Triángulo (re)dobrado

Acabo de ver no blogue Matemáticas na Rúa o seguinte problema e que recolleu á súa vez de Five triangles e quíxenlle responder ao reto porque  xusto despois de velo tiven que estar un tempo no parque mentres o neno xogaba cos amigos,.. e eu non tiña nada mellor que facer nese momento. Lembro o problema:

Imaxe de Five Trigangles

A figura ABC é un triángulo rectángulo isóscele con catetos que miden 4 cm. O punto B é dobrado sobre PQ de tal xeito que cae enriba do punto D do lado AC que cumpre que AD=3 cm. Determina a lonxitude do segmento PQ.

Partíremos de que os puntos P e Q teñen están na recta dos puntos equidistantes a B e D. Pareceume que a mellor forma de obter esa recta era botando man da xeometría analítica, así que se tomamos o punto B como a orixe de coordenadas, eis que A=(0,4) e D=(3,4). Como se observará, a figura queda xirada 45º respecto da orixinal:

A ecuación da recta PQ como a dos puntos (x,y) equidistantes a B(0,0) e D(3,4):

$${ \left( x-3 \right)  }^{ 2 }+{ \left( y-4 \right)  }^{ 2 }={ x }^{ 2 }+{ y }^{ 2 }$$

Simprificando obtemos a ecuación da recta r:

$$6x+8y-25=0$$

Se intersecamos esta recta co eixo das ordenadas, x=0:
$$\begin{cases} 6x+8y-25=0 \\ x=0 \end{cases} $$
Obtemos como solución o punto $$P=\left( 0,\frac { 25 }{ 8 }  \right) $$
E ao cortar a recta PQ coa recta que une os puntos B e C, a recta y=x:
$$\begin{cases} 6x+8y-25=0 \\ y=x \end{cases}$$
Teremos como solución o punto Q:
$$Q=\left( \frac { 25 }{ 14 } ,\frac { 25 }{ 14 }  \right) $$
Só falta calcular a distancia entre os puntos P e Q:
$${ PQ }^{ 2 }={ \left( \frac { 25 }{ 14 } -0 \right)  }^{ 2 }+{ \left( \frac { 25 }{ 14 } -\frac { 25 }{ 8 }  \right)  }^{ 2 }=\frac { 625 }{ 196 } +{ \left( \frac { -75 }{ 56 }  \right)  }^{ 2 }=\frac { 625 }{ 196 } +\frac { 5625 }{ 3136 } =\frac { 15625 }{ 3136 } $$
Polo que:
$$PQ=\sqrt { \frac { 15625 }{ 3136 }  } =\frac { 125 }{ 56 } $$
E a un, aínda que o teña visto centos de veces, o que non deixa de sorprendelo é que usando métodos tan distintos, J.J. Rodríguez e a min nos dea o mesmo. Aquí reside unha das características máis fermosas da matemáticas.