Non é inferecuente que nos textos de matemáticas encontremos distintas denominacións para os resultados:
teoremas, lemas, corolarios. Vou intentar ofrecer un exemplo no que se poñen en evidencia as características principais destas etiquetas.
Nun principio todos os resultados poderían nomearse como
teoremas, pero en certas ocasións, se facemos uso dun resultado secundario dentro do relato, diremos que está xogando o papel de
lema. Consideremos o seguinte caso:
Ao unir os puntos medios A', do lado AC, e B', do lado BC, obtemos un triángulo A'B'C, semellante a ABC, de razón de semellanza ½ polo que:
Lema. Dado un triángulo ABC, sexan A' e B' os puntos medios dos lados AC e BC. Entón A'B'||AB e A'B'=½AB. Ademais [A'B'C]=¼ [ABC] (onde [ABC]= área do polígono ABC)
Este lema facilitaranos a demostración do seguinte teorema que foi publicado no 1731 por Pierre Varignon (1654-1722). Trátase dun resultado dobremente sorprendente. Por unha banda está a xeneralidade do seu enunciado e por outra chama a atención que non fose descuberto ata data tan tardía.
Teorema de Varignon. En calquera cuadrilátero ABCD os puntos medios dos lados W, X, Y, Z, forman un paralelogramo.
Para demostralo consideramos o triángulo ABD construído ao trazar a diagonal BD do cuadrilátero. Este triángulo é do tipo dos considerados no lema, de aí que XW||BD e XW=½BD.
Análogamente para o triángulo BDC: YZ||BD e YZ=½BD. Polo tanto XW||YZ e XW=YZ.
Trazando a diagonal AC obtemos o triángulo ADB para o que XY||AC e XY=½AC.
Análogamente para o triángulo CBD: WZ||AC e WZ=½AC. Polo tanto XY||WZ e XY=WZ.
En definitiva, o cuadrilátero WXYZ é un paralelogramo. Chamarémoslle paralelogramo de Varignon asociado ao cuadrilátero ABCD.
Corolario 1. A área do paralelogramo de Varignon é a metade da do cuadrilátero.
Para demostrar este corolario calcularemos a área que queda fóra do paralelogramo de Varignon. Para iso basta ter en conta o que nos di o lema sobre as áreas dos triángulos:
$$\begin{matrix} \left[ AXW \right] =\frac { 1 }{ 4 } \left[ ABD \right] \\ \left[ CYZ \right] =\frac { 1 }{ 4 } \left[ BCD \right] \end{matrix}\Longrightarrow \left[ AXW \right] +\left[ CYZ \right] =\frac { 1 }{ 4 } \left[ ABCD \right] $$ $$\begin{matrix} \left[ BXY \right] =\frac { 1 }{ 4 } \left[ ABC \right] \\ \left[ DWZ \right] =\frac { 1 }{ 4 } \left[ ACD \right] \end{matrix}\Longrightarrow \left[ BXY \right] +\left[ DWZ \right] =\frac { 1 }{ 4 } \left[ ABCD \right] $$ $$\left[ AXW \right] +\left[ CYZ \right] +\left[ BXY \right] +\left[ DWZ \right] =\frac { 1 }{ 2 } \left[ ABCD \right] $$
$$\left[ XYWZ \right] =\frac { 1 }{ 2 } \left[ ABCD \right] $$
Se repasamos a demostración do teorema veremos que cada par de lados oposto do paralelogramo de Varignon mide a metade da diagonal do cuadrilátero á que son paralelos. De aí que teñamos o seguinte
Corolario 2. As diagonais dun cuadrilátero son iguais ⇔ o seu paralelogramo de Varignon é un rombo
Isto é porque os rombos son os cuadriláteros cos 4 lados iguais.
Outra vez, sacándolle o zume á demostración do teorema, veremos que cada par de lados opostos do paralelogramo de Varignon é paralelo a cada súa diagonal do cuadrilátero polo que:
Corolario 3. As diagonas dun cuadrilátero son perpendiculares ⇔ o seu paralelogramo de Varignon é un rectángulo
Estes dous últimos corolarios establecen un nexo de caracterización entre as diagonais do cuadrilátero e o paralelogramo de Varignon. De aí que poidamos obter unha nova consecuencia, o coñecido como teorema de Finsler-Hadwiger. Trátase dun teorema especialmente atractivo pola súa simplicidade de elementos tanto nas premisas como na conclusión.
Corolario 4. (Teorema de Finsler-Hadwiger). Dados dous cadrados OABC e OA'B'C' cun vértice común O, os puntos medios dos segmentos AA' e CC' xunto cos centros dos cadrados forman tamén un cadrado (isto é: WXYZ é un cadrado)
Sexa o cuadrilátero AA'C'C, demostraremos que o seu paralelogramo de Varignon WXYZ é un cadrado. Para iso consideremos os triángulos AOC' e A'OC:
$$\widehat { AOC' } =\theta +90=\widehat { A'OC } \\ OC'=OA'\\ OC=OA$$
Polo tanto os triángulos AOC' e A'OC son congruentes e AC'=A'C. (no caso de non formarse un triángulo por ser θ=90º, aínda se verificaría que AC'=A'C). Unha rotación de 90º transforma OAC' en A'OC, polo que AC' e A'C son perpendiculares.
Pois ben, A'C e AC' son as diagonais do cuadrilátero AA'C'C polo que o seu paralelogramo de Varignon WXYZ é un rombo (por seren iguais as diagonais e aplicando o corolario 2) e tamén é un rectángulo (por seren perpendiculares as diagonais e aplicando o corolario 3). Isto é, WXYZ é un cadrado.
Curiosamente, a pesar da evidente relación entre o teorema de Varignon e o de Finsler-Hadwiger, nunca a vin descrita por texto ningún. De certo que alguén por aí fóra hai quen si a tiña visto polo que a miña conclusión é que leo pouco.
