Matemáticas escritas en arxila

Nunha entrada anterior comentaba que os meus profesores de matemáticas foran mellores que os que tiven de física e seguramente isto deixou unha pequena pegada en que lle collera máis gusto á prmerira materia en detrimento da segunda. Con todo había algo que aqueles meus profesores de física facían mellor cós de matemáticas (e penso que isto pode xeneralizarse ao conxunto deste dous colectivos). Trátase da contextualzación histórica do que se trata na aula. O profesorado de física nunca deixa de nomear a Newton, Faraday, Maxwell e moitos outros, porén no gremio dos de matemáticas parece como se todo saíse do Libro Sagrado, cando nalgunhas ocasións o máis importante quizais sexa o trasfondo histórico.
Ao traballar a resolución de sistema de ecuacións non lineares (4º ESO) sempre propoño o seguinte problema que, segundo Rey Pastor e Babini, no libro Historia de la matemática, procede dunha taboiña de arxila babilónica:

Longo e largo. Multipliquei longo por largo e obtiven a área. Engadin á área o exceso de longo sobre largo: 183. Ademais sumei longo e largo: 27. Pídese longo e largo.

O problema non é especialmente orixinal. Nun principio poderiamos dicir que os libros de texto están cheos de problemas semellantes (ben, aínda que case todos os sistemas que presentan son simétricos: poderían intercambiarse as incógnitas e o sistema ficaría idéntico). Porén, non se pode negar que non ten o seu punto resolver unproblema que ten máis de 3600 anos, tan antigo que viña escrito en pedra. Ademais temos o valor engadido de podermos falar das razóns polas que aínda hoxe partimos a circunferencia en 360º, ou do sistema de numeración sexaxesimal, das vantaxes da notación posicional, pódemos facer prácticas operando coa notación babilónica, resaltar a importancia do cero ou tratar do chauvinismo eurocentrista cando se trata de relatar a historia das matemáticas, ou de calquera outra historia. Mesmo dá para comentar a situación social e política actual de Siria, Iraq ou Irán.

Imaxe da MLC 1950
 sacada de aquí

Nestes días batín con outro problema procedente da matemática babilónca. O certo é que xa o vira referenciado neste artigo do nº 58 de SUMA, pero como alí non se daba o enunciado completo pasáraseme desapercibido.
O problema aparece na taboiña MLC 1950 recollida nas excavacións de Uruk (MLC fai referencia á Morgan Library Collection da Universidade de Yale, que é onde se encontra). A súa recuperación para o mundo das matemáticas débese, como non, a Otto Neugebauer.
Recollo o enunciado do curioso libro de Roger Caratini, Los matemáticos de Babilonia. O de curioso vén porque é un ataque furibundo aos exiptólogos. Caratini defende que "en materia de xeometría os antigos exípcios non foron outra cousa que agrimensores e, en materia da ciencia dos números, o seu saber [...] era o de simples contables". Nestes tempos no que se impón unha aburrida redacción do políticamente correcto é moi de agradecer que se expresen opinións con esta claridade... aínda que este autor, fundamente esta tese na insistencia de que chegaron a nós decenas de miles de taboiñas sumerias con contido matemático fronte ás "escasas e decepcionantes" fontes exipcias: catro, e só "catro desgraciados papiros". O que non conta Caratini é que a conservación do papiro exípcio non é comparable á das taboíñas de arxila babilónicas. Estas opinións contrastan frontalmente coas de Gheverghese Joseph, quen na obra La cresta del pavo real afirma que as características xeográficas do Nilo

converteron a civilización exipcia nunha das máis agradables e pacíficas do mundo antigo. Isto contrastou agudamente cos seus veciños mesopotámicos, quen non só tiveron que loitar cun ambiente natural máis duro, senón que con frecuencia víronse ameazados dos invasores procedentes das terras da contorna

MLC 1950
Despois desta breve introdución, paso a expoñer o enunciado do problema da taboíña MLC 1950:
Trátase de calcular as lonxitudes de b e b' sabendo que h=AD=20, h'=DB=30 e a área do trapecio ADEC é 320:

Escondín aquí abaixo a solución que dá o escriba de Uruk pois sempre convén pensar antes en acharmos nós a solución.


Os valores que buscamos pódense calcular a partir da súa semisuma e semiresta:
$$\begin{cases} b=\frac { 1 }{ 2 } \left( b+b' \right) +\frac { 1 }{ 2 } \left( b-b' \right)  \\ b'=\frac { 1 }{ 2 } \left( b+b' \right) -\frac { 1 }{ 2 } \left( b-b' \right)  \end{cases}{ (1) }$$
Se damos posto esa semisuma e esa semiresta en función dos datos, o problema está resolto.
Un dos datos é precisamente a área dun trapecio:
$$A=\frac { \left( b+b' \right) h }{ 2 } $$
Polo que a semisuma é:
$$\quad \frac { 1 }{ 2 } \left( b+b' \right) =\frac { A }{ h } \quad \quad \quad \quad { (2) }$$
Consideremos agora a semellanza entre os triángulos ABC, DBE e FEC:

$$\quad \frac { b }{ h+h' } =\frac { b' }{ h' } =\frac { b-b' }{ h } $$
$$\quad b=\frac { h+h' }{ h } \left( b-b' \right) \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad { b' }=\frac { h' }{ h } \left( b-b' \right) $$
Sumando:
$$\quad b+b'=\frac { h+2h' }{ h } \left( b-b' \right) $$
Multiplicando por ½ e aplcando (2):
$$\quad \frac { 1 }{ 2 } \left( b+b' \right) =\frac { A }{ h } =\frac { 1 }{ 2 } \frac { h+2h' }{ h } \left( b-b' \right) $$
$$\quad \frac { 1 }{ 2 } \left( b-b' \right) =\frac { A }{ h+2h' } $$
Volvendo ao principio, temos finalmente, por (1):
$$\quad \begin{cases} b=\frac { A }{ h } +\frac { A }{ h+2h' }  \\ b'=\frac { A }{ h } -\frac { A }{ h+2h' }  \end{cases}$$
De aí que o escriba bailónico redacte a seguinte solución ao problema:

Toma o inverso de 20 e verás que é 0'05. Multiplica 0'05 por 320: o resultado é 16
Multiplica 30 por 2, engade o resultado a 20 e o resultado é 80.
Toma o inverso de 80, multiplícao por 320, o resultado é 4.
Engade 4 a 16 e quita 4 a 16: unha lonxitude é 20 e a outra lonxitude é 12