A outra fórmula do outro Bhaskara

Cando escoito o nome de Bhaskara inmediatamente penso na súa filla, a súa curiosa lenda e o libro que Bhaskara lle adicou e co que comparte nome, Lilavati. O libro foi editado pola RSME-SM dentro da colección Biblioteca de Estímulos Matemáticos. De aí recollo o seguinte problema e a súa resolución.

LXXVIII. A raíz da metade dun enxamio de abellas liba néctar de xasmíns, outras oito novenas partes o mesmo van facer. Faltan dúas, das que unha é cautiva dos lotos, prendida polo seu recendo. Dime miña querida, cantas zoantes abellas conforman ese panal.

Se identificamos o total de abellas con $2x^{2}$ poderemos establecer a seguinte ecuación 

$x-\frac{8}{9}\left( 2x^{2} \right)+2=2x^{2}$. Resolvéndoa veremos que $x=6$ e polo tanto o enxamio estará conformado por un total de $2x^{2}=72$ abellas.

Tanto no Lilavati  como noutra obra súa,  Bijaganita, Bhaskara estuda problemas cuadráticos. Quizais por esta razón André Pérez y Marín comentou nunha nota a pé de páxina no libro Lições de algebra publicado no 1909 que o método de resolución dunha ecuación cuadrática $ax^{2}+bx+c=0$ dado pola coñecida fórmula que vén a continuación debémosllo a Bhaskara.

$$x=\frac{-b\pm \sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}$$

André Pérez y Marín

 André Pérez y Marín (1858-1928), nacido en Logroño (España), estuda en Madrid e comeza a impartir clase aos 18 anos. Aos 35 anos chega a Brasil onde durante un tempo  exerce de profesor particular. Co comezo do século XX accede a unha praza no Ginásio de Campinas, onde desenvolve o seu traballo docente ata o seu pasamento. Escribe dez libros de matemática escolar que tiveron moitas edicións. En varios deles repite a referida anotación de que a resolución das ecuacións cuadráticas se debe a Bhaskara. Este apuntamento sería reproducido por autores brasileiros posteriores e acabaría tendo certo éxito ata o punto de que hoxe en día a "fórmula de Bhaskara" non só se utiliza en Brasil, senón que ten certa sona internacional. Basta con facer unha búsqueda pola rede para comprobalo.

O outro Bhaskara e a outra fórmula

Pero desta volta non me vou referir a este matemático do século XII, tamén identificado como Bhaskara II, senón que trataremos sobre unha contribución de Bhaskara I, que viviu uns 500 anos antes, no século VII. 

Antes de nada, incluso antes de introducila, enmarquemos historicamente a achega de Bhaskara I. Para iso temos que ir ao século anterior, o VI, onde encontramos os primeiros tratados astronómicos hindúes. Os seus autores, Ariabata e Varahamihira curiosamente xa usaban o seno, no canto da corda dun ángulo. Eles e outros moitos continuaron o proxecto heleno de elaborar táboas trigonométricas. Segundo o que acabamos de dicir, na época grega esta táboas eran táboas de cordas, a partir da revisión hindú, comezaron a ser táboas de senos. Para aclarar do que estamos a falar, consideremos unha circunferencia de raio 1. Con vértice o centro $O$ trazamos un ángulo $\widehat{AOB}=2\theta$  que determinará unha corda da circunferencia $\overline{AB}$. A este valor denominámolo corda de $2\theta$ que escribiremos $crd(2\theta)=\overline{AB}$. De todos é sabido que o seno de $\theta$ é $sen\theta=\overline{AM}$. Basta con observar a seguinte imaxe para decatarse de que $crd\left(2 \theta\ \right) =2\cdot sen\theta$

A aportación de Bhaskara I foi realmente insólita. Hoxe diriamos que para ángulos de entre 0 e 180 graos ofreceu unha aproximación da función sinusoidal mediante unha función racional

$$sen\theta = R\cdot\frac{4\theta\left( 180-\theta \right)}{40500-\theta\left( 180-\theta \right)}$$

Velaquí as dúas funcións, a do seno e a súa aproximación, xunto co erro que cometemos. Tomamos, como é habitual hoxe en día $R=1$. O máis divertido é facer zoom ata poder ver ese erro.

