"O universo matemático", apuntes para o bacharelato

Sacado de Xerais

O universo matemático. Das ideas e das técnicas é o segundo libro da colección de Xerais,  Básicos Ciencia. O propio autor, Antóm Labranha, explica moi claramente os parámetros baixo os que se move o texto:

Este libro trata os contidos matemáticos propios do bacharelato, intentando poñer de manifesto reflexións, habitualmente implícitas, acerca do sentido dos conceptos, das propiedades e das fórumas que utilizamos...

Como un anxo da garda, un espírito da xustificación percorre todo o libro. Para ilustralo vou centrarme nun aspecto concreto: nalgún punto do currículo aparece a distribución normal. Cuestión chea de espiñas é a de como presentar nunha aula a función de densidade desta ditribución: $$f\left( x \right) =\frac { 1 }{ \sqrt { 2\pi  }  } { e }^{ \frac { -1 }{ 2 } { x }^{ 2 } }$$ Pódese dicir que caeu do ceo, e a enorme extensión do currículo do bacharelato parece indicar que isto é o que se lle pide ao profesorado neste, e en moitos outros aspectos. Labranha presenta unha alternativa baixo o estudo natural da función exponencial y=e^x. Ampliando, y=e^-x2, un bo exemplo de función par, xenaralizando y=e^-ax2, con a un número positivo calquera. A segunda derivada desta última función: $$y''=-2a{ e }^{ -a{ x }^{ 2 } }\left( 1-2a{ x }^{ 2 } \right) $$ lévanos a determinar que terá puntos de inflexión cando $$a=\frac { 1 }{ 2{ x }^{ 2 } } $$ Polo tanto, se os puntos de inflexión se deran cando x=+1 e x=-1 (lembremos que é par), teremos que forzar a que a=½, neste caso a función será y=e^-½x2.. Cal será a área que garda esta función? Neste punto teremos que recorrer á análise multidemensional. O cálculo de $$\int _{ -\infty }^{ \infty }{ { e }^{ \frac { -1 }{ 2 } { x }^{ 2 } } } =\sqrt { 2\pi } $$ pode consultarse aquí. Finalmente, cando estamos á procura dunha función de densidade, bastará dividir a nosa última función por √2𝛑: $$f\left( x \right) =\frac { 1 }{ \sqrt { 2\pi  }  } { e }^{ \frac { -1 }{ 2 } { x }^{ 2 } }$$
Propostas para a aula
Estou afeito a explicar a regra de l' Hopital como unha consecuencia do teorema de Cauchy (teorema do valor medio xeneralizado). Labranha ofrece unha alternativa interesante, fundamentada na idea da recta tanxente a unha función nun punto como aproximación da función na veciñanza dese punto. Se partimos de dúas funcións f(x) e g(x), as respectivas rectas tanxentes nun punto x₀, no que ambas as dúas función toman o valor cero:

f(x)≃ y=f''x₀)(x-x₀)

g(x)≃ y=g'(x₀)(x-x₀)

Polo tanto $$\lim _{ x\rightarrow { x }_{ 0 } }{ \frac { f\left( x \right)  }{ g\left( x \right)  }  } \simeq \lim _{ x\rightarrow { x }_{ 0 } }{ \frac { f'({ x }_{ 0 })(x-{ x }_{ 0 }) }{ g'({ x }_{ 0 })(x-{ x }_{ 0 }) } =\lim _{ x\rightarrow { x }_{ 0 } }{ \frac { f'({ x }_{ 0 }) }{ g'{ (x }_{ 0 }) } =\lim _{ x\rightarrow { x }_{ 0 } }{ \frac { f'\left( x \right)  }{ g'\left( x \right)  }  }  }  } $$ En varias ocasións Labranha aproveita para ofrecer unha presentación das ideas mediante valores heurísticos.Todo isto lévanos a unha aposta por alternativas ás clases autoritarias. En definitiva, estamos ante un libro pensado como complemento para afrontar o bacharelato que ben pode ser un punto de referencia para o profesorado da materia, un lugar do que partir para levar a cabo o traballo na aula.