Hai tempo que non imparto aulas nos primeiros cursos da ESO. Esta é a razón de que non se vexa por este blogue ningunha achega deste nivel. Coa presente entrada rompo esa liña. Todo foi por botarlle un ollo á revista Recreational Mathematics, en concreto a un artigo de George Teşeleanu e Simion Stoilow no Volume 10, Edición 17 (xaneiro 2023) titulado "How to Read a Clock".
Entre outras cousas nese artigo preséntanse un tipo de reloxos de forma triangular que poden dar algo de xogo nas aulas e invitan a reflexionar sobre o sistema de numeración ou sobre cales son os posibles restulados que podemos obter utilizando unha colección numérica restrinxida.
Teşeleanu e Stoilow fan que teñamos presente que, para poder dar a hora cunha precisión de minutos durante un período de 12 horas, debemos elaborar un mecanismo que distinga un total de $12\cdot 60=720=6!$ disposicións (ou minutos). Velaí que unha disposición triangular como a seguinte acáelle como unha luva a este valor. A imaxe explícase por sí mesma, con todo, explicarémola.
Cada fila ten asginado un valor en horas (h) ou minutos (m). Só teremos en conta os círculos azuis. Podemos considerar que os círculos azuis están encendidos e os brancos apagados. O mecanismo funciona coa seguinte regra: se nunha fila temos un círculo azul, os da súa esquerda tamén deberán ser azuis. Neste caso o reloxo está marcando as:
$$2h+30m+30m+6m+1m+1m+1m=3h\quad 9m$$
Todos os círculos en branco (apagados) indicarían as $0\ h \quad 0 m$. Se os prendemos podes comprobar que sumarán $11h\quad 59m$
Decatémonos de que, indo da fila inferior á superior, os círculos ven multiplicado o seu valor por 6, 5, 4 e 3 respectivamente e que o número de posicións distintas de cada fila (de abaixo cara arriba) é de 6 (0 encendidos, 1 encendido,..., 5 encendidos), 5, 4, 3 e 2. De aí o buscado $6!$
Nesta páxina de Jörg Pretz podemos xogar cun reloxo coa mesma idea subxacente. A única diferenza é que usa dúas cores para as bólas segundo a hora sexa anterior ás 12:00 (en verde) ou posterior (en vermello). Ten a curiosidade de que marca a hora real polo que podes adiviñar a que hora fixen a foto da imaxe
 |
| Que hora é? |
Unha alternativa, quizais máis interesante, é a do reloxo triangular inverso.
Esta nova alternativa permitiría ver como o alumnado responde a como elaborar unha disposición para unha hora determinada. Aquí abordaríase o problema de traballar coa base 60. Por exemplo, nesta disposición hai que pasar de $24 m\cdot 3=72m$ a $1h\quad 12m$
Reloxos cadrados
Se estamos dispostos a perder precisión podemos botar man dos reloxos cadrados. Agora a disposición non vai por filas, senón por cadeas completando cadrados. Para elaborar un reloxo cadrado partimos, na esquina infeior cun círculo de 15 minutos, rodéano 3 de 30 minutos e a estes 5 de 2 horas. O primeiro círculo pode estar en 2 posicións distintas, a seguinte cadea, de 3 círculos, en 4 posicións, e a derradeira, de 5 círculos, en 6 posicións. Temos un total de $2\cdot 4\cdot 6=48$ posibilidades, xusto a cantidade de cuartos de hora que hai en 12 horas. A seguinte disposición marca as 8:15
Analogamente ao feito co caso triangular, non é dificil construir un reloxo cadrado inverso nun cadrado 3x3 onde a esquina inferior esquerda ofreza o valor máis alto e a cadea exterior de 5 unidades estea formada polos valores menores. Tamén cunha precisión de 15 minutos, cales deberían ser os valores que debemos asignar aos círculos de cada unha das cadeas?
Reloxos redondos
Como bono de regalo, recollo algunhas cuesitóns sobre reloxos redondos.
A primeira é un problema ben bonito que xa hai tempo achara en
NRICH, e que a pesar de ser redondo chámase
Reloxo triangular. Todos sabemos que os números triangulares son os resultados da suma dos primeiros naturais consecutivos $\left \{ 1,3,6,15,21,... \right \}$. Reordena os 12 números das horas sobre a esfera dun reloxo de forma que cada par de números adxacentes sumen un número triangular. Podes comezar colocando o 12 no seu lugar.
O seguinte é unha cuestión absolutamente natural.
As agullas coincidentes. Cada canto tempo coinciden as dúas agullas dun reloxo?
Quizais só serva para despistar, pero, tamén de forma natural xurde enseguida a seguinte pregunta: cada canto tempo coinciden as tres agullas dun reloxo? (agora engadímoslle o segundeiro).
Unha posible resposta dánola Cliff Stoll neste vídeo do Numberphile. Outra podería ser a que se explica deseguido, inspirada no relato de Aquiles e a tartaruga.
Partamos das 12 en punto. Despois de unha hora a agulla dos minutos volve á súa posición orixinal mentres a das horas andou $\frac{1}{12}$ de volta. Mentres a agulla dos minutos anda agora esta fracción de volta, a das horas tivo tempo a andar unha doceava parte deste valor, isto é $\frac{1}{12^{2}}$ de volta. O lector avispado xa enxerga o camiño. A solución virá dada pola suma dos termos dunha progresión xeométrica de razón $\frac{1}{12}$:
$$\frac{1}{12}+\frac{1}{12^{2}}+\frac{1}{12^{3}}+...=\frac{1}{1-\frac{1}{12}}=\frac{1}{\frac{11}{12}}=\frac{12}{11}$$
$\frac{12}{11}=1'\widehat{09}=$1 hora 5 minutos 27'27 segundos
Finalmente unha colección de reloxos matemáticos preséntanolos Antonella Perruca neste artigo de Plus Magazine
