Un tipo de triángulos estudados por Euler

Novi commentarii academiae scientiarum
imperialis petropolitanae Vol. XI, 1765
páx. 67-102

No ano 1767 Leonhard Euler publica o traballo Proprietates triangulorum, quorum anguli certam inter se tenent rationem   no que aborda o estudo de determinados triángulos. Trátase de identificar a relación entre os lados dun triángulo do que coñecemos dous ángulos, un deles sería o ángulo A e outro n•A, con n un número natural. 

Nun principio as características do estudo son ben simples, tanto que nun curso de 1º de bacharelato poderíase dar un primeiro paso no seu tratamento. A cuestión poderíase propoñer do seguinte xeito:

a) Determina o lugar xeomético determinado polo punto C dun triángulo ABC que teña os ángulos A e B iguais

b) Determina o lugar xeométrico do punto C dun triángulo ABC tal que ∠B=2∠A

O primeiro apartado é obvio, refírese á mediatriz do segmento AB. O segundo pódese tratar facendo uso da tanxente do ángulo dobre:

$$tanA=\frac{y}{x}\\tan\left ( 2A \right ) =\frac{y}{c-x}\\tan\left ( 2A \right )=-\frac{2tanA}{1-tan^{2}A}$$

Das igualdades anteriores tense que

$$\frac{y}{c-x}=\frac{\frac{2y}{x}}{1-\frac{x^{2}}{y^{2}}}$$

Finalmente obtemos a cónica que soluciona o problema

$$3x^{2}-2cx-y^{2}=0$$ 

Esta é a versión moderna
da foto de máis arriba

Euler non trata o problema desde esta perspectiva, senón que o enfoca desde un punto de vista máis sintético. Dado o triángulo ABC, biseca o ángulo ∠ABC e obtén o punto D. 

Coa notación usual consistente en nomear os lados opostos coa mesma letra que os ángulos, pero en minúscula, teremos, a partir da semellanza de ABC con BCD as seguintes relacións:

$$\frac{AC}{BC}=\frac{AB}{BD}=\frac{BC}{CD}\quad\quad; \quad \frac{b}{a}=\frac{c} {BD}=\frac{a}{CD}$$

 $$BD=\frac{ac}{b}\quad\quad\quad CD=\frac{a^{2}}{b}$$

Como o triángulo ABD é isóscele,  temos a igualdade entre os lados AD=BD. Xa obtivemos unha expresión de BD en función dos lados do triángulo orixinal. Fagamos o mesmo para AD e igualemos:

$$AD=AC-DC=b-\frac{a^{2}}{b}=\frac{b^{2}-a^{2}}{b}$$

$$AD=BD\Rightarrow \frac{b^{2}-a^{2}}{b}=\frac{a^{2}}{b}\Rightarrow b^{2}-a(a+c)=0$$

Euler non parou aquí. Tratou o caso de que o ángulo B fose o triplo, o cuádruplo, o quíntuplo de A.... Na seguinte applet de geogebra temos unha solución analítica a estes problemas. Pódese obter a partir das fórmulas das tanxentes do ángulo triplo, do ángulo cuádruplo e do ángulo quíntuplo. Aínda que nos aparecen curvas por todo o plano, para a solución deste problema só nos interesa a rama da dereita.

Pola súa banda, Euler obtén as seguintes relacións entre os lados para B=n•A

$$n=1:\quad\quad b-a=0$$

$$n=2:\quad\quad b^{2}-\left ( a+c \right )=0$$

$$n=3:\quad\quad b^{3}-ab^{2}-a \left(c^{2}-a^{2} \right )=0$$

$$ n=4 : \quad\quad b^{4}-a\left(c+2a \right )b^{2}-a \left(c+a \right )\left(c^{2}-a^{2} \right )=0$$

$$n=5 : \quad\quad b^{5}-ab^{4}-2a^{2}b^{3}-a \left(c^{2}-2a^{2}b^{2} \right )-a^{2}\left(c^{2}-a^{2} \right )b-a \left(c^{2}-a^{2} \right )^{2}=0$$

Pero o cíclope matemático non parou aquí, continuou ata n=8. Inlcuso máis, unha vez chegado a este punto establece unha fórmula recursiva tanto para os valores pares de n como para os impares. Quen quixera seguir todos estes razoamentos, pode botarlle un ollo ao artigo de Vicente Meavilla Seguí no v.8 n.15 (2008) da Revista Brasileira de História da Matemática. Todo un exemplo de traballo,  perseverancia, xeneralización e precisión dun dos máis grandes matemáticos da historia. Ata nun resultado menor se enxerga o xenio euleriano.

