Fórmulas ou non

Hai varias razóns polas que intento que ofrecer nas clases o menor número de fórmulas posibles. Posiblemente unha delas sexa que eu, nas clases de matemáticas, recibín a mesma educación. Retrospectivamente, ao reflexionar sobre isto, acabei agradecendo que os meus profesores o fixeran así. En coherencia procuro facer agora o mesmo. Concretamente, na materia de Matemáticas II, de 2º de bacharelato, hai que estudar xeometria tridimensional linear desde un punto de vista esencialmente alxébrico. Ademais da caracterización das rectas e os planos, estúdanse os produtos escalar, vectorial e mixto. Isto, xunto coa fórmula que nos dá a distancia entre un punto en un plano, é o único que se necesita para superar os contidos esixidos neste bloque da materia.
Claro que un pode multiplicar o número de fórmulas ou dar múltiples pautas de resolución dependendo do tipo de problema que teñamos que resolver. Coas ferramentas comentadas no primeiro parágrafo espero que ante un problema como o seguinte:

Calcula a distancia entre as rectas r  e s: $$r:\frac { x }{ 3 } =\frac { y }{ 6 } =\frac { z }{ 2 } \quad \quad \quad \quad s:x-1=\frac { y-1 }{ -1 } =\frac { z }{ 2 } $$

a forma de proceder sexa máis ou menos esta:
Os datos que temos son: un punto e un vector de cada unha das rectas. Se obtivéramos o plano π paralelo a r que contén á recta s, a solución virá de calcular a distancia dun punto calquera de r (como P_r) a ese plano π.

Este era un dos exercicios dun exame. A miña sorpresa foi ver que non poucos o resolvían (correctamente) usando este outro método:
Calculaban primeiro a área do paralelepípedo determinado polos vectores $$ { \vec { { u }_{ r } }  },\vec { { u }_{ s } } ,\overrightarrow { { P }_{ r }{ P }_{ s } } $$
Despois obtíñan a área da base mediante o produto vectorial dos dous primeiros vectores. Dividindo as dúas cantidades anteriores achaban a altura do paralelepípedo, isto é, a distancia entre as rectas.
Ben, en realidade o que facían era aplicar esta fórmula:
$$d(r,s)=\frac { \left| \left[ { \overrightarrow { u }  }_{ r },{ \overrightarrow { u }  }_{ s },\vec { { P }_{ r }{ P }_{ s } }  \right]  \right|  }{ \left| { \vec { u }  }_{ r }\times { \vec { u }  }_{ s } \right|  } $$
O problema é que, ao preguntarlles por este método de resolución ninguén me falou nin de volumes, nin de alturas, era simplemente a fórmula que aprenderan nas clases particulares para aplicar a este tipo de exercicios. E por que digo que é un problema, se finalmente daban a solución correcta? Polo seguinte: no mesmo exame tiñan outra pregunta, quizais menos estándar:

Dado o plano α: x+2y+3z-5=0 , calcula a ecuación dun plano paralelo a α que diste 3 unidades da orixe de coordenadas.

Os mesmos alumnos que me deron a resposta que me disgustou no primeiro problema, fixeron mal este segundo. Ningún contestou o que se lle pedía. Usando outra fórmula inédita nas (miñas) clases, calculaban os planos paralelos e distantes 3 unidades de α. Parece que o asunto non era resolver problemas, senón usar fórmulas.


Hai máis razóns para non cargar a clase de matemáticas con fórmulas pero quizais a máis importante sexa a de procurar o traballo na resolución de problemas. A alternativa consiste no relato de algoritmos sen xustificación.
Lembro que as clases de física do bacharelato me resultaban especialmente pesadas e triviais. Os problemas consistían nunha serie de datos. Bastaba con saber unha lista de fórmulas e, á vista dos datos, tiñamos unha na que aparecían todas as variables, agás unha (ou dúas fórmulas das que non coñeciamos dúas incógnitas). Resolver este tipo de problemas facíase moi pesado.