O Chinn-Steenrod

O libro editado por Alhambra, Primeros conceptos de topología, foi o primeiro que comprei cando fixen a carreira e por iso lle teño un aquel especial. Os seus autores son W. G. Chinn e N. E. Steenrod.

O certo é que daquela non chegara a ler máis que unha pequena parte. Comenzárao coa ansia desaber ben en que consistía iso da topoloxía, unha materia que desde a súa propia denominación xa era esotérica. Por fin, trinta anos despois, desfruteino enteiro.

O libro está dividido en dúas partes, unha adicada sobre todo a desenvolver un teorema de existencia na dimensión un e outro na segunda parte para a dimensión dous.

A primeira parte

A estrutura do libro non é estándar. No canto de desenvolver conceptos e teoremas de forma ordenada (de menos a máis), comenza por un teorema e establécense as dificultades para a súa demostración para proceder a resolvelas e estudalas. O teorema principal desta primeira parte é o seguinte, referenciado en moitos manuais como teorema de Weierstrass:

Se unha función f, continua e definida nun intervalo cerrado [a,b], entón existe un valor mínimo m e un valor máximo M para a función. Ademais para cada valor y do intervalo [m,M], a ecuación f(x)=y ten polo menos unha solución no intervalo [a,b].

Con esta referencia como punto de partida pásase a facer un percorrido pola definición de distancia euclídea, a de conxunto aberto e cerrado, demostrar a completitude do conxunto dos números reais, o estudo da conexión ou a compacidade. Foi todo un gusto volver a repasar esas demostracións de propiedades nun conxunto compacto nas que xa se vía vir como ao construir unha colección, presumiblemente infinita, recubrindo o conxunto xurdía finalmente a propiedade ao escoller un subrecubrimento finito. E, por suposto, tamén aparece o teorema do punto fixo: toda aplicación continua f dun intervalo cerrado en si mesmo ten polo menos un punto no intervalo tal que f(x)=x.
Un toque de orixinalidade do libro é a inclusión deste par de teoremas:

Toda aplicación continua dunha circunferencia na recta ten algún par de puntos diametralmente opostos coa mesma imaxe

Teorema da tarta. Dados dous trozos de tarta colocados nunha bandexa é posible dividilos en dúas partes iguais con só un corte

O final da primeira parte é curioso para un libro de topoloxía pois fai referencia a un teorema puramente alxébrico: todo polinomio de grao impar ten polo menos unha raiz real. Non é un capricho, terá a súa xustificación.

Segunda parte
De xeito paralelo ao realizado na primeira parte vaise propoñer un teorema principal e desenvolveranse todos os pasos necesarios para poder demostralo. Velaquí o teorema:

Sexa f unha función dun disco D no plano, C a fronteira de D e y un punto do plano que non pertence a f(C).Se o número de voltas de f|C respecto de y é distinto de cero, entón y forma parte da imaxe do disco D.

Homotopía, da Wikipedia

Para abordar este teorema hai que definir estrictamente a difusa, pero intuitiva idea de "número de voltas dunha curva arredor dun punto". Tamén haberá que facer un parada no mundo das homotopías. Unha homotopía, tal e como se aprecia no gif da esquerda non é outra cousa que unha transformación continua entre dúas curvas. Resulta que o número de voltas respecto a un punto que non sexa varrido polo feixe de curvas da homotopía consérvase por esa homotopía.
Este repaso permite a demostración do teorema principal desta segunda parte do libro. Pero non remata aí. Sobre esta base chégase aos seguintes resultados:

Se f é unha aplicación continua dun disco D en sí mesmo, entón existe polo menos un punto x de D que f deixa fixo: f(x)=x.

Toda función continua da esfera sobre o plano aplica algún par de antípodas no mesmo punto.

Teorema do sándwich de xamón. Sexan A, B, C tres conxuntos limitados e coonexos do espazo. Existe un único plano que divide o volume destes tres conxuntos pola metade.

Nos últimos capítulos introdúcense os campos vectoriais e abórdase o célebre teorema da bóla cabeluda para rematar ofrecendo unha demostración orixinal do teorema fundamental da álxebra.
En definitiva, un texto ideal para mergullarse nas matemáticas nestas tardes de invernía.