan polo ortocentro e por dous puntos do triángulo, sexan congruentes á exinscrita.
Na escena final veremos ao punto P como ortocentro dun triángulo congruente con ABC, xirado 180º: A'B'C'. Cando P coincide cun dos vértices de ABC, poñamos que sexa A, a recta de Wallace-Simson coincidirá coa altura que parte de A no triángulo ABC (e de A' no triángulo A'B'C'). Cando P é diametralmente oposto na circunferencia circunscrita a un dos vértices, poñamos A, a recta de Wallace-Simson coincidirá co lado BC (=B'C' por ser tamén diametralmente oposto na circunferencia cincunscrita de A'B'C'). Tamén podemos ver como o triángulo así construído A'B'C' mantén os seus puntos sobre as tres circunferencias congruentes á exinscrita. Mareante.
[minuto 5:58]
E xa que estamos metidos en fariña, dado un punto P na circunferencia exinscrita a un triángulo ABC, acabamos de falar do simétrico respecto dun dos lados AB. Chamémoslle P₁ . Consideremos os simétricos de P respecto de BC e AC: P₂ e P₃ . Resulta que estes tres puntos son colineares co ortocentro.
A ATM (Association of Teachers of Mathematics) non só puxo á nosa disposición pola arañeira o filme Simson line do que tratamos aquí, pois podemos ver outros dous: The Cardioid e Four point conics Non estaría mal que alguén recollera a luva e perdera o tempo en comentalos. Eu disfrutei moito con este par de entradas xa que tiven a ocasión de facer referencia a unha boa restra de matemáticos: Robert Simson, William Wallace, Karl Feuerbach, Frank Morley, Jakob Steiner e Miguel de Guzmán.

A recta de Simson: a película.1

Trevor Fletcher foi un profesor de matemáticas londinense que se atreveu a realizar varias películas matemáticas na década dos 50 e 60 do pasado século. Fletcher foi un defensor deste tipo de materiais, chegando a afirmar que se estas películas eran da calidade suficiente, cambiarían os temarios de matemáticas que se ensinarían no futuro. Aquí presento unha desas obras de Fletcher,  "A recta de Simson", un filme subxugante. A miña intención nesta entrada é intentar explicalo. Comencemos cun resultado que xustifica a definición do que será o noso obxecto de estudo:

Teorema de Wallace-Simson. Dado un triángulo ABC, se desde un punto P trazamos perpendiculares aos lados, obteremos o triángulo pedal formado polos tres puntos de corte desas perpendiculares cos lados. Estes tres puntos serán colineares se e só se P está na circunferencia circunscrita ao triángulo ABC.

Na aplicación visulizamos o teorema. Pódense mover os vértices do triángulo. [minuto 0:00]


Na honra do matemático escocés Robert Simson (1687-1768), á recta que contén eses tres pés das perpendiculares chámaselle recta de Simson. A pesar da denominación parece ser que Simson non ten nada que ver coa recta que leva o seu nome e quen realmente publicou (no ano 1799) o primeiro artigo sobre este tópico foi William Wallace (1768-1843), tamén escocés e tamén matemático. Por esta razón, no canto de aludir á devandita recta como atribuída únicamente a Simson, faise referencia a ela normalmente como a recta de Wallace-Simson. Velaquí un primeiro teorema:

As rectas de Wallace-Simson de dous puntos P e P' sobre a circunferencia circunscrita a un triángulo ABC forman un ángulo igual á metade do arco determnado por P e P'

[min 0:40]
A circunferencia dos 9 puntos

Imaxe do libro de Feuerbach
que ilustra o teorema  máis
fermoso da xeometría elemental

Á vista do anterior resultado temos o seguinte corolario:

Se P e P' son dous puntos diametralmente opostos sobre a circunferencia circunscrita a un triángulo ABC, as súas rectas de Wallace-Simson serán perpendiculares. 

Pero o máis curiososo de todo é que o punto de corte destas rectas, M, estará nunha circunferencia moi particular: a circunferencia dos 9 puntos. Esta circunferencia tamén recibe o nome de circunferencia de Feuerbach, en referencia a Karl Wilhelm Feuerbach (1800-1834), irmán do filósofo Ludwing Feuerbach. Aínda que o historiador Morris Kline se refire a el como un mestre, Karl Feuerbach, despois de obter o doctorado exerce como profesor nos Gymnasium alemáns. Foi detido na campaña represiva dos Demagogenverfolgung. Durante a súa estadía na prisión intentou suicidarse dúas veces con graves consecuencias, pois quedou eivado de por vida. Unha vida corta, pero tamén desgraciada, pois padeceu serios transtornos mentais que o incapacitaron para a impartición de clases. Un día acudiu ao Gymnasium coa espada en alto ameazando con cortarlle a cabeza a todos aqueles que non fosen quen de resolver as ecuacións que escribira no encerado. Este terrorífico episodio determinaría a súa retirada definitiva do ensino e a reclusión nos últimos seis anos da súa vida completamente asolado pola enfermidade mental.
Se a crcunferencia dos 9 puntos se identifica con Feuerbach é debido (en palabras de J. Cooldige (1873-1954)) ao "teorema máis fermoso da xeometría elemental que se descubriu desde a época de Euclides". Feuerbach no ano 1822 publicou un traballo que contiña o ese fermoso resultado:

A circunferencia que pasa polos tres pés das alturas dun triángulo tamén é tanxente ás  tres circunferencias exinscritas e á circunferencia inscrita.

Este mesmo resultado foi publicado no 1820 nun traballo de Brianchon (1783-1864) e Poncelet (1788-1867), aínda que parece demostrada a prioridade de Feuerbach no descubrimento do resultado. En todo caso, teñamos en conta que no relativo á denominación de teoremas e obxetos matemáticas, cada caso ten a súa historia particular. En Francia a circunferencia dos 9 puntos coñécese como circunferencia de Euler. Neste caso seguramente a desculpa é que o centro desa circunferencia é o punto medio do ortocentro e o circuncentro e polo tanto está na recta de Euler. Outra propiedade máis que se pode ver na película de Fletcher é que o raio da circunferencia de Feuerbach é a metade do da circunferencia circunscrita.

Premios do concurso "Explícoche matemáticas 2.0", eidición 2017

Onte entregáronse os premios do concurso Explícoche matemáticas 2.0, convocado polo SNL da Facultade de Matemáticas. Velaquí as miñas orgullosas alumnas, do IES Antón Losada (A Estrada), Aroa Ríos Torres, Sandra Vázquez Silva e Nerea Iglesias na recollida da mención especial polo traballo A piña de Regiomontano.
O acto, foi moi bonito. Ademais de dar lectura á acta do tribunal que valorou os traballos presentados e da entrega de premios en sí, proxectáronse os vídeos gañadores e a profesora Elena Vázquez Abal, da Área de Xeometría e Topoloxía da Facultade de matemáticas da USC, impartiu unha amena conferencia, Contos sobre mulleres científicas, que incidía sobre a discriminación da muller no mundo da ciencia. Deixo por aquí os gañadores desta edición.

Na Categoría A (2º Ciclo da ESO e Bacharelato e ciclos de Formación Profesional) ó traballo Fractais: copa de neve de Koch, de Irene Pereira Reboredo de 3º da ESO do IES Castro Alobre (Vilagarcía de Arousa)

Na Categoría B (Universidade)  vídeo gañador foi Poden os ourizos voar?, de Brais Fortes Novoa alumno de Mestrado da Escola Técnica Superior de Enxeñaría de Bilbao.