A sorpresa 3D no teorema de Monge

Cando estudamos xeometría do plano, pode darse o caso de que se acudimos a ferramentas tridimensionais, obteñamos atallos realmente sorprendentes. Este tópico xa o ten tratado JJ no seu blogue Matemáticas na Rúa ( [1] e [2]). Agora eu non puiden resistir desenvolver aquí outro caso que me pareceu realmente espectacular e que ten que ver co teorema de Monge, así denominado na honra do revolucionario, e matemático, Gaspard Monge (1746-1818). Antes de nada algunhas palabras de introdución.

Dadas dúas circunferencias podemos pensar en trazar as rectas tanxentes comúns a ambas. En xeral obteremos dúas solucións. Por unha banda teremos as dúas tanxentes exteriores e por outra as dúas tanxentes interiores. Os puntos de corte das tanxentes son os chamados centros de homotecia, un deles será o centro de homotecia externo O e o outro o centro de homotecia interno O'. En efecto, dúas circunferencias serán sempre semellantes, polo tanto poderemos transformar unha na outra mediante unha (normalmente dúas) homotecia(s).  

 

Se no canto de considerarmos dúas circunferencias, poñemos en xogo tres, estaremos en disposición de enunciar o teorema de Monge. Neste caso, cada un dos tres pares de circunferencias que podemos formar dará lugar a un centro de homotecia exterior.

Teorema de Monge. Dadas 3 circunferencias, os tres centros de homotecia exteriores correspondentes a cada par de circunferencias son colineares.

 

 Curiosamente este teorema recorda outro resultado moi semellante que en lugar de facer referencia a 3 circunferencias, trata sobre 2 triángulos.  Debémosllo ao precursor da xeometría proxectiva Girard Desargues (1591-1661).

Teorema de Desargues. Se as rectas que unen os vértices homólogos de dous triángulos se cortan nun punto O (o centro de homoloxía), entón os pares de lados homólogos córtanse en tres puntos colineares.

 

 En realidade non só se dá a implicación, senón que é certa a equivalencia. 

É moi gratificante comprobar que se pode demostrar o teorema de Monge a partir do de Desargues. Así os triángulos fanlle un bo servizo ás circunferencias, tal e como se diría no Flatland de Edwin Abbot.

Para iso basta con considerar os dous triángulos seguintes. O primeiro, o formado polos centros A, B e C das circunferencias. O segundo, o determinado polas interseccións das tanxentes exteriores: A', B' e C'.

 A'A, B'B e C'C son as bisectrices dos ángulos do triángulo A'B'C' polo que se cortarán no incentro O. De aí que os triángulos ABC e A'B'C' verifican as condicións do teorema de Desargues polo que os puntos de corte de AB e A'B', AC e A'C' e de BC e B'C' serán colineares.

A sorpresa

A sorpresa é a seguinte demostración alternativa do teorema de Monge na que se se fai uso da terceira dimensión. Cada unha das tres circunferencias, ao rotaren sobre calquera dos seus diámetros, darán lugar a unha esfera. Agora, o plano no que estamos traballando, chamémoslle plano П, atravesa esas esferas polos seus centros. É obvio que podemos pousar un plano П' tanxente ás tres esferas que cortará a П na recta desde a que podemos trazar tanxentes ás tres circunferencias. 

Grazas a esta applet de Tungsteno podemos ver esta imaxe ilustrativa.

 

П'é un plano tanxente a cada un dos conos con vértices en P, Q R que teñen como xeneratrices as rectas tanxentes ás circunferencias.