De onde sacou Bhaskara I esa fórmula? Gen van Brummelen no seu libro The Mathematics of the Heavens and The Earth. The Early History of Trigonometry (Princenton University Press 2009) propón unha resposta con bastante cautela pois segue considerendo todavía un enigma a verdadeira liña de razoamento de Bhaskara. O argumento iníciase a partir da seguinte figura. Calculamos a área do triángulo $ABC$ de dúas formas distintas:

$área ABC=\frac{1}{2}AB\cdot BC=\frac{1}{2} BD\cdot AC$ De aí que $AB\cdot BC= BD\cdot AC$

$$sen\theta=R\cdot BD=\frac{R\cdot AB\cdot BC}{AC}\lt \frac{R \cdot \overset{\LARGE\frown}{AB}\cdot \overset{\LARGE\frown}{BC}}{2R}=\frac{\theta\left( 180-\theta \right)}{2}$$

Invertendo os termos teremos esta desigualdade:

$$\frac{1}{sen\theta}\gt \frac{2}{\theta\left( 180-\theta \right)}$$

Agora usaremos un método habitual entre os matemáticos hindús insertando un par de parámetros $x$ e $y$ que nos permitirían establecer a igualdade: $$\frac{1}{sen\theta}=x\cdot\frac{2}{\theta\left( 180-\theta \right)}+y\quad\quad [1]$$

Para os ángulos de $30$ e $90$ teremos que $sen30=\frac{R}{2}$ e $sen90=R$. Disto deducimos un sistema que resolvemos:

$$\left.\begin{matrix} \frac{2}{R}=\frac{2x}{30\cdot 150}+y \\\frac{1}{R}=\frac{2x}{90\cdot 90}+y \end{matrix}\right\} \left.\begin{matrix} \frac{2}{R}=\frac{2x}{4500}+y \\\frac{1}{R}=\frac{2x}{8100}+y \end{matrix}\right\} \left.\begin{matrix} 9000=2Rx+4500Ry \\8100=2Rx+8100Ry \end{matrix}\right\} \left.\begin{matrix} 2Rx=9000-4500Ry\\2Rx=8100-8100Ry \end{matrix}\right\}$$

$9000-4500Ry=8100-8100Ry$

$y=\frac{-900}{3600R}=\frac{-1}{4R}$

Substituíndo na primeira das ecuacións do sistema:

$2Rx=9000-4500R\cdot\frac{-1}{4R}=10125$

$2x=\frac{10125}{R}$

Finalmente substituímos os valores destes parámetros en [1]

$$\frac{1}{sen\theta}=\frac{10125}{R}\frac{1}{\theta\left( 180-\theta \right)}-\frac{1}{4R}=\frac{1}{R}\frac{40500-\theta\left( 180-\theta \right)}{4\theta\left( 180-\theta \right)}$$

Volvendo a inverter os dous membros da igualdade chegamos ao resultado desexado:

$$sen\theta = R\cdot\frac{4\theta\left( 180-\theta \right)}{40500-\theta\left( 180-\theta \right)}$$

Por último unha aclaración e un dato curioso. Co fin de adptar as anteriores consideracións ao punto de vista actual, tomáronse sempre circunferencias de raio 1, porén en cada época, incluso en cada autor teremos distintos valores do raio. Por exemplo Ptolomeo fixo as súas táboas para $R=60$ e utilizou un sistema numérico sexaxesimal. Bhaskara I e os seus predecesores Ariabata e Varahamihira utilizaban un valor realmente chamativo: $R=3438$$. Que sentido tiña escoller ese número?

Nunha circunferencia hai 360º, polo tanto $360 \cdot 60=21600'$, Se igualamos esta cantidade á lonxitude dunha circunferencia $2\pi R=21600$ e despexamos: $R=\frac{21600}{2\pi}=3438$